第八章 回歸與相關(guān)分析 2

第八章相關(guān)與回歸分析相關(guān)和回歸分析是研究事物的相互關(guān)系、測定它們聯(lián)系的緊密程度、揭示其變化的具體形式和規(guī)律性的統(tǒng)計(jì)方法，是構(gòu)造各種經(jīng)濟(jì)模型、進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析、政策評價(jià)、預(yù)測和控制的重要工具。第一節(jié)相關(guān)分析概述第二節(jié)相關(guān)關(guān)系的測定第三節(jié)回歸分析第四節(jié)線性回歸模型第八章相關(guān)與回歸分析★⒈出租汽車費(fèi)用與行駛里程：總費(fèi)用=行駛里程每公里單價(jià)⒉家庭收入與恩格爾系數(shù)：家庭收入高，則恩格爾系數(shù)低。函數(shù)關(guān)系（確定性關(guān)系）相關(guān)關(guān)系（非確定性關(guān)系）比較下面兩種現(xiàn)象間的依存關(guān)系聯(lián)系與相互影響是普遍的現(xiàn)象受教育的水平工作后的收入預(yù)防疾病支出疾病的發(fā)病率變量間的關(guān)系

（函數(shù)關(guān)系）是一一對應(yīng)的確定關(guān)系設(shè)有兩個(gè)變量x和y，變量y隨變量x一起變化，并完全依賴于x

，當(dāng)變量x取某個(gè)數(shù)值時(shí)，

y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量各觀測點(diǎn)落在一條線上

xy變量間的關(guān)系

（函數(shù)關(guān)系）

函數(shù)關(guān)系的例子某種商品的銷售額(y)與銷售量(x)之間的關(guān)系可表示為y=p

x(p為單價(jià))圓的面積(S)與半徑之間的關(guān)系可表示為S=

R2

企業(yè)的原材料消耗額(y)與產(chǎn)量(x1)

、單位產(chǎn)量消耗(x2)

、原材料價(jià)格(x3)之間的關(guān)系可表示為y=x1x2x3

變量間的關(guān)系

（相關(guān)關(guān)系）變量間關(guān)系不能用函數(shù)關(guān)系精確表達(dá)一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定當(dāng)變量x取某個(gè)值時(shí)，變量y的取值可能有幾個(gè)各觀測點(diǎn)分布在直線周圍

xy現(xiàn)象間的依存關(guān)系大致可以分成兩種類型：函數(shù)關(guān)系指現(xiàn)象間所具有的嚴(yán)格的確定性的依存關(guān)系相關(guān)關(guān)系指客觀現(xiàn)象間確實(shí)存在，但數(shù)量上不是嚴(yán)格對應(yīng)的依存關(guān)系函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間并無嚴(yán)格的界限：有函數(shù)關(guān)系的變量間，由于有測量誤差及各種隨機(jī)因素的干擾，可表現(xiàn)為相關(guān)關(guān)系；對具有相關(guān)關(guān)系的變量有深刻了解之后，相關(guān)關(guān)系有可能轉(zhuǎn)化為或借助函數(shù)關(guān)系來描述。⒈按涉及變量的多少分為相關(guān)關(guān)系的種類⒉按照表現(xiàn)形式不同分為⒊按照變化方向不同分為一元相關(guān)多元相關(guān)直線相關(guān)曲線相關(guān)負(fù)相關(guān)正相關(guān)相關(guān)分析的種類定性分析是依據(jù)研究者的理論知識和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對客觀現(xiàn)象之間是否存在相關(guān)關(guān)系，以及何種關(guān)系作出判斷定量分析在定性分析的基礎(chǔ)上，通過編制相關(guān)表、繪制相關(guān)圖、計(jì)算相關(guān)系數(shù)與判定系數(shù)等方法，來判斷現(xiàn)象之間相關(guān)的方向、形態(tài)及密切程度第二節(jié)相關(guān)關(guān)系的測定簡單相關(guān)表適用于所觀察的樣本單位數(shù)較少，不需要分組的情況分組相關(guān)表適用于所觀察的樣本單位數(shù)較多標(biāo)志變異又較復(fù)雜，需要分組的情況將現(xiàn)象之間的相互關(guān)系，用表格的形式來反映。相關(guān)表正相

關(guān)負(fù)相關(guān)曲線相關(guān)不相

關(guān)xyxyxyxy又稱散點(diǎn)圖，用直角坐標(biāo)系的x軸代表自變量，y軸代表因變量，將兩個(gè)變量間相對應(yīng)的變量值用坐標(biāo)點(diǎn)的形式描繪出來，用以表明相關(guān)點(diǎn)分布狀況的圖形。相關(guān)圖在直線相關(guān)的條件下，用以反映兩變量間線性相關(guān)密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，用r表示相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r的取值范圍：-1≤r≤1r>0為正相關(guān)，r<0為負(fù)相關(guān)；|r|=0表示不存在線性關(guān)系；|r|＝1表示完全線性相關(guān)；0<|r|<1表示存在不同程度線性相關(guān)：|r|

