撓性航天器姿態(tài)機動魯棒控制方法研究

撓性航天器姿態(tài)機動魯棒控制方法研究

隨著世界各國航天科學技術的快速發(fā)展，現(xiàn)代窄帶振動源模型的附件種類和結構也越來越大。在軌跡運輸中，隨著燃料的消耗和擾動，其轉(zhuǎn)動慣量變化很大，并且受到外部干擾矩陣的影響。這些因素使振動源具有較大的不確定性。另外,在此過程中,由于中心剛體和撓性附件之間存在著強烈的耦合,會導致?lián)闲越Y構的持續(xù)振動,進而影響航天器的運動和控制,因此撓性航天器姿態(tài)機動及主動振動抑制問題的研究日益受到重視。反步設計法由于具有處理非線性問題的一些優(yōu)點,在航天器控制領域中得到了廣泛的應用。文獻采用反步設計法研究了航天器姿態(tài)機動問題,這些文獻在控制器的設計中往往假設航天器的轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)精確已知,同時忽略了外部干擾的影響。然而,對于撓性航天器而言,在實際應用中,轉(zhuǎn)動慣量的不確定性因素以及干擾的存在會降低系統(tǒng)的性能,甚至使系統(tǒng)表現(xiàn)出不穩(wěn)定的特性。另一方面,對撓性結構而言,姿態(tài)機動時仍然會引入一部分振動。對于此問題,一種可行有效的解決方法是通過采用壓電智能材料作為執(zhí)行器的補償器來進行補償振動抑制。在基于智能材料的控制方法中,應變速率反饋(SRF)控制策略作為一種魯棒控制方法,設計簡單方便,可以大幅度地提高模態(tài)的阻尼,對模態(tài)頻率的變化也具有很好的魯棒性。針對上述問題,本文嘗試將反步法自適應控制技術與基于壓電智能材料的SRF控制相結合,提出一種新的魯棒控制策略,并利用仿真實驗對方法的有效性進行了分析和驗證。1撓性邏輯的動力學建?？紤]帶有撓性附件的航天器模型。用字母I,Γ和B分別表示慣性、期望及本體坐標系,采用修正羅德里格參數(shù)(MRP)描述航天器的運動學方程:其中,ω=[ω1ω2ω3]T為本體B相對慣性坐標系I的姿態(tài)角速度,p=[p1p2p3]T代表航天器B相對于I的MRP姿態(tài)描述,p=ntan(?/4)(2)n為歐拉主軸向量,?代表歐拉角,[p×]定義如下:pd,pe分別表示Γ相對于I以及B相對于Γ的MRP姿態(tài)描述,用R(p),R(pd),R(pe)表示B到I,Γ到I以及B到Γ的方向余弦矩陣,滿足如下關系式:R(pe)=R(p)[R(pd)]T(4)其中R(·)定義如下可以得到由pe和ω描述的誤差運動學方程:為了有效地抑制帆板的振動,在撓性帆板上粘貼具有各相同性的壓電作動器來抑制撓性結構的振動。本文利用文獻的結果,直接給出撓性帆板表面粘貼有壓電智能元件PZT的航天器動力學模型:J˙ω+δΤ??η=-ω×(Jω+δΤ˙η)-ur(t)+Τd(7a)??η+ˉC˙η+Κη+δ˙ω=-δ1up(7b)其中,J為整星體的轉(zhuǎn)動慣量矩陣,δ為剛體與撓性附件的耦合矩陣,η為撓性模態(tài),ur(t)為反作用飛輪產(chǎn)生的控制力矩,up為壓電作動器的輸入,Td為作用在星體上的外干擾力矩,ˉC=diag{2ζiωni,i=1,2,…,N}為阻尼矩陣,K=diag{ω2ni,i=1,2,…,N}為剛度矩陣,N為模態(tài)個數(shù)。ωni和ζi分別為帆板振動模態(tài)頻率矩陣和阻尼比,δ1為壓電作動器與帆板的耦合系數(shù)矩陣。若將外干擾力矩Td,耦合項δT??η和ω×δΤ˙η看作為系統(tǒng)的總的干擾項,則(7a)可改寫為˙ω=-J-1ω×Jω+u(t)-d(8)式中,u=J-1ur,d=J-1(Τd-δΤ??η-ω×δΤ˙η)。2控制戰(zhàn)略2.1生長控制輸入考慮如下系統(tǒng)的微分方程˙x=f(x)+g(x)Γ(9)˙Γ=u(10)其中x∈Rn為狀態(tài)變量。為使系統(tǒng)穩(wěn)定,首先假設Γ為(9)的虛擬控制輸入,存在反饋控制律使之穩(wěn)定,設虛擬輸入為Γ=χ(x),若存在無界函數(shù)V1(x)使得?V1?x(f(x)+g(x)χ(x))≤-W(x)≤0(11)其中W(x)正定,則方程(9)在平衡點x=0處漸近穩(wěn)定。令V2(x)=V1(x)+12(Γ-(x))2(12)由參考文獻,存在反饋控制律u(x,Γ)使得串級系統(tǒng)(9)、(10)在x=0全局漸近穩(wěn)定。2.2u3000條件復雜對于撓性航天器模型(7),我們首先進行如下的假設:假設1:航天器慣量矩陣J正定對稱且未知,系統(tǒng)總的干擾有界,即supi=1,2,3|di|=Θ≤dΜ,其中dM為已知的正常數(shù),d=[d1d2d3]T。