排列組合總結(jié)

PAGEPAGE7排列組合總結(jié)排列組合常用基本方法：原始原理法：根據(jù)加法原理和乘法原理，按特定元素、特定位置等，分步分類計算，遇到不同情況，就再分細一些，總能算出來。排列組合公式：加法和減法排列組合常用小技巧概率法***一天的課程表要排入語文、數(shù)學、物理、化學、英語、體育六節(jié)課，如果數(shù)學必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？分析：在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學之前與數(shù)學課排在體育之前的概率相等，均為，故本例所求的排法種數(shù)就是所有排法的，即A=360種***用1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的七位數(shù)中，（1）若偶數(shù)2，4，6次序一定，有多少個？（2）若偶數(shù)2，4，6次序一定，奇數(shù)1，3，5，7的次序也一定的有多少個？解（1）（2）二、容斥原理三、插空法當需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。***在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？分析：原有的8個節(jié)目中含有9個空檔，插入一個節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個，故有=100中插入方法。***身高互不相同的7名運動員站成一排，甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？解：（插空法）現(xiàn)將其余4個同學進行全排列一共有A44種方法，再將甲、乙、丙三名同學插入5個空位置中（但無需要進行排列）有C53種方法．根據(jù)分步計數(shù)原理，一共有A44*C53＝240種方法．四、捆綁法當需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。***4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？分析：先將男生捆綁在一起看成一個大元素與女生全排列有種排法，而男生之間又有種排法，又乘法原理滿足條件的排法有：×=576***某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其中有一所學校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（）（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有其余的就是19所學校選28天進行排列）五、先選后排法A.1260種 B.2025種 C.2520種 D.5054種分析：C102*C81*C71=C104*C42*C21***先分類后分步：求用1、2、3、4、5這5個數(shù)字可組成多少個比30000大，且百位數(shù)字不是3的無重復數(shù)字的偶數(shù)？***先組合再排列：求有多少個恰好含有2個偶數(shù)數(shù)碼的無重復數(shù)字的五位整數(shù)？排列組合公式：3.組合數(shù)公式：（適用于計算）又，所以（適用于證明）4、組合數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：規(guī)定：排列數(shù)公式：排列組合固定問題：一、隔板問題：名額分配或相同物品的分配問題，適宜采隔板法解決方法：1、原始原理法；2、公式法。n和m：C(n-1)(m-1)當最小為1時；或C(n+m-1)(m-1)當最小為0時。***某校準備組建一個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學生組成，每班至少一人，名額分配方案共種。分析：此例的實質(zhì)是12個名額分配給8個班，每班至少一個名額，可在12個名額種的11個空當中插入7塊閘板，一種插法對應(yīng)一種名額的分配方式，故有C117種***某校準備組建一個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學生組成，每班至少0人，名額分配方案共種。分析：此例的實質(zhì)是12個名額分配給8個班，每班至少0個名額。第一種方法，可設(shè)想平白增加8個名額，每班多分一個，這樣就與上題一樣了，為C197。第二種方法，原始原理法，第一塊板有13種選擇，第二塊板有14種選擇，共13*14*15*16*17*18*19/A77=C197種。***求（a+b+c）10的展開式的項數(shù)．解展開使的項為aαbβcγ,且α+β+γ=10，因此，把問題轉(zhuǎn)化為2個相同的黑球與10個相同的白球的排列問題．=66（種）***有20個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子里，要求每個盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號數(shù)，問有多少種不同的方法？（）***不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的整數(shù)解有（）***（1）方程解的個數(shù).（2）方程解的個數(shù).***10個競賽名額，分配給7個學校，每個學校至少一個名額，有多少種分法？***12個相同的球分給3個人，每人至少一個，而且必須全部分完，有多少種分法？***書架上原來排放著5本書，現(xiàn)在要插入3本不同的新書，若要保持原有的5本書順序不變，則不同的插法有_____種？二、相同球問題：解決方法：1、仿隔板問題；2、全排列除以重復的。