第一章 概率論的基本概念

本科生必修課：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章概率論的基本概念主講教師：董慶寬研究方向：密碼學(xué)與信息安全Email：qkdong@個(gè)人主頁：/qkdong/

1課程介紹一、課程解決的問題二、學(xué)時(shí)安排與課程結(jié)構(gòu)三、考核方式四、教材和習(xí)題集五、學(xué)習(xí)方法2一、課程解決的問題自然界與社會(huì)生活中存在兩類現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的一類現(xiàn)象，其結(jié)果是確定的向上拋的物體會(huì)落到地上蘋果落地；同種電荷相斥，異種電荷相吸隨機(jī)現(xiàn)象：結(jié)果呈現(xiàn)不確定性：如氣象變化、購買彩票、成績分布等但其中隱藏著一些確定的規(guī)律3一、課程解決的問題在相同條件下，用同一門炮射擊同一目標(biāo)，觀察彈著點(diǎn)的情況炮彈的彈著點(diǎn)也按一定規(guī)律分布，比如在100次之后統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中所呈現(xiàn)出來的固有規(guī)律性4一、課程解決的問題隨機(jī)現(xiàn)象定義：在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科。“隨機(jī)”與“模糊”兩個(gè)概念的區(qū)別：隨機(jī)是一種客觀概念的表述，是客觀存在的，不受主觀影響的模糊是一種主觀概念的表述，它也具有不確定性，但這種不確定性是由于個(gè)體之間主觀感受的差別所引起的。如對青年人屬于哪個(gè)年齡段的判斷隨機(jī)現(xiàn)象是宇宙空間內(nèi)最為廣泛的現(xiàn)象，體現(xiàn)在人們生產(chǎn)生活的各個(gè)領(lǐng)域，因而概率論具有廣泛的應(yīng)用5二、學(xué)時(shí)安排與課程結(jié)構(gòu)整個(gè)課程共分兩個(gè)部分，46學(xué)時(shí)，共23次課，3個(gè)學(xué)分第一部分：第1～5章，概率論基礎(chǔ)，30學(xué)時(shí)，15次課學(xué)習(xí)如何對隨機(jī)現(xiàn)象建模，通過引入數(shù)學(xué)工具來描述、分析和計(jì)算概率論相關(guān)問題，構(gòu)成整個(gè)概率論的基礎(chǔ)理論。第二部分：第6，7，8（1、2、3、5節(jié)）章，數(shù)理統(tǒng)計(jì)，16學(xué)時(shí)，8次課以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)或觀察得到的數(shù)據(jù)，研究隨機(jī)現(xiàn)象，對研究對象的客觀規(guī)律性作出種種的估計(jì)和判斷。屬于概率論的應(yīng)用基礎(chǔ)理論知識(shí)。6三、考核方式筆試成績占90%平時(shí)成績占10%作業(yè)：每周交一次，每次交一半盡量交單頁便于攜帶整個(gè)學(xué)期至少交80%的作業(yè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)(matlab)：上課講解實(shí)驗(yàn)題目課后matlab實(shí)驗(yàn)編程，上交題解、程序和結(jié)果分兩次交：1-5章一次，6-8章一次7四、教材和習(xí)題集教材：盛驟，謝式千，潘承毅編《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》浙江大學(xué)第四版，高等教育出版社，2008習(xí)題集：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題全解指南》配浙大四版，高教出版社《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)同步輔導(dǎo)》配浙大三版，李彩榮、王志平編著，大連理工大學(xué)出版社8五、學(xué)習(xí)方法1)背景知識(shí)：微積分，高等數(shù)學(xué)，排列組合，集合的基本知識(shí)2)充分理解基本概念，掌握知識(shí)點(diǎn)及其物理意義，掌握知識(shí)體系框架3)結(jié)合作業(yè)和其它習(xí)題加強(qiáng)理解，提高知識(shí)運(yùn)用能力9第一章概率論的基本概念§1.1隨機(jī)試驗(yàn)§1.2樣本空間、隨機(jī)事件§1.3頻率與概率§1.4等可能概型（古典概型）§1.5條件概率§1.6獨(dú)立性10§1.1隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)：包括各種各樣的科學(xué)試驗(yàn)，甚至對某一事務(wù)的某一特征的觀察，記錄也認(rèn)為是一種試驗(yàn)，且具有以下三個(gè)特征：（1）可以在相同條件下重復(fù)地進(jìn)行（2）每次試驗(yàn)地可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前，不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)例子：Randomexperimentation拋一枚硬幣，觀察正面H和反面T出現(xiàn)的情況；對某路公交車某停靠站登記下車人數(shù)；對某批電子產(chǎn)品測試其輸入電壓；對聽課人數(shù)進(jìn)行一次登記；最基本的數(shù)學(xué)模型研究隨機(jī)現(xiàn)象的最基本工具11§1.2樣本空間、隨機(jī)事件（一）樣本空間由隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)2可知，每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是已知的。樣本空間：將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成一個(gè)集合，稱為E的樣本空間，記為S(space)樣本點(diǎn)：樣本空間中的元素，即E的每個(gè)結(jié)果。12§1.2樣本空間、隨機(jī)事件樣本空間的實(shí)例E1：拋一枚硬幣，觀察正面H，反面T出現(xiàn)的情況S1={H，T}E2：將一枚硬幣拋三次，觀察H，T出現(xiàn)的情況S2={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)S3={0，1，2，3}E4：記錄電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)S4={0，1，2，3，…}

