第4章 二維圖形變換

課題：二維幾何變換目的要求：掌握平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、錯切、反射等二 維坐標變換及其矩陣表示以及仿射變換、齊次 坐標等的概念。教學重點：二維幾何變換教學難點：齊次坐標矩陣表示

教學課時：2課時教學方法：講授法、演示法4.1窗口視圖變換1.窗口和視圖區(qū)用戶坐標系（worldcoordinatesystem，簡稱WC）：用戶用來定義設計對象的坐標系，是實數(shù)型的二維空間。設備坐標系（devicecoordinatesystem，簡稱DC）：計算機圖形系統(tǒng)的工作空間，是自然數(shù)型的二維空間。窗口區(qū)（window）：在用戶坐標系中任意的一個子區(qū)域。一般為矩形區(qū)域，可以用其左下角點和右上角點的坐標來表示。視圖區(qū)（viewport）：設備坐標系的一個子空間。對于顯示器而言，顯示屏幕是設備輸出圖形的最大區(qū)域，任何小于或等于屏幕域的區(qū)域都可定義為視圖區(qū)。一般也為矩形區(qū)域。二維圖形的顯示流程圖2.窗口到視圖區(qū)的變換窗口區(qū)與視圖區(qū)間的映射關(guān)系：窗口區(qū)中的任一點(xw,yw)

與視圖區(qū)中的任一點(xv,yv)存在如下對應關(guān)系：（4-1）（4-2）XwOwWxlWxrYwWybWyt窗口(xw,yw)YuXuOuVxlVxrVybVyt視圖區(qū)(xv,yv)窗口與視圖區(qū)的對應關(guān)系

（4-3）（4-4）由式（4-1）和式（4-2）可分別解得：令有（5-5）

（5-6）

4.2二維幾何變換在計算機繪圖中，經(jīng)常要進行從一個幾何圖形到另一個幾何圖形的變換。例如，將圖形向某一方向平移一段距離；將圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度；將圖形放大或縮小等等。我們把這種變換過程稱為幾何變換。變換的目的：為使要顯示的對象在合適的位置，以合適的大小和方向顯示出來。在幾何造型中，可用圖形變換改變物體間的相對位置，可用透視變換和投影變換產(chǎn)生同一三維景物在各種不同視點位置和視線方向下的不同影像。所有的變換均基于點的變換。例如，一條線段的變換只要考慮它的兩個端點的變換就行了。一個變換是一個單一的數(shù)學實體，能夠用一個矩陣描述和標識。采用向量、矩陣和齊次坐標的形式可以十分方便的描述圖形的變換。1

齊次坐標為了能用矩陣的形式統(tǒng)一描述圖形變換，在圖形學中常采用齊次坐標的形式來描述空間的點。在n維空間中的一個問題，在n+1維空間中相應地也有一個問題，而在n+1維空間中卻常常比n維空間中較易獲得結(jié)果。二維點(x,y)的齊次表示是(hx,hy,h)，這里h是任何一個非零因子，有時叫做比例因子。齊次點(a,b,c)被投射回復到二維時簡單地就是(a/c,b/c)，由比例因子c去除。4.2.0

幾何變換的基本描述在計算機中處理一個三維空間的“無窮遠點”是困難的，但是可以容易地處理一個四維齊次空間的解析點，例如可以用向量：（1000） 表示x軸方向無窮遠點（0100） 表示y軸方向無窮遠點（0010） 表示z軸方向無窮遠點（0001） 表示坐標原點這4個向量將構(gòu)成四維齊次空間的單位矩陣1

齊次坐標2

齊次坐標變換矩陣透視變換比例變換旋轉(zhuǎn)、錯切等平移變換齊次變換矩陣提供一個三維空間中包括平移、旋轉(zhuǎn)、透視、投影、反射、錯切和比例等變換在內(nèi)的統(tǒng)一表達式，使得物體的變換可在統(tǒng)一的矩陣形式下進行。3矩陣級聯(lián)一個變換是由一個單一的數(shù)學實體——矩陣來描述和標識。兩個變換的結(jié)合用矩陣的級聯(lián)（相乘）而產(chǎn)生一個具有兩者功效的單一變換。例如變換T是平移，而變換R是旋轉(zhuǎn)，則變換的結(jié)合允許決定一個變換A=TR，其功效是先平移然后旋轉(zhuǎn)變換。

