小學奧數(shù)-抽屜原理

PAGE4小學奧數(shù)－抽屜原理（一）先了解一下抽屜原理的概念，然后結合一些較復雜的抽屜原理問題，討論如何構造抽屜。抽屜原理1將多于n件物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于2件。抽屜原理2將多于m×n件物品任意放到到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于（m+1）件。理解抽屜原理要注意幾點：(1)抽屜原理是討論物品與抽屜的關系，要求物品數(shù)比抽屜數(shù)或抽屜數(shù)的倍數(shù)多，至于多多少，這倒無妨。（2）“任意放”的意思是不限制把物品放進抽屜里的方法，不規(guī)定每個抽屜中都要放物品，即有些抽屜可以是空的，也不限制每個抽屜放物品的個數(shù)。（3）抽屜原理只能用來解決存在性問題，“至少有一個”的意思就是存在，滿足要求的抽屜可能有多個，但這里只需保證存在一個達到要求的抽屜就夠了。（4）將a件物品放入n個抽屜中，如果a÷n=m……b，其中b是自然數(shù)，那么由抽屜原理2就可得到，至少有一個抽屜中的物品數(shù)不少于（m+1）件。例1五年級有47名學生參加一次數(shù)學競賽，成績都是整數(shù)，滿分是100分。已知3名學生的成績在60分以下，其余學生的成績均在75～95分之間。問：至少有幾名學生的成績相同？分析與解：關鍵是構造合適的抽屜。既然是問“至少有幾名學生的成績相同”，說明應以成績?yōu)槌閷?，學生為物品。除3名成績在60分以下的學生外，其余成績均在75～95分之間，75～95共有21個不同分數(shù)，將這21個分數(shù)作為21個抽屜，把47-3=44（個）學生作為物品。例2夏令營組織2000名營員活動，其中有爬山、參觀博物館和到海灘游玩三個項目。規(guī)定每人必須參加一項或兩項活動。那么至少有幾名營員參加的活動項目完全相同？分析與解：本題的抽屜不是那么明顯，因為問的是“至少有幾名營員參加的活動項目完全相同”，所以應該把活動項目當成抽屜，營員當成物品。營員數(shù)已經(jīng)有了，現(xiàn)在的問題是應當搞清有多少個抽屜。例3把125本書分給五（2）班學生，如果其中至少有1人分到至少4本書，那么，這個班最多有多少人？分析與解：這道題一下子不容易理解，我們將它變變形式。因為是把書分給學生，所以學生是抽屜，書是物品。本題可以變?yōu)椋?25件物品放入若干個抽屜，無論怎樣放，至少有一個抽屜中放有4件物品，求最多有幾個抽屜。這個問題的條件與結論與抽屜原理2正好相反，所以反著用抽屜原理2即可。例4五（1）班張老師在一次數(shù)學課上出了兩道題，規(guī)定每道題做對得2分，沒做得1分，做錯得0分。張老師說：可以肯定全班同學中至少有6名學生各題的得分都相同。那么，這個班最少有多少人？分析與解：由“至少有6名學生各題的得分都相同”看出，應該以各題得分情況為抽屜，學生為物品。例3與例4盡管都是求學生人數(shù)，但因為問題不同，所以構造的抽屜也不同，例3中將學生作為抽屜，例4中則將學生作為物品?？梢娎贸閷显斫忸}，應根據(jù)問題靈活構造抽屜。一般地，當問“最少有多少××”時，應將××作為物品，如例1，2，4；當問“最多有多少××時，應將××作為抽屜，如例3。例5任意將若干個小朋友分為五組。證明：一定有這樣的兩組，兩組中的男孩總數(shù)與女孩總數(shù)都是偶數(shù)。分析與解：因為一組中的男孩人數(shù)與女孩人數(shù)的奇偶性只有下面四種情況：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）。練習2：1、布袋里有組都多的5種不同顏色的球。最少取出多少個球才能保證其中一定有3個顏色一樣的球？2、一個容器里放有10塊紅木塊、10塊白木塊、10塊藍木塊，它們的形狀、大小都一樣。當你被蒙上眼睛去容器中取出木塊時，為確保取出的木塊中至少有4塊顏色相同，應至少取出多少塊木塊？3、一副撲克牌共54張，其中1—13點各有4張，還有兩張王的撲克牌。至少要取出幾張牌，才能保證其中必有4張牌的點數(shù)相同？例題3：某班共有46名學生，他們都參加了課外興趣小組?；顒觾热萦袛?shù)學、美術、書法和英語，每人可參加1個、2個、3個或4個興趣小組。問班級中至少有幾名學生參加的項目完全相同？參加課外興趣小組的學生共分四種情況，只參加一個組的有4種類型，只參加兩個小組的有6個類型，只參加三個組的有4種類型，參加四個組的有1種類型。