（可列無窮多個(gè)）E5：在一批燈泡中任意抽取一次，測試它的壽命S5={t|t≥0}

（取值是連續(xù)的）E6：記錄某地一晝夜地最高溫度和最低溫度S6={(x,y)|T0≤x≤y≤T1,T0表示該地區(qū)最低溫，T1表示最高溫}

（取值連續(xù)）確定樣本空間時(shí)，一定要弄清試驗(yàn)的目的注意不要遺漏13§1.2樣本空間、隨機(jī)事件（二）隨機(jī)事件在隨機(jī)試驗(yàn)中不是單純的觀察樣本空間的所有元素了事，常常關(guān)心滿足某種條件的那些樣本點(diǎn)組成的集合例：916路公交車在電子科大站候車人數(shù)S={0,1,2,3,…N}，N是最大可能上限人數(shù)A={至少有20人候車}={20,21,22,…N}

S則A可能發(fā)生，可能不發(fā)生，稱A為S的一個(gè)隨機(jī)事件隨機(jī)事件：一般的，稱試驗(yàn)E的樣本空間S的子集為E的隨機(jī)事件，簡稱事件。事件發(fā)生：在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一事件發(fā)生14§1.2樣本空間、隨機(jī)事件幾個(gè)特殊事件：設(shè)樣本空間S={s1，s2，…，sn}1)基本事件：由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集隨機(jī)試驗(yàn)的任一種可能結(jié)果構(gòu)成一個(gè)基本事件，比如A＝{s5}基本事件的總數(shù)：等于集合S的基數(shù)

