2024屆福建省部分學(xué)校高三上學(xué)期10月階段性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat14頁(yè)2024屆福建省部分學(xué)校高三上學(xué)期10月階段性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.【詳解】由題意可得.故選：D.2．已知集合，，且，則a的最大值是（

）A． B．1 C．2 D．5【答案】B【分析】解不等式求得集合，根據(jù)求得的取值范圍，進(jìn)而確定正確答案.【詳解】由解得，所以，.因?yàn)椋?，所以的最大值?故選：B3．已知，則（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由誘導(dǎo)公式先求出的值，然后由兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，則.故選：C.4．“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可.【詳解】由，得.設(shè)，，因?yàn)榧鲜羌系恼孀蛹浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件.故選：A5．函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除AB，根據(jù)最值范圍可排除D.【詳解】由于，所以，所以為偶函數(shù)，故排除AB,由于，故當(dāng)時(shí)，，故排除D，故選：C6．在等比數(shù)列中，，則的最小值是（

）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，再由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合基本不等式可求得結(jié)果【詳解】設(shè)的公比是q，則，.因?yàn)?，所以?由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B7．在中，，，E是AB的中點(diǎn)，EF與AD交于點(diǎn)P，若，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算求得，由此求得m，n，進(jìn)而求得.【詳解】因?yàn)?，所以，則.因?yàn)锳，P，D三點(diǎn)共線(xiàn)，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)镋是邊AB的中點(diǎn)，所以.因?yàn)镋，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，則，解得，從而，，故.故選：A8．杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)又稱(chēng)“杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)”，是亞洲最高規(guī)格的國(guó)際綜合性體育賽事.本屆亞運(yùn)會(huì)定于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州舉辦某國(guó)的甲、乙、丙運(yùn)動(dòng)員共報(bào)名參加了13個(gè)項(xiàng)目，其中甲和丙都報(bào)名參加了7個(gè)項(xiàng)目，乙報(bào)名參加了6個(gè)項(xiàng)目，甲、乙報(bào)名參加的項(xiàng)目中有2個(gè)相同，甲、丙報(bào)名參加的項(xiàng)目中有3個(gè)相同，同一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)國(guó)家最多只能有2名運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加，則乙、丙報(bào)名參加的項(xiàng)目中，相同的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)甲乙丙三人報(bào)名參加的項(xiàng)目數(shù)之和，可知重復(fù)的項(xiàng)目數(shù)，由甲、乙相同的項(xiàng)目數(shù)和甲、丙相同項(xiàng)目數(shù)，可知乙、丙相同的項(xiàng)目數(shù).【詳解】三人各自的項(xiàng)目之和，重復(fù)的有項(xiàng)，甲、乙相同項(xiàng)目有2個(gè)，甲、丙相同項(xiàng)目有3個(gè)，所以乙、丙報(bào)名參加的項(xiàng)目中，相同的個(gè)數(shù)為.故選：C二、多選題9．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．最大 C． D．【答案】AD【分析】由已知條件可得，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】因?yàn)?，所以，得，即，則A正確.當(dāng)時(shí)，，則，最小，故B錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，所以，?duì)稱(chēng)軸為，所以，則C錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以D正確.故選：AD10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?,則（

）A． B．是奇函數(shù)C．為的極小值點(diǎn) D．若,則【答案】ABD【分析】利用賦值法,令判斷A得正誤;令,結(jié)合奇函數(shù)的定義判斷B的正誤;舉例判斷C的正誤;令,則,再利用累加法即可判斷D的正誤.【詳解】令，則，所以，故A正確;令，則，所以是奇函數(shù)，故B正確;令，其定義域?yàn)?且滿(mǎn)足題意，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù),所以不是的極小值點(diǎn),故C錯(cuò)誤;令,則,即,,故D正確.故選:ABD.11．設(shè)函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值可能是（

）A． B． C．2 D．【答案】CD【分析】設(shè)，利用極值點(diǎn)求出的取值范圍，即可得出的可能取值.【詳解】由題意，，在中，則，因?yàn)樵谏锨∮袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，所以，即．故的取值范圍是．故選：CD.12．已知函數(shù)與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】通過(guò)特殊點(diǎn)判斷A，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷B，對(duì)CD，在，由兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則它們與直線(xiàn)相切，設(shè)切點(diǎn)為，利用公切線(xiàn)求出值進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，和是與的圖像的兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.對(duì)于選項(xiàng)B，令，，令，.時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以，所以單調(diào)遞增，又，，所以有唯一零點(diǎn)，從而與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn).對(duì)于C，D選項(xiàng)，，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn),則兩個(gè)函數(shù)的圖像都與直線(xiàn)相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，，所以，又，所以，解得，.故選：BD．三、填空題13．已知向量，，若，則.【答案】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【詳解】由題意可得，則，解得.故答案為：．14．若（，且）是奇函數(shù)，則.【答案】/【分析】根據(jù)題意，函數(shù)是奇函數(shù)，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】由，可得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，解得.故答案為：.15．衡量曲線(xiàn)彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線(xiàn)的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的曲率.已知函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的曲率為.【答案】/【分析】求出和，繼而求出和，根據(jù)曲率的計(jì)算即可得答案.【詳解】因?yàn)?，故，，故，故，即曲線(xiàn)在點(diǎn)處的曲率為，故答案為：16．如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀(guān)測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)的仰角，從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角，從C點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角為．已知山高（百米），，，則山高（百米）．

