函數(shù)與極限習題課

（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念一、主要內容第一頁第二頁，共70頁。函數(shù)的定義反函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關系基本初等函數(shù)復合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的性質單值與多值奇偶性單調性有界性周期性雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)第二頁第三頁，共70頁。1、函數(shù)的定義第三頁第四頁，共70頁。函數(shù)的分類函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))第四頁第五頁，共70頁。(1)單值性與多值性:2、函數(shù)的性質第五頁第六頁，共70頁。(2)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)yxo第六頁第七頁，共70頁。(3)函數(shù)的單調性:

設函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間ID，如果對于區(qū)間I上任意兩點及，當時，恒有：(1),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調增加的；或(2),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調遞減的；單調增加和單調減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù)。第七頁第八頁，共70頁。(4)函數(shù)的有界性:第八頁第九頁，共70頁。設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個不為零的數(shù)l,使得對于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.(5)函數(shù)的周期性:oyx第九頁第十頁，共70頁。3、反函數(shù)4、隱函數(shù)第十頁第十一頁，共70頁。5、反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關系第十一頁第十二頁，共70頁。6、基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對數(shù)函數(shù)4）三角函數(shù)5）反三角函數(shù)第十二頁第十三頁，共70頁。7、復合函數(shù)8、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).第十三頁第十四頁，共70頁。9、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)常用公式第十四頁第十五頁，共70頁。第十五頁第十六頁，共70頁。左右極限兩個重要極限求極限的常用方法無窮小的性質極限存在的充要條件判定極限存在的準則無窮小的比較極限的性質數(shù)列極限函數(shù)極限等價無窮小及其性質唯一性無窮小兩者的關系無窮大第十六頁第十七頁，共70頁。1、極限的定義第十七頁第十八頁，共70頁。第十八頁第十九頁，共70頁。左極限右極限第十九頁第二十頁，共70頁。無窮小:極限為零的變量稱為無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大的關系2、無窮小與無窮大第二十頁第二十一頁，共70頁。定理1在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運算性質第二十一頁第二十二頁，共70頁。定理推論1推論23、極限的性質第二十二頁第二十三頁，共70頁。4、求極限的常用方法a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.f.通分法;g.有理化方法;h.代數(shù)方法.第二十三頁第二十四頁，共70頁。5、判定極限存在的準則(夾逼準則)第二十四頁第二十五頁，共70頁。(1)(2)6、兩個重要極限第二十五頁第二十六頁，共70頁。定義:7、無窮小的比較第二十六頁第二十七頁，共70頁。定理(等價無窮小替換定理)8、等價無窮小的性質9、極限的唯一性第二十七頁第二十八頁，共70頁。左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運算性質非初等函數(shù)的連續(xù)性振蕩間斷點無窮間斷點跳躍間斷點可去間斷點第一類第二類第二十八頁第二十九頁，共70頁。1、連續(xù)的定義第二十九頁第三十頁，共70頁。定理3、連續(xù)的充要條件2、單側連續(xù)第三十頁第三十一頁，共70頁。4、間斷點的定義第三十一頁第三十二頁，共70頁。(1)跳躍間斷點(2)可去間斷點5、間斷點的分類第三十二頁第三十三頁，共70頁。跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點:可去型第一類間斷點跳躍型0yx0yx第三十三頁第三十四頁，共70頁。0yx無窮型振蕩型第二類間斷點0yx第二類間斷點第三十四頁第三十五頁，共70頁。6、閉區(qū)間的連續(xù)性7、連續(xù)性的運算性質定理第三十五頁第三十六頁，共70頁。定理1

嚴格單調的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調的連續(xù)反函數(shù).定理28、初等函數(shù)的連續(xù)性定理3第三十六頁第三十七頁，共70頁。定理4基本初等函數(shù)在定義域內是連續(xù)的.定理5一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間.9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.第三十七頁第三十八頁，共70頁。定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.第三十八頁第三十九頁，共70頁。推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.第三十九頁第四十頁，共70頁。二、典型例題例1解第四十頁第四十一頁，共70頁。例2.設函數(shù)求解:第四十一頁第四十二頁，共70頁。例3解利用函數(shù)表示法的無關特性代入原方程得代入上式得第四十二頁第四十三頁，共70頁。解聯(lián)立方程組第四十三頁第四十四頁，共70頁。例4解將分子、分母同乘以因子(1-x),則第四十四頁第四十五頁，共70頁。例5解解法討論第四十五頁第四十六頁，共70頁。第四十六頁第四十七頁，共70頁。令例6第四十七頁第四十八頁，共70頁?！珓t有復習:若例7第四十八頁第四十九頁，共70頁。例8解第四十九頁第五十頁，共70頁。例19.

確定常數(shù)a,b,

使解:原式故于是而第五十頁第五十一頁，共70頁。例10

設函數(shù)在x=0連續(xù),則a=

,b=

.提示:第五十一頁第五十二頁，共70頁。例11.

設

f(x)

定義在區(qū)間上,,若f(x)在連續(xù),提示:且對任意實數(shù)證明f(x)

對一切

x

都連續(xù).第五十二頁第五十三頁，共70頁。例12解第五十三頁第五十四頁，共70頁。第五十四頁第五十五頁，共70頁。例13.當時,是的幾階無窮小?解:設其為的階無窮小,則因故第五十五頁第五十六頁，共70頁。例14.求解:

令則利用夾逼準則可知第五十六頁第五十七頁，共70頁。有無窮間斷點及可去間斷點解:為無窮間斷點,所以為可去間斷點,極限存在例15.設函數(shù)試確定常數(shù)a及b.第五十七頁第五十八頁，共70頁。例16.求的間斷點,并判別其類型.解:

x=–1為第一類可去間斷點

x=1為第二類無窮間斷點

x=0為第一類跳躍間斷點第五十八頁第五十九頁，共70頁。例17證明討論:第五十九頁第六十頁，共70頁。由零點定理知,綜上,