把4+6+4+1=15（種）類型看做15個抽屜，把46個學生放入這些抽屜，因為46=3×15+1，所以班級中至少有4名學生參加的項目完全相同。練習3：1、某班有37個學生，他們都訂閱了《小主人報》、《少年文藝》、《小學生優(yōu)秀作文》三種報刊中的一、二、三種。其中至少有幾位同學訂的報刊相同？2、學校開辦了繪畫、笛子、足球和電腦四個課外學習班，每個學生最多可以參加兩個（可以不參加）。某班有52名同學，問至少有幾名同學參加課外學習班的情況完全相同？3、庫房里有一批籃球、排球、足球和鉛球，每人任意搬運兩個，問：在31個搬運者中至少有幾人搬運的球完全相同？例題4：從1至30中，3的倍數(shù)有30÷3=10個，不是3的倍數(shù)的數(shù)有30—10=20個，至少要取出20+1=21個不同的數(shù)才能保證其中一定有一個數(shù)是3的倍數(shù)。練習4：1、在1，2，3，……49，50中，至少要取出多少個不同的數(shù)，才能保證其中一定有一個數(shù)能被5整除？2、從1至120中，至少要取出幾個不同的數(shù)才能保證其中一定有一個數(shù)是4的倍數(shù)？3、從1至36中，最多可以取出幾個數(shù)，使得這些數(shù)中沒有兩數(shù)的差是5的倍數(shù)？例題5：將400張卡片分給若干名同學，每人都能分到，但都不能超過11張，試證明：找少有七名同學得到的卡片的張數(shù)相同。這題需要靈活運用抽屜原理。將分得1，2，3，……，11張可片看做11個抽屜，把同學人數(shù)看做元素，如果每個抽屜都有一個元素，則需1+2+3+……+10+11=66（張）卡片。而400÷66=6……4（張），即每個周體都有6個元素，還余下4張卡片沒分掉。而這4張卡片無論怎么分，都會使得某一個抽屜至少有7個元素，所以至少有7名同學得到的卡片的張數(shù)相同。練習5：1、把280個桃分給若干只猴子，每只猴子不超過10個。證明：無論怎樣分，至少有6只猴子得到的桃一樣多。2、把61顆棋子放在若干個格子里，每個格子最多可以放5顆棋子。證明：至少有5個格子中的棋子數(shù)目相同。3、汽車8小時行了310千米，已知汽車第一小時行了25千米，最后一小時行了45千米。證明：一定存在連續(xù)的兩小時，在這兩小時內汽車至少行了80千米。習題1．木箱里裝有紅色球3個、黃色球5個、藍色球7個，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出多少個球？2．一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有3張牌有相同的點數(shù)？3．有11名學生到老師家借書，老師的書房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四類書，每名學生最多可借兩本不同類的書，最少借一本。試證明：必有兩個學生所借的書的類型相同4．有50名運動員進行某個項目的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝。試證明：一定有兩個運動員積分相同。5．體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學來倉庫拿球，規(guī)定每個人至少拿1個球，至多拿2個球，問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的？6．某校有55個同學參加數(shù)學競賽，已知將參賽人任意分成四組，則必有一組的女生多于2人，又知參賽者中任何10人中必有男生，則參賽男生的人數(shù)為多少人？7．有黑色、白色、藍色手套各5只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的時候不許看顏色），才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。8．一些蘋果和梨混放在一個筐里，小明把這筐水果分成了若干堆，后來發(fā)現(xiàn)無論怎么分，總能從這若干堆里找到兩堆，把這兩堆水果合并在一起后，蘋果和梨的個數(shù)是偶數(shù)，那么小明至少把這些水果分成了多少堆？9．從1，3，5，……，99中，至少選出多少個數(shù)，其中必有兩個數(shù)的和是100。10．某旅游車上有47名乘客，每位乘客都只帶有一種水果。如果乘客中有人帶梨，并且其中任何兩位乘客中至少有一個人帶蘋果，那么乘客中有多少人帶蘋果。