角平分線的性質(zhì)2

角平分線的性質(zhì)2本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.4一、快樂啟航：1、角平分線的性質(zhì)定理及逆定理：2、如圖，已知BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，求證：D在∠BAC的平分線上。二、自主研讀（自研教材P24——P25的內(nèi)容，思考下列問題）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、進(jìn)一步掌握角平分線的性質(zhì)定理及它的逆定理，能夠靈活運用這兩個定理解決有關(guān)問題。動腦筋

如圖1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF

的中點.需添加一個什么條件，就可使CM，AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線呢？圖1-29圖1-29∵

ME⊥CD，MN⊥CA，同理可得AM是∠CAB的平分線.可以添加條件MN=ME

（或MN=MF）.∴

M在∠ACD的平分線上，即CM是∠ACD的平分線.圖1-29如圖1-30，在△ABC

的外角∠DAC

的平分線上任取一點P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn).試探索BE+PF與PB的大小關(guān)系.例2∴PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴

BE+PF>PB.∵

AP是∠DAC的平分線，又PE⊥DB，PF⊥AC，解圖1-30舉例

如圖1-31，你能在△ABC

中找到一點P，使其到三邊的距離相等嗎？動腦筋圖1-31

因為角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，所以只要作△ABC

任意兩角（例如∠A與∠B）的平分線，其交點P即為所求作的點.點P也在∠C的平分線上，如圖1-32.圖1-321、如圖，OC為∠AOB的平分線，P為OC上一點，PD⊥OB于D，E為OA上一動點，則線段PE的長度范圍是？【同類演練】2、如圖，已知AB=AC，CD=BD，DE⊥AC交AC的延長線于E，DF⊥AB交AB的延長線于F，求證：DE=DF。3、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=4，△ABD的面積等于9，求△ADC的面積。練習(xí)如圖，E是∠AOB

的平分線上一點，EC⊥OA

于點C，ED⊥OB于點D.

求證：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.

（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，

∵

OE=OE，ED=EC，∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴

OD=OC.證明（1）∵點E在∠BOA的平分線上，

EC⊥AO，ED⊥OB，

∴

ED=EC.

∴∠ECD=∠EDC.∴△EDC

是個等腰三角形.2.如圖，在△ABC

中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，

BC分別平分∠BAD，∠ABE，點C在線段DE上.

求證：AB=AD+BE.M證明作CM⊥AB于點M.∵AC，BC分別平分∠BAD，∠ABE，

∴

CD=CM，CE=CM.

在Rt△ACD和Rt△ACM中，

∵

CM=CD，AC=AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACM.∴AD=AM.同理，BE=BM.又

AB=AM+BM，∴

AB=AD+BE.【拓展挑戰(zhàn)】如圖，△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，P為∠CAB與∠ABC的平分線的交點，PD⊥AB于D，求PD的長。小結(jié)與復(fù)習(xí)1.直角三角形的兩個銳角有什么關(guān)系？2.直角三角形斜邊上的中線與斜邊有什么關(guān)系？3.請用自己的語言敘述勾股定理及其逆定理.4.判斷兩個直角三角形全等的方法有哪些？5.

角平分線有哪些性質(zhì)？直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半有兩個角互余的三角形是直角三角形直角三角形判定全等判定方法角平分線角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上性質(zhì)直角三角形兩個銳角互余有一個角是直角的三角形是直角三角形HLSASASAAASSSS角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等勾股定理勾股定理的逆定理“斜邊、直角邊定理”是判定兩個直角三角形全等所獨有的，在運用該判定定理時，要注意全等的前提條件是兩個直角三角形.2.要注意本章中的互逆命題，如直角三