第11章 圖像正交變換

問題的提出：

視覺所感受到的是在空間域和時間域的信號。但是，往往許多問題在頻域中討論時，有其非常方便分析的一面。圖像變換的目的：使圖像處理問題簡化有利于圖像特征提取有助于從概念上增強(qiáng)對圖像信息的理解

第11章圖像正交變換變換問題的引入

頻率域幅值與頻率

空間域灰度什么是圖像變換將圖像看成是線性疊加系統(tǒng)圖像在空域上相關(guān)性很強(qiáng)圖像變換是將圖像從空域變換到其它域如頻域的數(shù)學(xué)變換常用的變換：傅立葉變換、沃爾什變換、哈達(dá)瑪變換、離散余弦變換、離散K-L變換、小波變換11.1

傅立葉變換

傅立葉變換的作用（1）可以得出信號在各個頻率點(diǎn)上的強(qiáng)度。（2）可以將卷積運(yùn)算化為乘積運(yùn)算。（3）傅氏變換和線性系統(tǒng)理論是進(jìn)行圖像恢復(fù)和重構(gòu)的重要手段。（4）傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩個不同的角度來看待圖像的問題，有時在空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易見的。

傅立葉變換的定義若f(x)為一維連續(xù)實(shí)函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為：傅立葉逆變換定義如下：

函數(shù)f(x)和F(u)被稱為傅立葉變換對。即對于任一函數(shù)f(x)，其傅立葉變換F(u)是惟一的；反之，對于任一函數(shù)F(u)，其傅立葉逆變換f(x)也是惟一的。

傅里葉變換的條件

傅里葉變換在數(shù)學(xué)上的定義是嚴(yán)密的，它需要滿足如下狄利克萊條件：(1)具有有限個間斷點(diǎn)；

(2)具有有限個極值點(diǎn)；

(3)絕對可積;F(u)可以表示為如下形式：|F(u)|稱為F(u)的模，也稱為函數(shù)f(x)的傅立葉譜，稱為F(u)的相角。稱為函數(shù)f(x)的能量譜或功率譜。傅立葉變換在圖像濾波中的應(yīng)用首先，我們來看Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。傅立葉變換在卷積中的應(yīng)用直接進(jìn)行時域中的卷積運(yùn)算是很復(fù)雜的。傅立葉變換將時域的卷積變換為頻域的乘積。離散傅立葉變換

離散傅立葉變換的定義

要在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，還需要解決兩個問題：一是在數(shù)學(xué)中進(jìn)行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)（模擬）信號，而計算機(jī)處理的是數(shù)字信號（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學(xué)上采用無窮大概念，而計算機(jī)只能進(jìn)行有限次計算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。離散傅立葉正變換:離散傅立葉逆變換:二維傅立葉變換1.二維連續(xù)函數(shù)傅立葉變換的定義二維傅立葉正變換:二維傅立葉逆變換:2.二維離散函數(shù)傅立葉變換的定義

根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連續(xù)傅立葉變換理論，對于一個具有M×N個樣本值的二維離散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立葉變換為：(1)二維離散傅立葉正變換(2)二維離散傅立葉逆變換若已知頻率二維序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），則二維離散序列F(u，v)的傅立葉逆變換定義為：Δx、Δy和Δu、Δv，分別為空間域采樣間隔和頻率域采樣間隔兩者之間滿足如下關(guān)系：

式中序列R(u，v)和I(u，v)分別表示離散序列F(u，v)的實(shí)序列和虛序列。二維序列f(x，y)的頻譜（傅立葉幅度譜）、相位譜和能量譜（功率譜）分別如下：F(u，v)可以表示為如下形式：(1)線性特性二維離散傅立葉變換的性質(zhì)(2)比例性質(zhì)=(3)平移性質(zhì)

二維傅立葉變換的移位特性表明，當(dāng)用乘以f(x，y)，然后再進(jìn)行乘積的離散傅里葉變換時，可以使空間頻率域u-v平面坐標(biāo)系的原點(diǎn)從(0，0)平移到(u0，v0)的位置。先對行做變換：然后對列進(jìn)行變換f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv(4)可分離性

二維傅立葉變換的可分離特性表明，一個二維傅立葉變換可通過二次一維傅立葉變換來完成，即：第一次先對y進(jìn)行一維傅立葉變換在此基礎(chǔ)上對x進(jìn)行一維傅立葉變換

若已知頻率二維序列F(u，v)，則二維可分離性對傅立葉逆變換同樣適應(yīng)逆變換的分離性也同樣可以分解為兩次一維傅立葉變換(5)周期性

如果二維離散函數(shù)f(x，y)的傅里葉變換為F(u，v)，則傅立葉變換及其逆變換存在如下周期特性：(6)共軛對稱性半周期的傅里葉頻譜全周期的傅里葉頻譜二維圖像的傅里葉頻譜中心化的傅里葉頻譜做代換有：

