結(jié)構(gòu)-地基系統(tǒng)的靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界

結(jié)構(gòu)-地基系統(tǒng)的靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界

土木工程結(jié)構(gòu)基本系統(tǒng)是一個(gè)開放系統(tǒng)，靜力分析和動(dòng)態(tài)分析包括半有限基質(zhì)的模擬問題。因此，合理定義人工邊界是解決土-結(jié)構(gòu)相互作用的關(guān)鍵。從廣義上講，人工邊界可分為靜力人工邊界和動(dòng)態(tài)人工邊界。靜力人工限制歷史悠久，如固定邊界和滾軸邊界?，F(xiàn)在，基于局部波動(dòng)原理的局部人工邊界主要是基于親水界面的局部人工邊界，如粘度邊界、粘度彈性限制[24]和傳輸限制等。其中，粘性限制的概念清晰、簡(jiǎn)單易用，因此被廣泛使用。然而，粘附界面的精度不高，并且存在低頻失穩(wěn)的問題。相比之下，粘度彈性限制可以限制動(dòng)態(tài)問題中的零頻分量，以模擬外部介質(zhì)中非無(wú)限介質(zhì)的彈性恢復(fù)性能，具有良好的穩(wěn)定性和高精度。現(xiàn)在，有必要充分考慮靜力效應(yīng)和動(dòng)態(tài)效應(yīng)的工程問題的一般方法是：采用靜力人工限制和動(dòng)態(tài)人工限制來(lái)計(jì)算靜力問題和動(dòng)態(tài)問題，并得到一個(gè)完整的結(jié)果。然而，由于疊加原理僅適用于在線彈性小變形區(qū)域的分析，因此不能應(yīng)用于非線性或大變形問題的分析，例如大型水庫(kù)的強(qiáng)震反應(yīng)分析、高柱結(jié)構(gòu)-地面系統(tǒng)的地震反應(yīng)分析以及地下結(jié)構(gòu)-地震源的靜力效應(yīng)對(duì)動(dòng)態(tài)特征的影響分析等。因此，有必要在動(dòng)態(tài)問題的靜力問題的靜力統(tǒng)一人工限制的基礎(chǔ)上開發(fā)。一般情況下,動(dòng)力人工邊界和靜力人工邊界是分別基于動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)的基本理論建立的,因而試圖從基本理論出發(fā)建立靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界存在著很大的難度.可行的方法是首先基于動(dòng)力學(xué)(靜力學(xué))基本理論,建立適用于動(dòng)力問題(靜力問題)分析的動(dòng)力(靜力)人工邊界;然后對(duì)其進(jìn)行修正,使之能夠適用于靜力問題(動(dòng)力問題)的分析.本文將根據(jù)這一思路,基于現(xiàn)有的黏彈性動(dòng)力人工邊界來(lái)建立靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界.1維黏彈性動(dòng)力人工邊界的魯棒性為了克服黏性動(dòng)力人工邊界精度不高和低頻漂移失穩(wěn)等缺點(diǎn),Deeks、劉晶波等人在假定散射波為二維柱面波的基礎(chǔ)上提出了二維黏彈性動(dòng)力人工邊界劉晶波等人1)在假定散射波為三維球面波的基礎(chǔ)上提出了三維黏彈性動(dòng)力人工邊界.上述二維和三維黏彈性動(dòng)力人工邊界可以等效為在人工截?cái)噙吔缟显O(shè)置連續(xù)分布的并聯(lián)彈簧-阻尼器系統(tǒng),其中彈簧元件的彈性系數(shù)Kb及黏性阻尼器的阻尼系數(shù)bC的計(jì)算公式如下:式中,ρ和G分別表示介質(zhì)的質(zhì)量密度和剪切模量;R表示散射波源至人工邊界的距離;c表示介質(zhì)中的波速,法向人工邊界c取P波波速cp,切向人工邊界c取S波波速cs;參數(shù)α根據(jù)人工邊界的類型及設(shè)置方向參照表1取值,為敘述方便在以下的分析中也將人工邊界法向和切向的參數(shù)α分別記為αn和αt.顯然,當(dāng)α取零或R趨于無(wú)窮大時(shí),彈性系數(shù)Kb等于零,黏彈性動(dòng)力人工邊界即退化為黏性動(dòng)力人工邊界.黏彈性動(dòng)力人工邊界可以方便地與有限元方法結(jié)合使用,只需在有限元模型中人工邊界節(jié)點(diǎn)的法向和切向分別設(shè)置并聯(lián)的彈簧單元和阻尼器單元1).以三維黏彈性動(dòng)力人工邊界為例,具體的實(shí)施方法如圖1所示.圖中坐標(biāo)X和Y向?yàn)槿斯み吔缑娴那邢?Z向?yàn)榉ㄏ?