為了便于控制器的設計,需要定義新的變量z1=∫pedt,z2=pe,z3=ω,則(1),(8)可以重新寫為˙z1=z2(13)˙z2=F(z2)z3(14)˙z3=-J-1ω×Jω+u(t)+d(15)考慮如下坐標變換:x1=z1(16a)x2=z2-φ1(16b)x3=z3-φ2(16c)其中,φ1,φ2為待定的鎮(zhèn)定函數(shù)。Step1:為了穩(wěn)定式(13),把z2看作虛擬控制輸入,選取Lyapunov函數(shù)V(x1)=12xΤ1x1(17)鎮(zhèn)定函數(shù)φ1選取為φ1=-k1x1(18a)k1>0,并對V(x1)求導,可得˙V(x1)=-k1|x1|2+xΤ1x2(19a)Step2:取第二個Lyapunov函數(shù)V2=12xΤ1x1+12xΤ2x2(20a)對其求導,并代入(13)-(16b),得˙V2=xΤ1x2-k1|x1|2+xΤ2(Fx3+Fφ2+k1z2)(18b)鎮(zhèn)定函數(shù)φ2取為φ2=-F-1(x1+k1z2+k2x2)(19b)其中k2>0,則˙V2=xΤ2Fx3-k1|x1|2-k2|x2|2(20b)Step3:由式(16c),可知˙x3=˙z3-˙φ2(21)將式(21)兩邊分別左乘J,然后代入式(13),(14),(15),得到J˙x3=-[z×3]Jz3+u+d+J˙F-1(x1+k1z2+k2x2)+JF-1((1+k1k2)z2+(k1+k2)Fz3)(22)定義航天器慣量參數(shù)的估計誤差ˉθ為ˉθ=θ-?θ(23)式中,θ=[J11J22J33J12J13J23]Τ,?θ=[?J11?J22?J33?J12?J13?J23]Τ。定義線性算子L:R3→R3×6如下:則對于?ξ=[ξ1ξ2ξ3]T∈R3,有Jξ=L(ξ)θ(25)故式(22)可重新寫為J˙x3=Gθ+u+d(26)其中G=-[z×3]L(z3)+L[˙F-1(x1+k1z2+k2x2)]+L[F-1((1+k1k2)z2+(k1+k2)Fz3)](27)定理1考慮撓性航天器姿控系統(tǒng)(6)和(8),若采用如下的控制律u=-FΤx2-k3x3-G?θ-dΜsng(x3)(28)以及如下的自適應律?θ˙=Γ-1GΤx3(29)其中sng(x3)=[sngx31sngx32sngx33]T,k3為正的常數(shù),?！蔙6×6為正定矩陣,則系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。證明:選取增廣的Lyapunov函數(shù)V3為V3=12xΤ1x1+12xΤ2x2+12xΤ3Jx3+12ˉθΤΓˉθ(30)對其求時間的導數(shù),得˙V3=-k1|x1|2-k2|x2|2+xΤ2Fx3+xΤ3(G?θ+u+d)+ˉθΤΓ(Γ-1GΤx3-˙?θ)(31)將式(28),式(29)代入式(31),并注意到x3Τd-dΜx3Τsgn(x3)≤(Θ-dΜ)|x3|1≤0(32)其中|?|1定義為|ξ|1=∑i=1n|ξi|??ξ∈Rn×1,Θ為假設1中所定義的正常數(shù)。則可得到V˙3≤-∑i=13ki|xi|2+(Θ-dΜ)|x3|1≤0(33)由于V3正定連續(xù)可微,且徑向無界,同時注意到S={x∈Rn|V˙3=0}={xi=0},i=1,2,3,則利用Krasovskii定理,可知系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。注1:從上面的控制輸入方程可以看到,設計方法計算簡便,只有一個參數(shù)dM需要確定。一般而言,dM在實際應用中難以精確測量;因此通常選擇足夠大的dM來保證魯棒穩(wěn)定性。然而,這會引起控制增益過大,工程上不易實現(xiàn);另一方面,如果dM取值太小,則不能保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。下面的定理可以保證在線估計參數(shù)dM。定理2考慮航天系統(tǒng)式(6)和式(8),定義dM的估計誤差為d?Μ?d?Μ=d^Μ-dΜ,若采用如下的控制律u=-FΤx2-k3x3-Gθ?-d^Μx3Τsng(x3)(34)及如式(35)-式(36)的自適應律,則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。θ?˙=Γ-1GΤx3(35)d^˙Μ=-β2d^Μ+γ|x3|1(36a)β˙=-Κββ(36b)其中Kβ與γ為任意的正數(shù)。