注意區(qū)別：樣本點(diǎn)和基本事件，是元素和集合的關(guān)系2)必然事件：樣本空間S作為一個(gè)子集，S

S，它作為事件時(shí)總會(huì)發(fā)生3)不可能事件：用空集Φ表示，不包含任何樣本點(diǎn)，也有Φ

S，每次試驗(yàn)都不發(fā)生S中不同事件的總數(shù)：當(dāng)S中基本事件數(shù)有限時(shí)，記S中基本事件的個(gè)數(shù)為|S|，則總數(shù)為2|S|15§1.2樣本空間、隨機(jī)事件例1：隨機(jī)試驗(yàn)E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察其正面和反面出現(xiàn)的情況S2={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}事件A1:“第一次出現(xiàn)的是正面H”A1={HHH，HHT，HTH，HTT}事件A2:“三次出現(xiàn)同一面”A2={HHH,TTT}隨機(jī)試驗(yàn)E5：事件A3：“壽命小于1000小時(shí)”A3={t|0≤t<1000}隨機(jī)試驗(yàn)E6：事件A4：“最高溫與最低溫相差10度”A4={(x,y)|T0≤x≤y≤T1,y-x=10}16§1.2樣本空間、隨機(jī)事件（三）事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算事件用集合來描述事件間的關(guān)系與運(yùn)算－>集合間的關(guān)系與運(yùn)算根據(jù)“事件發(fā)生”的含義給出關(guān)系與運(yùn)算在概率論中的含義設(shè)：試驗(yàn)E的樣本空間為S，A，B，Ak(k=1,2,..)是S的子集，看以下幾種常見的關(guān)系和運(yùn)算（1）包含關(guān)系，相等關(guān)系若有關(guān)系A(chǔ)

B，則事件B包含事件A。A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生例：一枚硬幣拋兩次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}則有A

B若有A

B且A

B，則有A=B，則稱事件A與事件B相等

SAB事件間關(guān)系的描述方法：畫韋恩圖元素考察法考察每一個(gè)元素的歸屬17§1.2樣本空間、隨機(jī)事件（2）和事件事件A∪B={x|x

A或x

B}，稱為A與B的和事件A和B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件A∪B發(fā)生多個(gè)事件的和事件：為n個(gè)事件A1,A2,…,An的和事件當(dāng)n→∞時(shí)稱為可列個(gè)事件A1,A2,……的和事件18§1.2樣本空間、隨機(jī)事件（3）積事件事件A∩B={x|x

A且x

B},稱為A與B的積事件。當(dāng)且僅當(dāng)A和B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件A∩B才發(fā)生，也可簡記為AB多個(gè)事件的積事件：為n個(gè)事件A1,A2,…,An的積事件當(dāng)n→∞時(shí)稱為可列個(gè)事件A1,A2,……的積事件19§1.2樣本空間、隨機(jī)事件（4）差事件事件A－B={x|x

A且x

B},稱為A與B的差事件。當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生，而B不發(fā)生時(shí)，事件A－B才發(fā)生差事件的一些等價(jià)表示A－B=A－AB=A20§1.2樣本空間、隨機(jī)事件（5）兩事件互不相容（互斥）若A∩B=Φ則稱A與B互不相容或互斥。A與B不同時(shí)發(fā)生基本事件是兩兩互不相容的（6）逆事件(對立事件)補(bǔ)集若A∪B=S且A∩B=Φ則A與B互為逆事件，每次試驗(yàn)事件A和事件B有且僅有一個(gè)事件發(fā)生。A的逆事件常記為(=S－A)21§1.2樣本空間、隨機(jī)事件（7）事件間的運(yùn)算律設(shè)A，B，C是三個(gè)事件，則有交換律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配率：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)德?摩根律：；例2：S={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}及事件A1={HHH，HHT，HTH，HTT}和事件A2={HHH,TTT}則有：A1∪A2={HHH，HHT，HTH，HTT，TTT}A1∩A2={HHH}A2－A1={TTT}={THH，THT，TTH}22§1.3頻率與概率在實(shí)際應(yīng)用中我們常希望用一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)值來度量在一次試驗(yàn)中某個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小。這種表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)，就稱為概率為了得到概率，我們先來看一下與其密切相關(guān)的一個(gè)概念，頻率（一）頻率頻數(shù)：設(shè)在相同條件下進(jìn)行了n次試驗(yàn)，其中事件A發(fā)生的次數(shù)(記為nA)稱為A發(fā)生的頻數(shù)頻率：比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率，記做fn(A)，它是一個(gè)集合函數(shù)，自變量是集合反映了事件A發(fā)生的頻繁程度23§1.3頻率與概率頻率fn(A)顯然有以下幾個(gè)性質(zhì)：1°值域：0

fn(A)