彈簧單元的彈性系數(shù)K及阻尼器單元的阻尼系數(shù)C可以根據(jù)(1)和(2)式簡(jiǎn)單地取為式中,為人工邊界節(jié)點(diǎn)所代表的面積,即圖1虛線所包圍部分.下面通過三維線彈性無(wú)限空間中的內(nèi)源問題算例來(lái)分析一下三維黏彈性動(dòng)力人工邊界的魯棒性.計(jì)算模型如圖2(a)所示,介質(zhì)的質(zhì)量密度ρ=1,剪切波速cs=4,Possion比v=0.25.荷載P(t)取為Diracδ函數(shù)的有限差分近似,即式中,τ=t/T為無(wú)量綱時(shí)間,T為持續(xù)時(shí)間(本算例取T=1.0s),G4(τ)=τ3H(τ),H(τ)是Heaviside階躍函數(shù).理論上采用以加載點(diǎn)為球心的球面形狀的人工邊界可以取得更好的模擬效果,但為模型處理方便,實(shí)際工程中在進(jìn)行土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用分析時(shí)往往采用平面形式的人工邊界.本算例也采用平面人工邊界,各人工邊界面坐標(biāo)方程分別為xb=±05.,yb=±5.0和zb=±5.0,即計(jì)算范圍取-0.5≤x,y,z≤0.5,有限元網(wǎng)格尺寸?x=?y=?z=0.05.為操作方便,在每一個(gè)平面人工邊界上R簡(jiǎn)單地取同一值,本算例取為加載點(diǎn)至人工邊界面的垂直距離,即R=0.5.改變(1)式給出的彈性系數(shù)Kb的取值即可研究黏彈性動(dòng)力人工邊界的魯棒性,計(jì)算時(shí)取參數(shù)αn=2αt分別為4.0,2.0,4/3,1.0和0.0,其中,αn取4.0和0.0時(shí)分別對(duì)應(yīng)于三維黏彈性動(dòng)力人工邊界和黏性動(dòng)力人工邊界.圖2(b)給出了觀測(cè)點(diǎn)(.0,2.0,2.02)的z向位移時(shí)程.根據(jù)圖2(b)可知,當(dāng)0<αn=2αt≤4.0時(shí)黏彈性動(dòng)力人工邊界的精度均優(yōu)于黏性動(dòng)力人工邊界,而且當(dāng)1.0<αn=2αt≤2.0時(shí),黏彈性動(dòng)力人工邊界具有良好的精度.以上分析結(jié)果表明黏彈性動(dòng)力人工邊界具有良好的魯棒性,這為通過修正彈性系數(shù)Kb來(lái)發(fā)展靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界提供了保證.本算例也相當(dāng)于三維黏彈性動(dòng)力人工邊界(αn=2αt=.40)中R分別取為0.5,1.0,1.5,2.0和∞時(shí)的結(jié)果,這也證明黏彈性動(dòng)力人工邊界中的R可以在一個(gè)較大范圍內(nèi)取值,即R的取值也具有良好的魯棒性.黏彈性動(dòng)力人工邊界概念清晰,公式簡(jiǎn)單,具有較高的精度和良好的穩(wěn)定性及魯棒性.目前已經(jīng)在土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問題中得到成功的應(yīng)用[7～9].但黏彈性動(dòng)力人工邊界是基于均勻無(wú)限彈性空間中的波動(dòng)理論提出的,雖然彈簧元件的存在可以保證所隔離的計(jì)算系統(tǒng)是穩(wěn)定的,但直接將其用于靜力問題會(huì)導(dǎo)致較大誤差.另外,半無(wú)限空間中除了存在P波、S波等體波之外還存在Rayleigh波等面波,這決定了半無(wú)限空間彈性波場(chǎng)與無(wú)限空間波場(chǎng)之間的差別,尤其是在半無(wú)限空間自由表面附近.因此為更好地模擬工程中的彈性半空間模型,也有必要對(duì)三維黏彈性動(dòng)力人工邊界實(shí)施修正.2半無(wú)限空間人工邊界的修正原則上,動(dòng)力人工邊界的確定是一個(gè)低頻問題,文獻(xiàn)和指出:對(duì)于采用彈簧及阻尼器構(gòu)建的動(dòng)力人工邊界,計(jì)算精度取決于其靜力特性.根據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn),如果能夠修正黏彈性動(dòng)力人工邊界,使之用于靜力問題時(shí)具有足夠高的精度,則其對(duì)動(dòng)力問題的模擬精度也可能得到進(jìn)一步提高.換言之,將黏彈性動(dòng)力人工邊界修正為既適用于靜力問題又適用于動(dòng)力問題的黏彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界是提高其精度的一種有效途徑.黏彈性邊界對(duì)靜力問題的模擬精度完全取決于彈性系數(shù)Kb的取值,因而參照半無(wú)限空間中靜力問題基本解對(duì)參數(shù)α進(jìn)行修正是必要的.