4.2.1基本二維幾何變換二維圖形幾何變換有五種基本變換形式：平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、對稱、錯切。有兩種不同的變換方法：一種是圖形不動，而坐標系變動，即變換前與變換后的圖形是針對不同坐標系而言的，稱之為坐標模式變換；另一種是坐標系不動，而圖形改變，即變換前與變換后的坐標值是針對同一坐標系而言的，稱之為圖形模式變換。實際應用中，后一種圖形變換更有實際意義，下面討論的圖形變換是屬于后一種變換。1二維平移變換平移變換是指將圖形從一個坐標位置移到另一個坐標位置的重定位。已知一點的原始坐標是P(x,y），加上一個沿X，Y方向的平移量tx和ty，平移此點到新坐標P(x’,y’）,則新坐標的表達式為：如果對一圖形的每個點都進行上述變換，即可得到該圖形的平移變換。實際上，線段是通過對其兩端點進行平移變換，多邊形的平移是平移每個頂點的坐標位置，曲線可以通過平移定義曲線的坐標點位置，用平移過的坐標點重構(gòu)曲線路徑來實現(xiàn)。平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。下圖是一平移變換的例子?？梢杂镁仃囆问絹肀硎径S平移變換方程。圖形變換通常使用齊次坐標矩陣來表示。平移變換方程的齊次坐標矩陣表示式為：其中稱為變換矩陣。2二維旋轉(zhuǎn)變換若圖形中的坐標點P(x,y)繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ,則新坐標點P(x’,y’）的表達式為：公式的推導可參考右圖變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為：其中變換矩陣

上面是點P(x,y)以坐標原點為中心的旋轉(zhuǎn)變換，還可以任意點P0(x0,y0）為中心做旋轉(zhuǎn)變換。其變換公式為：其中變換矩陣:旋轉(zhuǎn)變換只能改變圖形的方位，而圖形的大小和形狀不變。旋轉(zhuǎn)變換的幾何表示見下圖。3二維縮放變換

