第2講-分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)及其光學(xué)特性

電磁場(chǎng)的基本性質(zhì)光學(xué)薄膜系統(tǒng)特性計(jì)算膜層參數(shù)的變化對(duì)光譜特性的影響多層周期膜及規(guī)整介質(zhì)高反膜膜系的分析設(shè)計(jì)方法薄膜光學(xué)的基礎(chǔ)理論第二講——分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)及其光學(xué)特性工作波段：光學(xué)薄膜厚度與考慮的波長(zhǎng)在同一個(gè)數(shù)量級(jí)薄膜的面積與波長(zhǎng)相比可認(rèn)為無(wú)限大薄膜材料各向同性、均勻薄膜材料為非鐵磁性材料光穿過(guò)膜層而非沿著膜層在膜層內(nèi)傳播幾個(gè)假設(shè)條件電磁波譜電磁波譜（續(xù)）兩束光產(chǎn)生干涉的條件：頻率相同振動(dòng)方向一致位相相同或位相差恒定薄膜的干涉薄膜的雙光束干涉

薄膜的雙光束干涉（續(xù)）薄膜的雙光束干涉（續(xù)）

多光束干涉強(qiáng)度的計(jì)算原則上和雙光束完全相同，也是先把振動(dòng)迭加，再計(jì)算強(qiáng)度，差別僅在于參與干涉的光束由兩束增加到多束，至于計(jì)算方法則以采用復(fù)振幅最為方便。薄膜的多光束干涉1.1.1分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)注意，在研究光學(xué)薄膜時(shí)，我們?nèi)∪鐖D所示的坐標(biāo)系統(tǒng)，零點(diǎn)位于基底與膜層的交界面上，z軸垂直于膜面由基底指向入射介質(zhì)，x、y軸位于膜面所在平面內(nèi)，其中x軸垂直于紙面指向里，x、y、z軸構(gòu)成右手螺旋定律。

為了方便，我們將光學(xué)薄膜抽象成如圖所示的物理模型。兩種均勻的各向同性的介質(zhì)1和2被一系列相互平行的平板介質(zhì)分隔開(kāi)。這里所謂各向同性就是說(shuō)介質(zhì)的介電常數(shù)和電導(dǎo)率在與膜面平行的平面內(nèi)是不變的。介質(zhì)2是平板介質(zhì)的載體，也就是說(shuō)平板介質(zhì)是覆蓋在介質(zhì)2上面的。所以介質(zhì)2通常被稱為基底（substrate),通常入射光從介質(zhì)1入射，因此介質(zhì)1被稱為入射介質(zhì)。多數(shù)情況下入射介質(zhì)為空氣，覆蓋在基底上的平板介質(zhì)就是光學(xué)薄膜，通常情況下，光學(xué)薄膜的縱向厚度（z向）為光的波長(zhǎng)數(shù)量級(jí)（um量級(jí)），而其橫向大?。▁、y向）為mm量級(jí)，因此相對(duì)其縱向厚度，我們可以認(rèn)為光學(xué)薄膜的橫向大小為無(wú)窮大，也就是說(shuō)光學(xué)薄膜在其膜面方向上是無(wú)限擴(kuò)展的。分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）

當(dāng)一束平面電磁光波從入射介質(zhì)入射到光學(xué)薄膜上，則會(huì)產(chǎn)生一束反射光和一束透射光。假設(shè)：①入射介質(zhì)、薄膜及基底都非磁性②薄膜中沒(méi)有體電荷出現(xiàn)則各介質(zhì)中電磁場(chǎng)的麥克斯韋方程滿足如下的形式：（1.1.1）注意：采用的是高斯單位制分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）

毫無(wú)疑問(wèn)，在σ

和ε連續(xù)的點(diǎn)（即在入射介質(zhì)，薄膜的各層中以及基底內(nèi)），電矢量?和磁矢量H是滿足上面的方程的，在σ

和ε不連續(xù)的點(diǎn)（即在膜層的邊界處），電矢量?和磁矢量H的切向分量是連續(xù)的。因此，研究薄膜中的電磁場(chǎng)的性質(zhì)實(shí)際上就是在給定的邊界條件下求解上面的電磁場(chǎng)方程。分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）

假設(shè)入射光是圓頻率為ω的單色平面電磁波，則電矢量?