考查半無(wú)限空間自由表面上受法向集中力或切向集中力作用問題,如圖3所示.根據(jù)Boussinesq解答及Cerruti解答,半無(wú)限空間中給定截面上某一點(diǎn)的應(yīng)力及其相應(yīng)位移之間的比例系數(shù)可寫為(1)式的形式,如表2所示,其中參數(shù)α為柱面坐標(biāo)r和z或者直角坐標(biāo)x,y和z的函數(shù).圖4給出了Possion比ν=0.25時(shí)表2中各參數(shù)α的取值,圖中R表示加載點(diǎn)至給定截面的垂直距離,d表示給定截面上點(diǎn)的位置坐標(biāo),對(duì)于α1和α2,d=r對(duì)于α5和α6,d=x;對(duì)于α3,α4,α7和α8,d=z.需要說明的是當(dāng)y≠0時(shí)參數(shù)α5,α6,α7和α8的取值將減小.根據(jù)圖4,α2與α3存在奇異點(diǎn)且在一定范圍內(nèi)取負(fù)值,這導(dǎo)致Kb2與Kb3在某些區(qū)域內(nèi)無(wú)法采用普通的彈簧元件加以模擬.根據(jù)上述彈性半空間靜力問題基本解的特點(diǎn)及現(xiàn)有的黏彈性動(dòng)力人工邊界考慮到土木工程中涉及的靜力效應(yīng)多為自重引起,本文建議計(jì)算模型底面人工邊界的法向參數(shù)α取為α1;考慮到α7與α1相似,并為簡(jiǎn)單起見,模型側(cè)面法向參數(shù)α也取為α1;模型底面切向參數(shù)α按三維黏彈性動(dòng)力人工邊界切向參數(shù)α取值;模型側(cè)面切向參數(shù)α參照α4取值,并簡(jiǎn)單地取為0.5,這與二維黏彈性動(dòng)力人工邊界切向參數(shù)α一致.表3給出了修正后黏彈性人工邊界的參數(shù)α的具體取值.表3中人工邊界面法向參數(shù)α*的具體計(jì)算公式為式中,ν為Possion比,d為位置坐標(biāo),R為荷載作用點(diǎn)到人工邊界點(diǎn)的距離.對(duì)于底面人工邊界,(6)式中的變量d=r;對(duì)于側(cè)面人工邊界,d=z.對(duì)于集中荷載,R可取為加載點(diǎn)至人工邊界的垂直距離;對(duì)于分布荷載,R可取為分布荷載中心至人工邊界的垂直距離.如果研究的是散射問題,則R為散射源至人工邊界的垂直距離.算例表明參考靜力問題基本解修正后的黏彈性人工邊界對(duì)三維半無(wú)限空間中的動(dòng)力問題和靜力問題均具有很高的模擬精度,可稱之為三維黏彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界.3計(jì)算值的示例3.1人工邊界面的確定半無(wú)限空間模型如圖3(a)所示,介質(zhì)的質(zhì)量密度ρ=1,剪切波速cs=4Possion比ν=0.25.靜力問題中取荷載P=1,理論解已由Boussinesq給出;將靜力荷載P改為動(dòng)力荷載P(t)即為三維Lamb表面源問題,計(jì)算時(shí)P(t)取(5)式給出的δ函數(shù),理論解可由Lamb問題基本解積分求得.計(jì)算范圍取-0.5≤x,y≤0.5,0≤z≤1.0;網(wǎng)格尺寸?x=?y=?z=0.05.各人工邊界面上分別施加靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界、三維黏彈性動(dòng)力人工邊界、黏性邊界、滾軸邊界等計(jì)算中R取為加載點(diǎn)至人工邊界面的垂直距離.圖5給出了Lamb問題中自由表面上距離加載點(diǎn)r處觀測(cè)點(diǎn)的法向位移時(shí)程實(shí)際計(jì)算時(shí)考慮了加載點(diǎn)分別為原點(diǎn)(0,0,0)或者A點(diǎn)(0.2,0.2,0)兩種情況,圖5(c)中1和2分別代表坐標(biāo)為(0.2,0.4,0)和(0.2,0,0)的觀測(cè)點(diǎn).根據(jù)圖5,黏性邊界導(dǎo)致了明顯的漂移失穩(wěn);三維黏彈性動(dòng)力人工邊界雖然沒有失穩(wěn)現(xiàn)象發(fā)生,但彈性系數(shù)偏大;黏彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界不僅具有良好的穩(wěn)定性,精度也明顯優(yōu)于其他兩種人工邊界.根據(jù)圖5(c)還可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于非對(duì)稱問題,采用靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界的計(jì)算結(jié)果基本取決于觀測(cè)點(diǎn)與加載點(diǎn)之間的距離r,而與觀測(cè)點(diǎn)是否靠近人工邊界沒有明顯關(guān)系,而黏性和黏彈性人工邊界則有明顯差別,這也進(jìn)一步說明了黏彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界具有更好的模擬精度.