證明:選取新的Lyapunov函數(shù)V*3如下:V3*=V3+1γ(d?Μ2+Κβ-18dΜ2β2)(37)對其求時間導數(shù),得V˙3*=-k1|x1|2-k2|x2|2-k3|x3|2+x3Τd-d^Μx3Τsgn(x3)+1γd?Μ(-β2d^Μ+γ|x3|1)+Κβ-14γdΜ2ββ˙≤-k1|x1|2-k2|x2|2-k3|x3|2+dΜ|x3|1-d^Μ|x3|1+d?Μ|x3|1-β2γd?Μ(d?Μ+dΜ)-β2γdΜ24=-k1|x1|2-k2|x2|2-k3|x3|2+(dΜ+d?Μ-d^Μ)|x3|1-β2γ(d?Μ2+d?ΜdΜ+dΜ24)≤-∑i=13ki|xi|2-β2γ(d?Μ+dΜ2)2≤0(38)同定理1的證明,可知系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。證畢。2.3補償器特性設計對于式(7b),如果忽略耦合項δω˙?則撓性結構的振動方程將從姿態(tài)運動方程中解耦出來,即解耦的撓性結構振動方程可表示為η??(t)+Cη˙(t)+Κη(t)=-δ1up(t)(39)為了有效地抑制撓性附件的振動,基于PZT壓電智能元件作為作動器/敏感器,應用SRF主動控制技術來設計振動補償器以增加結構的阻尼。應變速率反饋的原理是:撓性結構的模態(tài)速率坐標直接輸入到一個二階補償器中,補償器的輸出乘以一個負的增益,然后直接輸入到結構中去,其結構形式ξ??(t)+Cˉfξ˙(t)+Κˉfξ(t)=Κˉfη˙(t)(40)其中ξˉ為補償器的模態(tài)坐標,Cˉf和Κˉf分別為補償器的阻尼矩陣和剛度矩陣。通過選取up(t)=GˉΚξ(t),則結構振動方程和補償器方程可寫為其中Gˉ為增益矩陣。為了設計方便,特征根配置法被用于設計反饋增益矩陣Gˉ使系統(tǒng)矩陣的所有特征值取負值。為了說明SRF補償器的作用,考慮單自由度的形式η(t)=αˉejωt,則補償器的輸出ξ(t)=βˉej(ωt+π2-?(42)其中,ω和ωc分別為結構和補償器的振動頻率。(1)當結構振動頻率小于補償器的振動頻率時,相位角?接近于0,將?=0代入方程(39)得ξ??+(2ζω+gβˉω)ξ˙+ω2ξ=0(43)由方程(43)可知SRF補償器的控制效果呈現(xiàn)主動阻尼。(2)當結構振動頻率等于補償器的振動頻率時,相位角?接近于π2,將?=π2代入方程(39)得ξ??+2ζωξ˙+(ω2+gβˉω2)ξ=0(44)由方程(44)可知SRF補償器的控制效果呈現(xiàn)主動剛性。(3)當結構振動頻率大于補償器的振動頻率時,相位角?接近于π,將?=π代入方程(39)得ξ??+(2ζω-gβˉω2)ξ˙+ω2ξ=0(45)由方程(45)可知SRF補償器的控制效果呈現(xiàn)主動撓性。由上述分析,為了取得較好的振動效果,補償器頻率應盡量小于某階抑制模態(tài)的頻率。3姿態(tài)機動控制仿真結果為了驗證本文設計方法的有效性,采用文獻中所給出的撓性航天器的物理參數(shù)進行仿真:J=[35034327010410190]kg/m2,δ=[6.456371.278142.15629-1.256190.91756-1.672641.116872.48901-0.836741.23637-2.6581-1.12503]kg1/2m/s2,δ1=[2.342552×10-2-4.225368×10-33.912984×10-27.026176×10-2]kg1/2m/(Vs2)僅考慮撓性帆板的前四階撓性模態(tài),其振動頻率和阻尼比分別為ωn1=0.7681rad/s,ωn2=1.1038rad/s,ωn3=1.8733(rad/s),ωn4=2.5496rad/s和ξ1=0.0056,ξ2=0.0086,ξ3=0.013,ξ4=0.025,Γ=diag{0.05,0.05,0.05,0.1,0.1,0.1},kβ=0.2,k3=1.0,γ=1.0,Gˉ=diag{0.3,0.8,0.6}。航天器的估計初值設為:θ?(0)=[4230350.7-1.52.0]Τ,d?Μ(0)=0.02在仿真過程中,給定的航天器初始狀態(tài)為p1(0)=-0.22425,p2(0)=0.06727,p3(0)=-0.44852,ω(0)=[000]T(rad/s),期望姿態(tài)軌跡為pd=12[cos(0.2t)sin(0.2t)3]Τtan(π/4).所考慮外部干擾力矩Td(t)為Τd(t)=[0.3cos(0.1t)+0.10.15sin(0.1t)+0.3cos(0.1t)0.3sin(0.1t)+0.1]為了進行比較,在仿真過程中采用如下兩