和磁矢量H

可以表示如下：其中矢量E和矢量H只與空間變量有關(guān)將上式代入方程（1.1.1），化簡(jiǎn)后可得：(1.1.2)分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）定義兩個(gè)參數(shù)：波長(zhǎng)λ和波數(shù)k波長(zhǎng)λ定義為光波在一個(gè)周期內(nèi)所走的路程，即：波數(shù)k定義為2π

單位內(nèi)所包含的波長(zhǎng)的數(shù)目，即：分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）因此，方程（1.1.2）可簡(jiǎn)化為：(1.1.3)(1.1.2)分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）為了求解矢量方程組（1.1.3），我們首先需要將它化為標(biāo)量方程組。為此，我們將電磁場(chǎng)分為s分量和p分量，其中s分量又稱為橫電波分量，它的特征是電矢量方向垂直于入射面*1。p分量又稱為橫磁波分量，它的特征是電矢量方向位于入射面內(nèi)，相應(yīng)的，其磁矢量方向垂直于入射面（這就是橫磁波的由來(lái)）*2。*1:入射面就是光線的入射方向和被入射表面的法線方向所構(gòu)成的平面。*2:注意：在規(guī)定s、p分量時(shí)都是以電矢量方向作為參考的。分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）為了便于說(shuō)明，我們將膜系結(jié)構(gòu)圖進(jìn)一步簡(jiǎn)化為下圖：說(shuō)明返回分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）S分量情形：

在圖1.2中，規(guī)定入射角為γa，入射介質(zhì)的介電常數(shù)為εa，基底的介電常數(shù)為εs。下面分別就s、p偏振兩種情形求解方程（1.1.3）。(1.1.3)(1)(2)(3)(4)(5)(6)分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）(1.1.3)注：將方程（2）(3)代入方程（4）可得：（1.1.5）運(yùn)用變量分離法，假設(shè)：代入方程（1.1.5），可得：（1.1.6）方程的左邊只與y有關(guān)，而右邊只與z有關(guān)，因此只能等于一個(gè)常數(shù)，此處假設(shè)這個(gè)常數(shù)為k2α2。其中k為入射波的波數(shù)，α為一個(gè)待定常數(shù)。因此可根據(jù)方程（1.1.6）得：（1.1.7）分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）(2)(3)(4)

這個(gè)方程的解的形式為g(y)=exp(±ikαy)，而由于α是一個(gè)待定常數(shù)，它的正負(fù)符號(hào)也是沒(méi)有確定的，因此我們?nèi)〗獾男问綖間(y)=exp(ikαy)并不會(huì)影響最終結(jié)果。因此Ex可以寫成下面的形式：從方程（3）可得：從方程（2）可以看出，Hy也有類似的形式，因此假設(shè)：分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）（1.1.7）(3)(2)到目前為止，我們可以將s分量的E、H分別寫成下面的形式:（1.1.8）這種形式的E、H滿足方程（1）、（3）、（5）、（6），由方程（2）、（4），我們可以得到關(guān)于u、v的方程組：（1.1.9）分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）(1)(2)(3)(4)(5)(6)下面來(lái)考查一下u、v的連續(xù)性。在ε連續(xù)的點(diǎn)，也就是在膜層或基底和入射介質(zhì)中，根據(jù)方程（1.1.9）可以看出u、v是連續(xù)的，而在ε不連續(xù)的點(diǎn)即在膜層的邊界處，根據(jù)邊界條件可知，E、H的切向分量是連續(xù)的，而從（1.1.8）可以看出，E、H的切向分量為u(z)exp(ikαy)和-v(z)exp(ikαy)，而這個(gè)連續(xù)的條件在任意y處都成立，因此u(z)