<

0.4為低度線性相關(guān)；0.4≤|r|＜0.7為顯著性線性相關(guān)；0.7≤|r|＜1.0為高度顯著性線性相關(guān)。是相關(guān)系數(shù)的平方，用表示；用來衡量回歸方程對y的解釋程度。判定系數(shù)取值范圍：越接近于1，表明x與y之間的相關(guān)性越強(qiáng)；越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎沒有直線相關(guān)關(guān)系.判定系數(shù)相關(guān)關(guān)系的測度

（相關(guān)系數(shù)計(jì)算例）【例8.1】在研究我國人均消費(fèi)水平的問題中，把全國人均消費(fèi)額記為y，把人均國民收入記為x。我們收集到1981～1993年的樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1,2,…，13，數(shù)據(jù)見表，計(jì)算相關(guān)系數(shù)。相關(guān)關(guān)系的測度

（計(jì)算結(jié)果）解：根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式有人均國民收入與人均消費(fèi)金額之間的相關(guān)系數(shù)為0.9987回歸分析指根據(jù)相關(guān)關(guān)系的數(shù)量表達(dá)式（回歸方程式）與給定的自變量x，揭示因變量y在數(shù)量上的平均變化和求得因變量的預(yù)測值的統(tǒng)計(jì)分析方法回歸：退回regression第三節(jié)回歸分析概述回歸分析與相關(guān)分析理論和方法具有一致性；無相關(guān)就無回歸，相關(guān)程度越高，回歸越好；

相關(guān)系數(shù)和回歸系數(shù)方向一致，可以互相推算。聯(lián)系：相關(guān)分析中x與y對等，回歸分析中x與y要確定自變量和因變量；相關(guān)分析中x、y均為隨機(jī)變量，回歸分析中只有y為隨機(jī)變量；相關(guān)分析測定相關(guān)程度和方向，回歸分析用回歸模型進(jìn)行預(yù)測和控制?；貧w分析與相關(guān)分析區(qū)別：注意

我們不能把回歸分析看作是在變量間建立一個(gè)因果關(guān)系的過程?；貧w分析只能表明，變量是如何或者是以怎樣的程度彼此聯(lián)系在一起的。有關(guān)因果關(guān)系的任何結(jié)論，必須建立在理論分析的基礎(chǔ)之上。回歸分析的種類一元回歸（簡單回歸）多元回歸（復(fù)回歸）線性回歸非線性回歸一元線性回歸SimpleLinearregression按自變量的個(gè)數(shù)分⒈按回歸曲線的形態(tài)分⒉第四節(jié)一元線性回歸模型對于經(jīng)判斷具有線性關(guān)系的兩個(gè)變量y與x，構(gòu)造一元線性回歸模型為：一元線性回歸模型

（概念要點(diǎn)）對于只涉及一個(gè)自變量的簡單線性回歸模型可表示為y=b0+b1x+e模型中，y是x的線性函數(shù)(部分)加上誤差項(xiàng)線性部分反映了由于x的變化而引起的y的變化誤差項(xiàng)

是隨機(jī)變量反映了除x和y之間的線性關(guān)系之外的隨機(jī)因素對y的影響是不能由x和y之間的線性關(guān)系所解釋的變異性

0和

1稱為模型的參數(shù)一元線性回歸模型

（基本假定）誤差項(xiàng)ε是一個(gè)期望值為0的隨機(jī)變量，即E(ε)=0。對于一個(gè)給定的x值，y的期望值為E

(y)=

0+

1x對于所有的x值，ε的方差σ2都相同誤差項(xiàng)ε是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立。即ε~N(0,σ2)獨(dú)立性意味著對于一個(gè)特定的x值，它所對應(yīng)的ε與其他x值所對應(yīng)的ε不相關(guān)對于一個(gè)特定的x值，它所對應(yīng)的y值與其他x所對應(yīng)的y值也不相關(guān)一元線性回歸方程的幾何意義截距斜率一元線性回歸方程的可能形態(tài)

為正

為負(fù)

為0總體一元線性回歸方程:樣本一元線性回歸方程：以樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)斜率（回歸系數(shù)）截距截距a表示在沒有自變量x的影響時(shí)，其它各種因素對因變量y的平均影響；回歸系數(shù)b表明自變量x每變動(dòng)一個(gè)單位，因變量y平均變動(dòng)b個(gè)單位。(估計(jì)的回歸方程)（一元線性回歸方程）隨機(jī)干擾：各種偶然因素、觀察誤差和其他被忽視因素的影響X對y的線性影響而形成的系統(tǒng)部分，反映兩變量的平均變動(dòng)關(guān)系，即本質(zhì)特征。殘差(Residual):一元線性回歸方程中參數(shù)a、b的確定：最小平方法基本數(shù)學(xué)要求：整理得到由兩個(gè)關(guān)于a、b的二元一次方程組成的方程組：進(jìn)一步整理，有：離差平方和的分解因變量y的取值是不同的，y取值的這種波動(dòng)稱為變差。變差來源于兩個(gè)方面由于自變量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x對y的非線性影響、測量誤差等)的影響對一個(gè)具體的觀