12°歸一性：fn(S)＝13°若A1,A2,…,Ak是兩兩互不相容的事件，AiAj＝Φ，其中i≠j，則有fn(A1∪A2∪…∪Ak)＝fn(A1)＋fn(A2)＋…＋fn(Ak)證明：右邊＝＝＝左邊頻率是在有限次試驗(yàn)內(nèi)的統(tǒng)計(jì)量24試驗(yàn)序號(hào)n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表1§1.3頻率與概率例：拋硬幣實(shí)驗(yàn)，一枚硬幣拋5次、50次、500次，觀察正面出現(xiàn)的頻率25實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)德?摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069K?皮爾遜1200060190.5016K?皮爾遜24000120120.5005表2§1.3頻率與概率歷史上的一些有名的實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)中對于頻率fn(H)有明顯規(guī)律：頻率有隨機(jī)波動(dòng)性，同樣的n次試驗(yàn)，頻率fn(H)并不同n較小時(shí)波動(dòng)很大，n增大時(shí)趨于穩(wěn)定fn(H)在0.5附近隨機(jī)擺動(dòng)并逐漸穩(wěn)定于0.526§1.3頻率與概率大量的實(shí)驗(yàn)表明，頻率具有如下特點(diǎn)：(1)頻率有隨機(jī)波動(dòng)性(2)事件A發(fā)生的頻繁程度越大，頻率也越大，事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性也越大。它說明頻率可在一定程度上反映事件發(fā)生的可能性大小，但無法準(zhǔn)確表達(dá)(3)試驗(yàn)次數(shù)n較小時(shí)，fn(A)在0和1之間隨機(jī)波動(dòng)，波幅較大因此，此時(shí)的頻率值沒有參考價(jià)值(4)n增大時(shí)，fn(A)逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)，對于每個(gè)事件A都有這樣一個(gè)穩(wěn)定的常數(shù)這種頻率的穩(wěn)定性，就是一種隱藏在隨機(jī)現(xiàn)象中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，并被人們長期的實(shí)踐所證實(shí)27§1.3頻率與概率思考：用頻率的穩(wěn)定值來表示事件發(fā)生的可能性大小是合適的嗎？第五章將證明，大量試驗(yàn)所得頻率的穩(wěn)定值用來描述概率是合理的fn(A)|n→∞=P(A)頻率的穩(wěn)定值如何得到？大量重復(fù)試驗(yàn)精確的結(jié)果拋硬幣試驗(yàn)理論計(jì)算準(zhǔn)確的結(jié)果對試驗(yàn)環(huán)境準(zhǔn)確掌握的情況下，古典概型，幾何概型間接推測或估計(jì)準(zhǔn)確性相對差一些，用于不能理論計(jì)算也不能大量試驗(yàn)時(shí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分解決的問題與此有關(guān)測試生產(chǎn)的燈泡的平均壽命，炮彈的可靠性總之頻率穩(wěn)定性常數(shù)和其性質(zhì)啟發(fā)我們定義度量事件發(fā)生可能性大小的概率28§1.3頻率與概率（二）概率公理化定義：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是E的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(?)滿足以下條件：1°非負(fù)性：事件A，有P(A)

02°規(guī)范性：對于必然事件S，有P(S)=1;3°可列可加性：設(shè)A1,A2,…,Ak,…，是兩兩互不相容的事件，即對于i≠j，AiAj＝Φ，i，j＝1，2，…，則有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋…29§1.3頻率與概率事件域：樣本空間S是一次實(shí)驗(yàn)中所有可能結(jié)果的集合事件是樣本空間S的一個(gè)子集但一般不把S的一切子集都作為事件例如在幾何概率中就不能把不可度量的子集作為事件只要把具有某些限制而又相當(dāng)廣泛的一類S的子集作為事件就夠了，這就引出了事件域的概念：30§1.3頻率與概率定義：設(shè)S是樣本空間，F(xiàn)是由S的一些子集構(gòu)成的集合，稱F為事件域，如果它滿足以下條件：1.SF;2.若AF，則A的補(bǔ)集F3.若對n=1,2,…,AnF，則F對于事件域F，有：1）包含空集；2）F中任意個(gè)事件的積事件還在F中；3）F中任意兩事件的差事件還在F中。F中任意事件A的概率記作P(A)。概率空間：則三元有序總體{S,F,P}就稱為概率空間。31§1.3頻率與概率概率基本性質(zhì)性質(zhì)i：不可能事件Φ的概率P(Φ)=0證明：令A(yù)n＝Φ(n=1,2,…)則，并且對于i≠j，AiAj＝Φ，i，j＝1，2，…兩兩互不相容由可列可加性得