如果被旋轉(zhuǎn),則被旋轉(zhuǎn)同一角度。即有傅立葉變換對：(7)旋轉(zhuǎn)不變性(8)微分性質(zhì)(9)平均值性質(zhì)平均值定義如下平均值性質(zhì)如下：即：

結(jié)論：二維離散函數(shù)的平均值等于其傅立葉變換在頻率原點(diǎn)處值的1/MN。(10)卷積定理：f(x,y)*h(x,y)<=>F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)<=>F(u,v)*H(u,v)二維傅立葉變換(幅值及相位)意義左邊一列:

上方為原始圖像,下方為本圖的相關(guān)說明說明;中間一列:

上圖幅值譜,下圖為根據(jù)幅值譜的傅立葉逆變換(忽略相位信息,設(shè)相位為0);右邊一列:

上圖相位譜,下圖為根據(jù)相位譜的傅立葉逆變換(忽略幅值信息,設(shè)幅值為某一常數(shù));圖像的說明Fourier變換示意圖Fourier變換的頻率特性返回Fourier變換的低通濾波返回Fourier變換的高通濾波返回Fourier變換的壓縮原理另一幅圖像效果壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：1Fourier變換的壓縮原理

返回壓縮率為：8.1：1壓縮率為：10.77：1壓縮率為：16.1：1快速傅里葉變換問題的提出：離散傅里葉變換已成為數(shù)字信號處理的重要工具。然而，它的計算量較大，運(yùn)算時間長，在某種程度上卻限制了它的使用范圍。二維離散傅立葉變換具有可分離性，即它可由兩次一維離散傅立葉變換計算得到，因此，僅研究一維離散傅立葉變換的快速算法即可。改寫公式：式中，W=e-j2π／N，稱為旋轉(zhuǎn)因子。W=e-j2π／N=cos(2π／N)-jsin(2π／N)(以N為周期)式中很多Wux系數(shù)相同，不必進(jìn)行多次重復(fù)計算。FFT的推導(dǎo)過程：設(shè)N為2的正整數(shù)次冪，即令M=N/2,離散傅立葉變換可改寫成如下形式：

偶離散點(diǎn)奇離散點(diǎn)

定義于是

將一個N點(diǎn)的離散傅立葉變換分解成兩個N／2短序列的離散傅立葉變換，即分解為偶數(shù)和奇數(shù)序列的離散傅立葉變換Fe(u)和Fo(u)。設(shè)N=237.2.2快速離散傅立葉變換7.2.2快速離散傅立葉變換蝶形運(yùn)算單元7.2.2快速離散傅立葉變換Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)08W18W28W38W08W－18W－28W－38W－F(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7)7.2.2快速離散傅立葉變換

Fe(u)和Fo(u)都是4點(diǎn)的DFT，對它們再按照奇偶進(jìn)行分組Fee(0)Feo(1)08W28W－Fee(1)Feo(0)Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)28W08W－Foe(0)Foo(1)08W28W－Foe(1)Foo(0)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)28W08W－7.2.2快速離散傅立葉變換8點(diǎn)DFT的蝶形流程圖例：0102030405060708Fe(0)Fo(1)04W14W－Fe(1)Fo(0)F(0)F(1)F(2)F(3)14W04W－04W04W04W04W－－f(0)f(2)f(1)f(3)0102

0304050607083i-3-i

0304050607080012003-13i-3-ii-i－1－1－17.2.2快速離散傅立葉變換0034007-17i-7-ii-i－1－1－13i-3-i7i-7-i050607083i-3-i

0304050607087.2.2快速離散傅立葉變換00560011-111i-11-ii-i－1－1－13i-3-i7i-7-i050607083i-3-i7i-7-i11i-11-i07087.2.2快速離散傅立葉變換00780015-115i-15-ii-i－1－1－13i-3-i7i-7-i11i-11-i07083i-3-i7i-7-i11i-11-i15i-15-i7.2.2快速離散傅立葉變換31171514-822-836-8+8i-8-8-8ii-i－1－1－13

i-3-i

7i-7-i11i-11-i15i-15-i36i-3-i

-8+8ii-7-i-8i-11-i-8-8ii-15-i7.2.2快速離散傅立葉變換iiii2i02i04i000i-i－1－1－136

i-3-i

-8+8i

i-7-i-8

i-11-i-8-8i

i-15-i36

4i-3-i

-8+8i

0-7-i-8

0-11-i-8-8i

0-15-i7.2.2快速離散傅立葉變換-3-11