***5(m)個相同白球與7(n)個相同黑球的排列共有多少種？C127=C125=A125/A55=A127/A77=A1212/（A55*A77）C(m+n)m=C(m+n)n=A(m+n)m/Amm=A(m+n)n/Ann=A(m+n)(m+n)/(Amm*Ann）***5個相同白球與7個相同黑球的排列，其中三個白球必在一起，共有多少種？A103/A22。把3個白球看做一個，另二個白球可互換?；?A1010/(a22*A77)，九個單球和一個三球全排列，再除去二個白球和七個黑球重復的。***5個相同白球與7個相同黑球的排列，其中白球只有三個在一起，另二個白球也不相鄰，共有多少種？A83/A22。把3個白球看做一個，另二個白球可互換。***5個相同白球與7個相同黑球的排列，其中白球只有三個在一起，另二個白球可以相鄰，共有多少種？8*7*8/A22。把3個白球看做一個，另二個白球可互換。***某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種．解把問題轉(zhuǎn)化為四個相同的黑球與四個相同白球，其中只有三個黑球相鄰的排列問題．A52=20種。因為是三個黑球與一個黑球，所以不存在重復情況，不用除以2！。***從1，2，3，…，1000個自然數(shù)中任取10個不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的去法．解轉(zhuǎn)化為10個相同的黑球與990個相同白球，其其中黑球不相鄰的排列問題。***某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種．解無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱，因此，把問題轉(zhuǎn)化為3個相同的白球與4個相同的黑球的排列問題．=35（種）***一個樓梯共18個臺階12步登完，可一步登一個臺階也可一步登兩個臺階，一共有多少種不同的走法．解根據(jù)題意要想12步登完只能6個一步登一個臺階，6個一步登兩個臺階，因此，把問題轉(zhuǎn)化為6個相同的黑球與6個相同的白球的排列問題．=924（種）．***亞、歐乒乓球?qū)官悾麝牼?名隊員，按事先排好的順序參加擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程．那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？解設(shè)亞洲隊隊員為a1,a2，…,a5,歐洲隊隊員為b1，b2，…，b5，下標表示事先排列的出場順序，若以依次被淘汰的隊員為順序．比賽過程轉(zhuǎn)化為這10個字母互相穿插的一個排列，最后師勝隊種步被淘汰的隊員和可能未參加參賽的隊員，所以比賽過程可表示為5個相同的白球和5個相同黑球排列問題，比賽過程的總數(shù)為C105=252（種）***4個相同的黑球和3個相同的白球排成一排,則不同的排列方法是___________.***一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球（1）從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含有黑球，有多少種取法？***如上圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從M到N不同的走法有多少種？三、分組問題：解決方法：1、原始原理法；2、公式法。***6本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？分析：分出三堆書（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由順序不同可以有=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有=15種***把6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：⑴分給甲、乙、丙三人，每人兩本；⑵分為三份，每份兩本；⑶分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；⑷分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；⑸分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．***3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，不同的分配方法共有______.***現(xiàn)有4個不同的小球.（1）將其分成2堆，每堆2個，有多少種方法？（2）將其分成2堆，一堆1個，一堆3個，有多少種方法？（3）將其分給兩個人，每人2個，有多少種方法？（4）將其分給兩個人，一人1個，一人3個，有多少種方法？（5）將其分成3堆，每堆至少1個，有多少種方法？（6）將其分給三個人，每人至少1個，有多少種方法？四、染色問題：解決方法：1、原始原理法；2、合并單元格法。***（全國卷（文、理））如圖1，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（以數(shù)字作答）。分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5．下面分情況討論:(ⅰ)當2、4顏色相同且3、5顏色不同時，將2、4合并成一個單元格，此時不同的著色方法相當于4個元素①③⑤的全排列數(shù)（ⅱ）當2、4顏色不同且3、5顏色相同時，與情形(ⅰ)類似同理可得種著色法．（ⅲ）當2、4與3、5分別同色時，將2、4；3、5分別合并，這樣僅有三個單元格①從4種顏色中選3種來著色這三個單元格，計有種方法．