圖6給出了原點(diǎn)加載時(shí)靜力問題(Boussinesq問題)的計(jì)算結(jié)果.根據(jù)圖6,對(duì)于主要位移分量uz,黏彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界的精度明顯高于其他兩種人工邊界,即使在人工邊界面z=1.0上,其精度也沒有明顯降低.值得一提的是,根據(jù)圖4,當(dāng)0.15≤z/R≤0.36時(shí),σr與ur之間的關(guān)系是無(wú)法采用普通彈簧模擬的但靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界的精度仍然很高.3.2考慮動(dòng)力與靜力的對(duì)比計(jì)算結(jié)果如圖3(b)所示,選取計(jì)算范圍為-1≤x,y≤1,0≤z≤1,集中荷載作用于原點(diǎn),作用方向與x軸重合,各人工邊界面上的參數(shù)R均取1.0,其他參數(shù)同3.1圖7和8分別給出了動(dòng)力問題和靜力問題的計(jì)算結(jié)果,其中靜力問題的理論解是由Cerruti給出的,動(dòng)力問題的理論解是擴(kuò)展邊界的有限元解.根據(jù)圖7和8三維黏彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界對(duì)由水平荷載作用下的動(dòng)力問題仍然明顯優(yōu)于其他兩種動(dòng)力人工邊界.對(duì)靜力問題而言,水平位移分量的計(jì)算精度較高,但對(duì)于z向位移分量的精度較低.考慮到土木工程動(dòng)力問題分析計(jì)算中需考慮的靜力效應(yīng)一般是由結(jié)構(gòu)的自重,即由豎向荷載引起的,因而這一缺點(diǎn)對(duì)三維黏彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界的實(shí)際應(yīng)用影響不大.3.3v2004旅游標(biāo)準(zhǔn)如圖9所示,半無(wú)限空間z≥0由兩層介質(zhì)構(gòu)成,0≤z≤0.5時(shí),ρ=1cs=2,v=0.30;z>0.5時(shí),ρ=1,cs=4,v=0.25;自由表面上法向均布荷載p(t)的作用范圍為-0.5≤x,y≤0.5,荷載p(t)仍取(5)式所示δ函數(shù),其他參數(shù)同3.2.圖10給出了兩觀測(cè)點(diǎn)的z向位移時(shí)程,其中理論解為擴(kuò)展邊界的有限元解.根據(jù)圖10,三維黏彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界完全可以應(yīng)用于成層半無(wú)限空間中的動(dòng)力問題分析,而且仍然具有很高的精度和良好的穩(wěn)定性,明顯優(yōu)于黏性或黏彈性動(dòng)力人工邊界.3.4人工邊界面的三維黏彈性靜-動(dòng)力人工邊界面的數(shù)值分析考查半無(wú)限空間z≥0,質(zhì)量密度.自由表面附近-6≤x,y≤6m,0≤z≤6m范圍內(nèi)為一基坑.利用對(duì)稱性取如圖11所示計(jì)算模型,計(jì)算范圍取為0≤x,y,z≤20m,網(wǎng)格尺寸?x=?y=?z=2m.各人工邊界面上分別施加三維黏彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界、三維黏彈性動(dòng)力人工邊界和黏性邊界,計(jì)算中R取為原點(diǎn)至人工邊界面的垂直距離.假定一S波脈沖δ(t)沿z軸入射,振動(dòng)方向平行于x軸,脈沖如(5)式所示(T=0.5s).波動(dòng)輸入?yún)⒄瘴墨I(xiàn)實(shí)現(xiàn).圖12給出了觀測(cè)點(diǎn)A和B的x向位移時(shí)程,其中理論解為擴(kuò)展邊界的有限元解.根據(jù)圖12可知,對(duì)于散射問題而言,三維黏彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界仍然具有很高的精度和良好的穩(wěn)定性.4粘彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界本文提出了一種發(fā)展靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界的方法,并在分析半