P(Φ)=P()===P(Φ)＋∴=0而由定義，P(Φ)

0∴只有P(Φ)＝0P(Φ)=0不能A=ΦP(A)=1不能A=S詳見第2章作業(yè)中的問題：P(ABC)=0不能推出P(AB)=0反之由于有ABC

AB，根據(jù)包含關(guān)系由P(AB)=0

P(ABC)=032§1.3頻率與概率性質(zhì)ii：有限可加性若A1,A2,…,An兩兩互不相容，則有P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)證：令A(yù)n＋1＝An＋2＝…＝Φ,則有對于i≠j，AiAj＝Φ，i，j＝1，2，…，及，由可列可加性P(A1∪A2∪…∪An)＝P(()∪())＝P()＝＝＋0＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)33§1.3頻率與概率性質(zhì)iii：滿足包含關(guān)系兩事件的概率關(guān)系設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且A

B，則有（1）P(B－A)＝P(B)－P(A);（2）P(B)

P(A)證：構(gòu)造法由A

B知，B=A∪(B-A),且顯然有A(B-A)=Φ由有限可加性得P(B)＝P(A∪(B-A))＝P(A)＋P(B－A)∴P(B－A)＝P(B)－P(A)又由概率的性質(zhì)知P(B－A)

0，所以P(B)－P(A)

0，即P(B)

P(A)34§1.3頻率與概率性質(zhì)iv：事件概率的上界對于任意事件A,P(A)

1證：由性質(zhì)iii，及A

S，得P(A)

P(S)=1性質(zhì)v：逆事件的概率對于任意事件A，P()=1－P(A)證：＝S－A而A

S所以有P()=P(S－A)=P(S)－P(A)＝1－P(A)或S=A∪，A＝Φ，P(S)＝P(A∪)＝P(A)＋P()＝135§1.3頻率與概率性質(zhì)vi：加法公式對于任意的兩事件A,B，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)證：由圖知A∪B＝A∪(B－AB)，而A(B－AB)＝Φ由有限可加性的P(A∪B)＝P(A∪(B－AB))＝P(A)＋P(B－AB)又顯然有AB