一個圖形中的坐標點P(x,y），若在X軸方向相對于坐標原點變化一個比例系數(shù)sx，在Y軸方向相對于坐標原點變化一個比例系數(shù)sy，則新坐標點P(x’,y’）的表達式為：這一變換稱為相對于坐標原點的縮放變換,sx和sy分別表示點P(x,y）沿X軸方向和Y軸方向相對坐標原點的縮放系數(shù)?？s放變換改變圖形的大小。變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為：其中變換矩陣：縮放系數(shù)sx和sy可賦予任何正數(shù)值。當值小于1時縮小圖形，值大于1則放大圖形。當sx和sy被賦予相同值時，就產(chǎn)生保持圖形相對比例一致的變換,sx和sy值不等時產(chǎn)生X軸方向和Y軸方向大小不等的比例變換。sx和sy都指定為1時，圖形大小不改變。實際上，相對于坐標原點圖形的比例變換，相當于每一點相對于坐標原點的變換，因此，它不但改變圖形的大小，而且改變圖形的位置。下圖是一圖形比例變換的例子：頂點在原點的放大變換頂點不在原點的放大變換可以通過選擇一個在變換后不改變位置的固定點P0(x0,y0),來控制圖形變換的位置。例對于多邊形圖形，固定點的坐標(x0,y0)可以選擇圖形的某個頂點、圖形幾何中心點或任何其它位置，這樣變換后固定點坐標不改變，多邊形每個頂點相對于固定點縮放。對于坐標為P(x,y)的頂點，相對于固定點P0(x0,y0)變換后的坐標P(x,y)可計算為：寫成齊次坐標矩陣形式為：4.對稱變換對稱變換是產(chǎn)生圖形鏡象的一種變換，也稱鏡象或反射變換。將圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)就可以生成鏡象圖形。（1）對稱于X軸當變換對稱于X軸時，則坐標點P(x,y)經(jīng)對稱變換后，新坐標點P’(x’,y’）的表達式為：寫成齊次坐標矩陣形式為：其中變換矩陣：對稱X軸變換的幾何表示見下圖（2）對稱于Y軸當變換對稱于Y軸時，則坐標點P(x,y)經(jīng)對稱變換后，新坐標點P’(x’,y’）的表達式為：變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為：其中變換矩陣：對稱Y軸變換的幾何表示見下圖（3）對稱于原點當圖形對X軸和Y軸都進行對稱變換時，即為對于坐標原點的對稱變換。變換前后點坐標之間的關(guān)系為：寫成齊次坐標矩陣形式為：其中變換矩陣：對稱原點變換的幾何表示見下圖5.錯切變換錯切變換是圖形位于某坐標軸上的點不動，其它點沿平行于此軸方向移動變形的變換。常用的錯切變換有兩種：改變x坐標值和改變y坐標值。（1）沿X軸方向關(guān)于Y的錯切變換前和變換后y坐標不變，而x坐標根據(jù)y坐標值呈線性變化。變換前后點的坐標之間的關(guān)系為：式中c為錯切系數(shù)。若c＞0，則沿+X方向錯切，若c＜0，則沿-X方向錯切。矩形ABCD經(jīng)錯切變換后變?yōu)锳’B’C’D’的結(jié)果。變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為：其中變換矩陣:（2）沿Y軸方向關(guān)于X的錯切變換前和變換后x坐標不變，而y坐標根據(jù)x坐標值呈線性變化。變換前后點的坐標之間的關(guān)系為：

式中d為錯切系數(shù)。若d＞0，則沿+Y方向錯切，若d＜0，則沿-Y方向錯切。右圖說明了矩形ABCD經(jīng)錯切變換后結(jié)果為A’B’C’D’。變換方程寫成齊次坐標矩陣形式為：其中變換矩陣:除了沿X軸方向和沿Y軸方向的錯切變換外，還可以使用沿平行于X軸方向的軸線或沿平行于Y軸方向的軸線以及任一軸線的錯切變換。對于這些變換，可以通過先平移、旋轉(zhuǎn)軸線，轉(zhuǎn)化為沿X軸方向或沿Y軸方向的錯切變換。

錯切變換不僅改變圖形的形狀，而且改變圖形的方位，還可能使圖形發(fā)生畸變。上面討論的五種變換（平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、對稱、錯切）給出的都是點變換的公式，圖形的變換實際上都可以通過點變換完成。例如直線段的變換可通過變換兩個端點，并重畫新端點間的線而得到。多邊形的變換可通過變換每個頂點，并用新的頂點來生成多邊形而實現(xiàn)。曲線的變換可通過變換控制點并重畫線來完成。符合形式：的坐標變換稱為二維仿射變換。變換的坐標x’和y’都是原始坐標x和y的線性函數(shù)。參數(shù)aij是由變換類型確定的常數(shù)。仿射變換具有平行線轉(zhuǎn)換成平行線和有限點映射到有限點的一般特性。

4.2.2復合變換（級聯(lián)）所謂二維圖形的復合變換，就是在XY平面內(nèi)，對一個已定義的圖形，按一定順序進行多次變換而得到新的圖形。一般把上面討論的幾種變換稱為基本的圖形變換，絕大部分復雜的圖形變換都可以通過這些基本變換的適當組合來實現(xiàn)。利用前面所提供的矩陣表示，就可通過計算單個變換的矩陣乘積，將任意順序變換的矩陣建立為復合變換矩陣。1.相對于任意點（x0,y0）的比例變換對任意點比例變換的步驟：（1）平移變換（2）相對于原點的比例變換（3）平移變換

當（x0,y0）為圖形重心的坐標時，這種變換實現(xiàn)的是相對于重心的比例變換。