由加法原理知：不同著色方法共有2=48+24=72（種）方法二：解：根據(jù)題意可分類求解：第一類用三種顏色著色，由乘法原理C41C31C21=24種方法；第二類，用四種顏色著色，由乘法原理有2C41C31C21=48種方法．從而再由加法原理得24+48=72種方法．即共有72種不同的著色方法．點評：本題考查計數(shù)原理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是看出本題需要分類也需要分步，在分類和分步時要做到不重不漏．12345***（天津卷（文））將3種作物種植在如圖的5塊試驗田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共種（以數(shù)字作答）可以想到，將3種作物種植在5塊試驗田里(連成一排)每塊種一種作物,且相鄰的試驗田不能種同一種作物，就是第一塊可以種3種不同的植物，第二塊與第一塊不同，就只能種2種不同的植物，余下的幾塊都只能種2種不同的植物。但要注意：這樣會造成5塊田只種2種植物的情況，應(yīng)排除之。具體做法是：3*2*2*2*2-2*C(3,2)=42減號后面的2就是指選出來的2種植物的每一種都有排在首田的可能。***（江蘇、遼寧、天津卷（理））某城市中心廣場建造一個花圃，花圃6分為個部分（如圖3），現(xiàn)要栽種4種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同一樣顏色的話，不同的栽種方法有種（以數(shù)字作答）．（120）先確定1，2，3，4號區(qū)域的顏色.它們的方法數(shù)依次是4、3、2、2.其中4號區(qū)域的兩種顏色，一種是與2號相同，一種是與1，2，3區(qū)域都不同的第四種顏色.由于它影響后面5、6號區(qū)域顏色的確定，按4號區(qū)域的兩種顏色進行分類，成為兩個類別.設(shè)這4種顏色分別為紅、黃、綠、藍，又設(shè)1、2、3號區(qū)域分別已確定為紅、黃、綠、，則4號區(qū)域可能為藍，也可能為黃。若4號區(qū)域為藍，5、6號區(qū)域的顏色確定為黃-藍、黃-綠或綠-藍3種方法.若4號區(qū)域的顏色為黃，5、6號區(qū)域的顏色確定為綠-藍或藍-綠2種方法.所以不同的栽種方法共有4×3×2×（３+2）=120（種）．AABCDEF***如圖4，用不同的5種顏色分別為ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復使用也可以不用，則符合這種要求的不同著色種數(shù)．5*4*3*3*3=540A...5B...4C...3D...3E...3（540）***如圖5：四個區(qū)域坐定4個單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是種（84）分析：顯然，相對位置（比如Ⅰ，Ⅲ）的服裝顏色可以相同，也可以不同，因為它們不相鄰，但它們服裝顏色是否相同對另兩個區(qū)域（Ⅱ，Ⅳ）的服裝顏色的影響是不同的，所以考慮以此為分類討論的標準.解法一：若每個區(qū)域服裝顏色不相同，則有A44=24種；若Ⅰ、Ⅲ或Ⅱ、Ⅳ同色，另兩區(qū)域不同色，則有2A43=48種；若Ⅰ、Ⅲ與Ⅱ、Ⅳ分別同色，則有A42=12種.故共有24+48+12=84種.解法二：Ⅰ有4種可能，Ⅱ有3種可能，Ⅲ可與Ⅰ相同或不同，故共有4×3×3+4×3×2×2=84種方法.***將一四棱錐(圖6)的每個頂點染一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法共種（420）5*4*3*(1*3+2*2)例8.在一個正六邊形的六塊區(qū)域栽種觀賞植物，要求同一塊區(qū)域中種同種植物，相鄰兩塊種不同植物，現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，共有多少種不同的栽種方法？4.有一個矩形被兩對角線分為四塊,現(xiàn)在用5種不同顏料給四塊區(qū)域涂色,要求共邊的兩塊顏色不同,每塊涂一種顏色,共有多少種不同方法?五、錯位問題：解決方法：1、原始原理法；2、公式法。兩個換位a2=1三個換位a3=2四個換位a4=9五個換位a5=44，一般地，an=(n-1)(an-1+an-2)。***設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個茶杯和編號為1，2，3，4，5的五個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有（）***同室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的卡片，則不同的分配方法有種（9）公式1）n=4時a4=3(a3+a2)=9種即三個人有兩種錯排，兩個人有一種錯排．***有五位客人參加宴會，他們把帽子放在衣帽寄放室內(nèi)，宴會結(jié)束后每人戴了一頂帽子回家，回家后，他們的妻子都發(fā)現(xiàn)他們戴了別人的帽子，問5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少種？（44）六、幾何問題：***四面體的一個頂點位A,從其它頂點與各棱中點取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有種（3+3=33）***四面體的棱中點和頂點共10個點（1）從中任取3個點確定一個平面，共能確定多少個平面？(-4+4-3+3-6C+6+2×6=29)：（四個表面-4+4；一棱與對面棱中點-6C+6；四個中點-3+3）1)三個點都是頂點:一共有4種,就是四面體的四個表面;2)兩個頂點,一個棱中點:為了不和上面的四個面重合,當兩個頂點確定時,只有一個選擇(此時的面就是一條棱和它的對棱的中點確定的面),所以這種情況一共有6鐘(6條棱或者是4C2);3)一個頂點,兩個棱中點:為了不和上面重合,確定一個頂點后,則只能選取它的對面的三個中點了,有3C2=3種情況,就是4*3=12種;4)三個都是棱中點:可以在正四面體中想,這樣的面要么和外表面平行要么和一對對棱平行,所以有4+3=7種綜上,共有4+6+12+7=29個面.