B，由性質(zhì)iii右邊＝P(A)＋P(B)－P(AB)性質(zhì)vi的推廣若A1,A2,A3為任意三個(gè)事件，則有P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)－P(A1A2)－P(A2A3)－P(A1A3)＋P(A1A2A3)一般的對于n個(gè)事件，A1,A2,…,An可用歸納法證得P(A1∪A2∪…∪An)=－＋＋…＋(－1)n－1P(A1A2…An)36§1.4等可能概型（古典概型）從本節(jié)開始，學(xué)習(xí)古典概率計(jì)算，定理和公式，本節(jié)探討最普通的一種情況先看兩個(gè)試驗(yàn)：拋一枚硬幣，觀察其H，T出現(xiàn)的情況；S={H，T}拋一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；S＝{1，2，3，4，5，6}這些試驗(yàn)有兩個(gè)明顯特點(diǎn)：（1）S中的元素只有有限個(gè)；（2）試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。這樣的試驗(yàn)大量存在，稱為等可能概型由于它是概率論發(fā)展初期的研究對象，又叫古典概型。37§1.4等可能概型（古典概型）古典概型試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率計(jì)算公式：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S＝{e1,e2,…,en}，由于每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，即有P({e1})＝P({e2})＝…＝P({en})又由于基本事件是兩兩不相容的所以1＝P(S)＝P({e1}∪{e2}∪…∪{en})==nP({ei})，i＝1,2,…,n即P({ei})=1/n,i＝1,2,…,n若事件A包含k個(gè)基本事件，即A={}∪{}∪…∪{}，i1，i2，…，ik是1到n中某k個(gè)不同的數(shù)，則有P(A)＝＝＝38§1.4等可能概型（古典概型）例1．古典概型的一般問題一枚硬幣拋三次(i)設(shè)事件A1：恰有一次出現(xiàn)正面，求P(A1)(ii)設(shè)事件A2：至少有一次出現(xiàn)正面，求P(A2)解：首先正確給出樣本空間S={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}(i)事件A1={HTT，THT，TTH}分析：S中只有有限個(gè)元素，由對稱性可知每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同――等可能概型∴P(A1)＝3/8(ii)先看A2的逆事件={TTT}P(A2)＝1－P()＝1－1/8＝7/81.等可能概型的判斷可根據(jù)對稱性來考慮一般的排列組合問題都是古典概型2.對于“至少…”通常先考察其逆事件39§1.4等可能概型（古典概型）例2：放回抽樣與不放回抽樣一只口袋有6只球：4只白的，2只紅的。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)取一只，考慮兩種取球方式：放回抽樣：第一次取一只球，觀察顏色后放回袋中，攪勻后再取一只不放回抽樣：第一次取一只球不放回袋中，第二次從剩余球中再取一只分別就以上兩種方式求：(i)取到的兩只球都是白球的概率；(ii)取到的兩只球顏色相同的概率；(iii)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。解：(a)放回抽樣的情況啟示：恰當(dāng)?shù)睦檬录g的關(guān)系可以簡化求解設(shè)事件A：取到的兩只都是白球;事件B：取到的兩只都是紅球;事件C：至少一白則(i)相當(dāng)于求P(A)；(ii)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(iii)P(C)＝P()=1－P(B)所以只要求出事件A和事件B的概率就行了分析：依次從袋中取兩球，每一取法為一個(gè)基本事件。又樣本空間中的元素有限，由對稱性每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同：等可能概型①計(jì)算S中元素的個(gè)數(shù)：第一次6球，第二次6球，由組合乘法原理，共有6×6＝36種②A：兩次都有4只白球可取，共有4×4＝16種③B：兩次都有2只白球可取，共有2×2＝4種∴由古典概型公式：P(A)＝16/36=4/9P(B)＝4/36=1/9P(A∪B)＝P(A)＋P(B)=4/9+1/9=5/9P(C)＝P()=1－P(B)=1－1/9=8/9(b)不放回抽樣的情況S：6×5＝30，A:4×3＝12，B：2×1＝2具體步驟（略）分?jǐn)?shù)不可隨意化成小數(shù)，除非有保留精度40§1.4等可能概型（古典概型）例3，生日悖論將n只球隨機(jī)放入N(N

n)個(gè)盒子中去.求每個(gè)盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子容量不限)解：分析：n只球放入N個(gè)盒子中的每一種方法為一個(gè)基本事件由對稱性易知：古典概型S：共有Nn種不同的放法A：至多放一只，共有N×(N－1)×(N－2)×…×(N－n＋1)所以P(A)=N×(N－1)×(N－2)×…×(N－n＋1)/Nn=生日問題設(shè)每人的生日在一年365天中任一天是等可能的任選n個(gè)人(n

365)，生日各不相同的概率：由公式，概率＝則n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率p＝1－當(dāng)n＝23時(shí)，p＝0.507當(dāng)n＝64時(shí)，p＝0.997，幾乎等于1，60個(gè)人的班級以近乎于1的概率有兩個(gè)人生日相同41§1.4等可能概型（古典概型）例4超幾何分布的概率公式設(shè)有N件產(chǎn)品，其中D件次品，今從中任取n件問其中恰有k(k