【答案】5【分析】由題意，過(guò)C作CE垂直于MN，交MN于點(diǎn)E，設(shè)，則，由題可知，則，，在中，利用余弦定理求出，從而可求得的值．【詳解】過(guò)C作CE垂直于MN，交MN于點(diǎn)E，如圖．

設(shè)，由題意，則，由題可知，則，，在中，，即，化簡(jiǎn)可得，所以（負(fù)值已舍去），則．故答案為：5.四、解答題17．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.(1)求的值；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求解；（2）由，得到，再由的面積為，得到，然后利用余弦定理求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?（2）由（1）可得，所以.因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，則.由余弦定理可得，即，所以，則.故的周長(zhǎng)為.18．已知函數(shù)，且.(1)求a的值及的定義域；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)得到，進(jìn)而由真數(shù)大于0得到不等式，求出定義域；（2）不等式變形得到，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性和真數(shù)大于0得到不等式組，求出不等式的解集.【詳解】（1）因?yàn)?，解?由題意可得，解得，故的定義域?yàn)?（2）不等式等價(jià)于，即，由于在上單調(diào)遞增，則，解得.故不等式的解集為.19．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圖象鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求得函數(shù)的周期，即可求得，再利用待定系數(shù)法求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）先求出函數(shù)的值域，不等式恒成立，即恒成立，進(jìn)而可得出答案.【詳解】（1）由題意可得的最小正周期，則，因?yàn)榈牡膱D像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得，因?yàn)椋?，令，解得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，所以恒成立，所以，解得，故m的取值范圍為.20．某企業(yè)計(jì)劃對(duì)甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目共投資200萬(wàn)元，且每個(gè)項(xiàng)目至少投資10萬(wàn)元.依據(jù)前期市場(chǎng)調(diào)研可知，甲項(xiàng)目的收益（單位：萬(wàn)元）與投資金額t（單位：萬(wàn)元）滿(mǎn)足關(guān)系式；乙項(xiàng)目的收益（單位：萬(wàn)元）與投資金額t（單位：萬(wàn)元）滿(mǎn)足關(guān)系式.設(shè)對(duì)甲項(xiàng)目投資x萬(wàn)元，兩個(gè)項(xiàng)目的總收益為（單位：萬(wàn)元），且當(dāng)對(duì)甲項(xiàng)目投資30萬(wàn)元時(shí)，甲項(xiàng)目的收益為180萬(wàn)元，乙項(xiàng)目的收益為120萬(wàn)元.(1)求的解析式.(2)試問(wèn)如何安排甲?乙這兩個(gè)項(xiàng)目的投資金額，才能使總收益最大？并求出的最大值.【答案】(1)(2)對(duì)甲項(xiàng)目投資18萬(wàn)元，對(duì)乙項(xiàng)目投資182萬(wàn)元，才能使總收益取得最大值453.6萬(wàn)元【分析】（1）根據(jù)題意先求出a，b，由即可得出；（2）設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出的最大值.【詳解】（1）由題意可得，解得.當(dāng)對(duì)甲項(xiàng)目投資30萬(wàn)元時(shí)，對(duì)乙項(xiàng)目投資170萬(wàn)元，則，解得.設(shè)對(duì)甲項(xiàng)目的投資金額為x萬(wàn)元，則對(duì)乙項(xiàng)目的投資金額為萬(wàn)元，則解得.故.（2）設(shè)，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.故，即對(duì)甲項(xiàng)目投資18萬(wàn)元，對(duì)乙項(xiàng)目投資182萬(wàn)元，才能使總收益取得最大值453.6萬(wàn)元.21．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，然后利用累加法求出，從而可求得的通項(xiàng)公式；（2）由結(jié)合（1）可求出，然后利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以．?）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，所以（時(shí)也成立）．因?yàn)?，所以，所以，故?2．已知函數(shù).(1)求曲線(xiàn)在處切線(xiàn)的斜率；(2)當(dāng)時(shí)，比較與x的大??；(3)若函數(shù)，且（），證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求得，得到，即可求得曲線(xiàn)在處切線(xiàn)的斜率；（2）設(shè)函數(shù)，求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可求解；（3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，得到恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明，結(jié)合分析法，要證，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞增，結(jié)合，得到，即可得證.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)，可得，則，所以曲線(xiàn)在處切線(xiàn)的斜率為.（2）解：設(shè)函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，從而，所以.（3）證明：設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則