(2)以這10個點為頂點，共能確定多少格凸棱錐？三棱錐C104-4C64-6C44-3C44=141四棱錐6×4×4=963×6=18共有114***四面體的頂點和各棱的中點共10個點，其中取4個點，可以組成多少個不同的三棱錐？從10個點中任取4個點有種C(10,4)取法，其中4點共面的情況有三類。第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面內(nèi)，有4C(6,4)種；第二類，取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點，這4點共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4個點共面，有3種。以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同的取法共有：C(10,4)-4*C(6,4)-6-3=141（種）。***以正方體的頂點為頂點，能作出的三棱錐的個數(shù)是_____________.***平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？***平面內(nèi)有12個點，任何3點不共線，以每3點為頂點的三角形共可畫多少個？***AB和CD為平面內(nèi)兩條相交直線，AB上有m個點，CD上有n個點，且兩直線上各有一個與交點重合，則以這m+n-1個點為頂點的三角形的個數(shù)是_____________.***以正方體的頂點為頂點，能作出的三棱錐的個數(shù)是_____________.***在連接正八邊形的三個頂點構(gòu)成的三角形中，與正八邊形沒有公共邊的三角形有__________個.***AB和CD為平面內(nèi)兩條相交直線，AB上有m個點，CD上有n個點，且兩直線上各有一個與交點重合，則以這m+n-1個點為頂點的三角形的個數(shù)是_____________.***在如圖格盤中，共有多少個不同（形狀和位置）的矩形？七、排隊問題：要用到排列組合常用基本方法中的各種方法和排列組合常用小技巧中的各種技巧。***一個小組5名男同學，6名女同學，排成一排，（1）有多少種不同的排法？（改變題意：排成三排（前4中3后4）呢？）（2）男女間隔有多少種不同的排法？（改變題意：男生6名，女生6名呢？）（3）男生站在一起，女生站在一起，有多少種不同的排法？***7名學生坐在一排照相，按下列不同作法去排列，有多少種不同的坐法？⑴7名同學站成一排，共有多少種不同的排法？⑵7名同學站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？⑶7名同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？⑷7名同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？⑸7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？⑹甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有多少種？⑺甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種？⑻甲、乙和丙三個同學都相鄰的排法共有多少種？⑼甲、乙兩同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？⑽甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？⑾甲、乙和丙三個同學都不能相鄰的排法共有多少種？***現(xiàn)有A、B、C、D、E五個人站排.（1）站成一排有多少種方法？（2）站成兩排，前排2人，后排3人，有多少種方法？（3）站成一排，A在排頭有多少種方法？（4）站成一排，A不在排頭有多少種方法？（5）站成兩排，前排2人，后排3人，A不在前排有多少種方法？（6）站成兩排，前排2人，后排3人，A不在前排B不在后排有多少種方法？（7）站成一排，A不在排頭且B不在排尾，有多少種方法？（8）站成一排，A、B相鄰，有多少種方法？（9）站成一排，A、B不相鄰，有多少種方法？（10）站成一排，A、B不相鄰，且A與B之間至少相隔兩人，有多少種方法？（11）站成一排，A、B、C相鄰，有多少種方法？（12）站成一排，A、B、C互不相鄰，有多少種方法？（13）站成一排，A、B相鄰，C、D也相鄰，有多少種方法？（14）站成一排，A、B不相鄰，C、D也不相鄰，有多少種方法？（15）站成一排，A、B相鄰，且A、C也相鄰，有多少種方法？（16）站成一排，A、B相鄰，且A、C不相鄰，有多少種方法？（17）若C、D、E已經(jīng)站好，這時再把A、B插入排中，有多少種方法？（18）站成一排，A不在排頭，B不在排尾且C不在中間，有多少種方法？（19）五個人已經(jīng)站好，重新站隊時，至少有兩個人還站在原來位置上，有多少種方法？（20）五個人已經(jīng)站好，重新站隊時，每個人均不站在原來位置上，有多少種方法？(21)若從這五個人中選四人參加4*100米接力賽,A不跑第一棒,B不跑第二棒,C不跑第三棒,D不跑第四棒,則不同的參賽方式有多少種?***現(xiàn)有A、B、C、D、E五個人,A、B、C是男生，D、E是女生.（1）若從中選3名代表有多少種方法？（2）若從中選3名代表且A一定當選，有多少種方法？（3）若從中選3名代表且A不能當選，有多少種方法？（4）若從中選3名代表且A一定當選，B不能當選，有多少種方法？（5）若從中選3名代表且A、B中有且只有一人當選，有多少種方法？（6）若從中選3名代表且男生恰好有2人，有多少種方法？