和v(z)也必定連續(xù)，因此，u(z)、v(z)在膜層、基底和入射介質(zhì)中處處連續(xù)。分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）（1.1.9）（1.1.8）下面來(lái)確定常數(shù)α。入射單色平面電磁波的電矢量可以表示為：其中，矢量k表示入射波的波矢，矢量r表示觀察點(diǎn)處的坐標(biāo)矢量｛x,y,z｝，在入射介質(zhì)中：其中k為光在真空中的波數(shù)，矢量l是光波傳播方向的單位矢量，從圖1.2可以看出：分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）因此，入射波的電矢量可以表示為：與（1.1.8）比較可得：經(jīng)過(guò)同樣的推導(dǎo)過(guò)程可得：因此：這就是著名的折射定律，這個(gè)方程對(duì)于吸收介質(zhì)也是成立的，只要將介電常數(shù)換成復(fù)介電常數(shù)就可以了。事實(shí)上，對(duì)于膜層中的任意一層膜，假設(shè)它的介電常數(shù)為ε，折射角為γ都有：分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）（1.1.8）對(duì)于p偏振情形，經(jīng)過(guò)類似的推導(dǎo)，可得：和(1.1.14)方程（1.1.8）、（1.1.9）和（1.1.13）、（1.1.14）是求解分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)的最基本的方程。分層介質(zhì)的電磁場(chǎng)（續(xù)）（1.1.8）（1.1.9）(1.1.13)這一節(jié)的主要任務(wù)是推導(dǎo)出分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率的通用表達(dá)式。下面分s、p偏振兩種情形來(lái)討論。S偏振情形方程（1.1.9）在入射介質(zhì)和基底中也是成立的。在入射介質(zhì)中：將方程（1.1.9）的第一個(gè)方程兩邊對(duì)z求導(dǎo)，再將第二個(gè)方程代入就可得到：（1.1.15）令：則方程（1.1.15）可化為：1.1.2分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（1.1.9）方程（1.1.15）的兩個(gè)線形獨(dú)立解exp(-ikqaz)和exp(+ikqaz),由于我們選擇的時(shí)間因子為exp(iωt)，則第一個(gè)線性獨(dú)立解代表沿＋z方向傳播的波，第二個(gè)線性獨(dú)立解代表的是沿-z方向傳播的波。對(duì)于如圖1.2中選擇的坐標(biāo)系。入射波的形式為exp(ikqaz)，反射波的形式為exp(-ikqaz)。因此從（1.1.9）的第一個(gè)方程很容易得到：（入射波）而對(duì)于反射波，同樣可以得到：分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（續(xù)）（1.1.9）（1.1.15）假設(shè)膜系與入射介質(zhì)的交界面處的z坐標(biāo)為za（如圖），該處的入射光和反射光的電矢量的切向分量的幅度分別為EA和ER，則對(duì)于入射光：對(duì)于反射光：同樣對(duì)于透射光，假設(shè)膜系與基底交界面處的電矢量的切向分量的幅度為ET，則：其中因此，對(duì)于s偏振，其幅度透射率和反射率可定義為：注意：用切向分量定義幅度透射率和反射率的原因主要是：①只關(guān)心沿膜面垂直的方向傳播的能量。②符合垂直入射時(shí)的常識(shí)。分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（續(xù)）

幅度反射率不會(huì)隨著入射光、反射光及透射光的電矢量的幅度變化而變化，它是由膜系本身的性質(zhì)決定的，因此，我們可以用透射光的電矢量的幅度來(lái)歸一化場(chǎng)矢量，也就是假設(shè)ET＝1。另外，注意方程（1.1.9）中的u、v的解不僅依賴于z，而且還依賴于k，因此，從現(xiàn)在開(kāi)始我們將u、v分別寫成u（z，k）、v（z，k）來(lái)表示這種依賴關(guān)系。分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（續(xù)）（1.1.9）從u、v在基底與膜系的交界面處的連續(xù)性可以得到方程（1.1.9）的初始條件為：（1.1.16）在外邊界za處，場(chǎng)的幅度是入射光和反射光的幅度的和，則：從這兩個(gè)式子可以推出：注意，這里假設(shè)ET＝1，所以：（1.1.17）方程（1.1.17）的推導(dǎo)過(guò)程中，我們沒(méi)有作任何假設(shè)，因此，方程（1.1.17）的結(jié)果是普遍適用的。分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（續(xù)）（1.1.9）到目前為止，我們可以根據(jù)初始條件（1.1.16）求解方程組（1.1.9），并進(jìn)而根據(jù)（1.1.17）求解出膜系的幅度反射率和幅度透射率。這是求解膜系光譜系數(shù)的一種方法，但我們后面會(huì)介紹更簡(jiǎn)便的遞推方法。分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（續(xù)）（1.1.9）（1.1.16）（1.1.17）P偏振情形經(jīng)過(guò)類似的推導(dǎo)，我們可以從形式上得到與s偏振相同的結(jié)果（（1.1.16）和（1.1.17））。只是其中qa和qs取值不同。分層介質(zhì)的幅度透射率和反射率（續(xù)）（1.1.16）（1.1.17）為了方便，我們引入折射率的概念（電磁波在真空中的速度c與在介質(zhì)中的速度v之比稱為介質(zhì)的折射率n），我們規(guī)定折射率和介電常數(shù)的關(guān)系為：對(duì)于吸收介質(zhì)，則規(guī)定：參數(shù)α可以表示成：折射定律可以表示成我們熟悉的形式：參數(shù)qa和qs也可以方便地寫成下面的形式：S偏振情形