D)件次品的概率是多少？解：S：N件中任取n件（不放回抽樣，也不計(jì)次序）共有種取法，每一取法為一基本事件注意：符號(hào)為組合數(shù)，N，n均為整數(shù)，當(dāng)N為實(shí)數(shù)時(shí)記做A：恰有k件次品：相當(dāng)于在D件次品中任選k件，并在N－D件正品中任選n－k件共有件

P(A)=42§1.4等可能概型（古典概型）例5抽簽問題袋中有a只白球，b只紅球，k個(gè)人依次在袋中取一只球，分別采用放回抽樣和不放回抽樣的方式，求第i個(gè)人取到白球的概率(k<a+b,i

k),記為P(B)解：(1)放回抽樣時(shí)第i個(gè)人取球不受前i－1個(gè)人的影響，因此概率等于白球的個(gè)數(shù)比上球總數(shù)即P(B)＝(2)不放回抽樣的情況第i個(gè)人取到白球的取法總數(shù)比上總?cè)》〝?shù)，其中總?cè)》〝?shù)如下：S：總的取法，k個(gè)人各取一只球，每種取法為一個(gè)基本事件共有(a+b)(a+b－1)…(a+b－k+1)=種取法事件B發(fā)生時(shí)，第i個(gè)人應(yīng)取到白球，可以是a只中的任意一只，共有a種情況，對于每一種情況來說，其余k－1個(gè)人是從其余a+b－1個(gè)球中任取k－1只，由于是不放回抽樣，共有種，所以事件B發(fā)生時(shí)可能的取法總數(shù)為a×P(B)＝可見概率與i無關(guān)，即k個(gè)人每人取到白球的概率與取球的先后次序，取球的方式(是否放回抽樣)無關(guān)，它們機(jī)會(huì)均等43§1.4等可能概型（古典概型）例一道作業(yè)題從5雙不同的鞋子中，任取4只，這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少？解：古典概型為方便分析，先求4只都不配成雙的概率pS：共有種不同的取法4只都不配成雙的概率：5雙鞋中先任選4雙，然后每雙鞋中任選一只

所以p＝所以至少兩只配成雙的概率為1－p＝1－或直接求：有1雙配成雙：有兩雙配成雙所以P(B)=44§1.4等可能概型（古典概型）例8小概率事件與實(shí)際推斷原理某接待站在某一周曾接待過12次來訪，均是在周二和周四進(jìn)行問：是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？解：假設(shè)接待事件沒有規(guī)定，而來訪者在一周內(nèi)任一天去接待站是等可能的那么12個(gè)來訪者分布于一周7天共有712種可能分布現(xiàn)在12個(gè)人均集中在周二和周四兩天，共有212種可能情況因此在沒有規(guī)定的情況下，12個(gè)來訪者均集中在周二和周四兩天的概率為212/712＝0.0000003,千萬分之三，近乎于不可能事件實(shí)際推斷原理：根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的現(xiàn)在這種小概率事件竟然發(fā)生了，所以假設(shè)可能不正確，可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的（如果2天改為4天，412/712＝0.0012,則很難說是小概率事件）45§1.4等可能概型（古典概型）幾何概型（概率的幾何定義）定義：若試驗(yàn)具有下列兩個(gè)特征：(1)樣本空間的元素有無限個(gè)；(2)每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生具有某種等可能性.則稱此試驗(yàn)為幾何概型試驗(yàn)。幾何概型的計(jì)算設(shè)試驗(yàn)的每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能落入?yún)^(qū)域Ω上的隨機(jī)點(diǎn)M，且D

Ω，則M點(diǎn)落入子區(qū)域D(事件A)上的概率為:

P(A)=m(D)/m(Ω).其中m(?)為自然測度測度可能是長度、面積、體積，甚至是質(zhì)量46§1.5條件概率條件概率問題是概率論中，內(nèi)容最為豐富的一個(gè)問題，主要考慮：在事件A發(fā)生的條件下事件B