（7）若從中選3名代表且男生至少有2人，有多少種方法？（8）若從中選3名代表且男生至多有2人，有多少種方法？（9）若從中選3名代表且男、女生都有，有多少種方法？（10）若從中選3名代表且男生人數(shù)多于女生人數(shù)，有多少種方法？***從6個人中選4個人坐在一排的4個不同的座位上（每人1個座），若甲指定坐在兩端的任一座位上，求不同的坐法種數(shù)？***五種不同商品在貨架上排成一排，其中a,b兩種必須連排，而c,d兩種不能連排，則不同的排法共有（）***把a,b,c,d,e作全排列，其中a,b,c三個元素在排列中的順序保持a-b-c（其中間可相鄰可不相鄰）的排列有幾種？***從7名運動員中選出4人參加4*100米接力，求滿足下述條件的安排方法的種數(shù).（1）甲不跑第一棒和第四棒；（2）甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（3）甲、乙二人都不跑中間兩棒；（4）甲、乙二人不都跑中間兩棒；***有編號為1、2、3、4、5、的五列火車進入a,b,c,d,e五個軌道，要求編號為1的火車不能進入a軌道，編號3的火車不能進入c軌道，有多少種不同的進入軌道的方法？***6張同排連號的電影票，分給3名教師和3名學生，欲使師生相間而坐，則不同的分法有__________.***3名男生、3名女生站成一排，要求男與男、女與女互不相鄰的不同排法的種數(shù)有___________***身高互不相同的6個人，排成2橫行3縱列，在第一行的每個人都比他同列身后的人個子矮，則所有不同的排法種數(shù)是_____.八、公共元素問題：***10名演員，其中5名能唱歌，8名能跳舞，從中選出5人，使這5人能演出一個由1人獨唱4人伴舞的節(jié)目，共有幾種選法？***有12名劃船運動員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，其余5人既會劃左舷又會劃右舷，現(xiàn)在要從這12名運動員中選出6人平均分在左、右舷劃船參加比賽，有多少種不同的選法？***某文藝團體有10人,每人至少會唱歌或跳舞中的一種,其中7人會唱歌,5人會跳舞,從中選出會唱歌與會跳舞的各1人,有多少種不同的選法?九、容斥原理問題：A．30種 B．31種 C．32種 D．36種***五人站成一列，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上，有多少種站法？***五人站成一列,甲不站排頭,乙不站排尾,丙不站中間,有多少不同站法?十、變形問題：***圓周上共有15個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點最多有多少各？分析：因兩弦在圓內(nèi)若有一交點，則該交點對應(yīng)于一個以兩弦的四端點為頂點的圓內(nèi)接四邊形，則問題化為圓周上的15個不同的點能構(gòu)成多少個圓內(nèi)接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點最多有=1365（個）***馬路上有編號為1，2，3，…，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，有多少種不同的關(guān)燈方法？***馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有C53種***在100名選手之間進行單循環(huán)淘汰賽（即一場失敗要退出比賽）最后產(chǎn)生一名冠軍，要比賽幾場？解：要產(chǎn)生一名冠軍，要淘汰冠軍以外的所有選手，即要淘汰99名選手，要淘汰一名就要進行一場，故比賽99場。十一、遞推問題：***一樓梯共10級，如果規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10級樓梯，共有多少種不同的走法？分析：設(shè)上n級樓梯的走法為an種，易知a1=1,a2=2,當n≥2時，上n級樓梯的走法可分兩類：第一類：是最后一步跨一級，有an-1種走法，第二類是最后一步跨兩級，有an-2種走法，由加法原理知：an=an-1+an-2,據(jù)此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10級樓梯共有89種不同的方法。十二：集合問題：***已知集合P=.（1）從集合P中選出5個元素構(gòu)成該集合的一個子集,且此子集中任何兩個元素的和不等于12，則這樣的不同子集共有______個.（2）將集合P劃分為兩個非空集合A與B的并集，且集合A中的最小元素大于集合B中的最大元素，則這樣的不同劃分方法有________種.（3）將集合P劃分為三個集合A、B、C的并集（A、B、C不必兩兩相異），則不同的三元有序集合組（A,B,C）有___________個.***若且，則以為坐標的點有多少個？***已知，則從集合A到集合B的映射個數(shù)有多少個？***已知，（1）則從集合A到集合B的映射個數(shù)有多少個？（2）滿足為偶數(shù)的映射有多少個？（3）滿足為奇數(shù)的映射有多少個？2.是集合到集合上的映射,且,則不同的映射有________個.十三：雜題：***有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？分析：此例正面求解需考慮0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1，類別較復雜，因而可使用間接計算：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)個，其中0在百位的有個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)-=432（個）***七張卡片上分別寫有0、0、1、2、3、4、5，現(xiàn)從中取出三張后排成一排，組成一個三位數(shù)，則共能組成__