【精校精編卷】2020-2021學(xué)年河北省定興第三中學(xué)高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題

河北省定興第三中學(xué)20202021學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．82．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)，，是雙曲線上一點(diǎn)，，則（）A．1或13 B．1 C．13 D．93．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A． B． C． D．4．已知，滿足，則的最小值（）A．1 B．4 C． D．15．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值，則的取值范圍是A． B． C． D．6．某工科院校對(duì)A、B兩個(gè)專業(yè)的男、女生人數(shù)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到以下表格：專業(yè)A專業(yè)B合計(jì)女生12男生4684合計(jì)50100如果認(rèn)為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關(guān)，那么犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過(guò)注：P（x2≥k）k07．2021年是鞏固脫貧攻堅(jiān)成果的重要一年，某縣為響應(yīng)國(guó)家政策，選派了6名工作人員到、、三個(gè)村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個(gè)村至少去1人，不同的安排方式共有（）A．630種 B．600種 C．540種 D．480種8．已知，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向一條漸近線作垂線，交雙曲線右支于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)（，在軸同側(cè)），連接，若的內(nèi)切圓圓心恰好落在以為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2二、多選題9．若離散型隨機(jī)變量的分布列如下，則的可能取值為（）01020A． B． C． D．10．下列說(shuō)法不正確的是（）A．不等式的解集為B．已知：，：，則是的充分不必要條件C．若，則函數(shù)的最小值為2D．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是11．設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A．B．C．若，則的最大值為2D．若，則12．已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，AB,CD是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的弦且AB⊥CD，AB的斜率為k，且k>0，C,A兩點(diǎn)在x軸上方.則下列結(jié)論中一定成立的是（）A． B．四邊形ACBD面積最小值為C． D．若，則直線CD的斜率為三、填空題13．若直線與曲線相切，則_________．14．正數(shù)，滿足，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)______.（填一個(gè)滿足條件的值即可）15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)K，過(guò)F作傾斜角為的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若，則__________．16．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)滿足，且，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.四、解答題17．已知_________，.（1）求集合A、B；（2）當(dāng)時(shí)，若是成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.試從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并完成解答.①函數(shù)的定義域在R上的補(bǔ)集為集合A；②不等式的解集為A.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18．已知函數(shù)，且.（1）若的解集為，求函數(shù)的值域；（2）當(dāng)時(shí)，解不等式.19．某商場(chǎng)舉行促銷活動(dòng)，有兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱，箱內(nèi)有一個(gè)“”號(hào)球，兩個(gè)“”號(hào)球，三個(gè)“”號(hào)球、四個(gè)無(wú)號(hào)球，箱內(nèi)有五個(gè)“”號(hào)球，五個(gè)“”號(hào)球，每次摸獎(jiǎng)后放回，每位顧客消費(fèi)額滿元有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)額滿元有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，摸得有數(shù)字的球則中獎(jiǎng)，“”號(hào)球獎(jiǎng)元，“”號(hào)球獎(jiǎng)元，“”號(hào)球獎(jiǎng)元，摸得無(wú)號(hào)球則沒(méi)有獎(jiǎng)金．（1）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，顧客消費(fèi)額服從正態(tài)分布，某天有位顧客，請(qǐng)估計(jì)消費(fèi)額（單位：元）在區(qū)間內(nèi)并中獎(jiǎng)的人數(shù).（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）附：若，則，.（2）某三位顧客各有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求其中中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列.（3）某顧客消費(fèi)額為元，有兩種摸獎(jiǎng)方法，方法一：三次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；方法二：一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).請(qǐng)問(wèn)：這位顧客選哪一種方法所得獎(jiǎng)金的期望值較大.20．已知橢圓的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，其中直線的斜率為，直線的斜率為．（1）求橢圓方程；（2）若，試問(wèn)⊿的面積是否為定值，若是求出這個(gè)定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．21．某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽，第一輪選拔共設(shè)有，，，四個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：①每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問(wèn)題，，，分別加1分、2分、3分、6分，答錯(cuò)任一題減2分；②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局;當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪;當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局;③每位參加者按問(wèn)題，，，順序作答，直至答題結(jié)束.假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題，，，回答正確的概率依次為，，，，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.（1）求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率;（2）用表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)的.22．已知函數(shù).（1）討論在區(qū)間上的最小值;（2）若在上恒成立，求的取值范圍.（為自然對(duì)數(shù)的底）23．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，證明：（1）在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；（2）在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).參考答案1．A【分析】解分式不等式求出集合，根據(jù)交集的運(yùn)算求出，根據(jù)中元素的個(gè)數(shù)即可得出答案.【詳解】解：由，則，即，故，解得，所以，所以，所以的真子集個(gè)數(shù)為.故選：A.2．C【分析】根據(jù)雙曲線定義，可求得，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，即可得答案.【詳解】根據(jù)雙曲線定義可得，又，所以或，又，解得，即，又，所以.故選：C3．C【分析】由二項(xiàng)式定理可得展開(kāi)式通項(xiàng)，分別令和求得的取值，代入即可得到展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)為：，令，解得：；令，解得：，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：C.4．C【分析】作出可行域，分析可得當(dāng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，截距最大，z最小，代入A點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得答案.【詳解】作出可行域，如圖所示作出目標(biāo)直線，設(shè)，則，如圖所示，當(dāng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，截距最大，z最小，又，解得，所以.故選：C5．C【詳解】試題分析：由，∴導(dǎo)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值，∴方程在在區(qū)間內(nèi)有解，即：方程在區(qū)間內(nèi)有解，∴在區(qū)間內(nèi)有解，故，則的取值范圍是.選C.點(diǎn)睛：對(duì)于涉及函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)，往往要使用導(dǎo)數(shù)這個(gè)解題的工具，在解題時(shí)要注意運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的解題思想，把函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程在區(qū)間內(nèi)有解的問(wèn)題，然后再通過(guò)分離參數(shù)的方法求出參數(shù)a的范圍.6．D【分析】根據(jù)聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，與臨界值比較，即可得到結(jié)論．【詳解】根據(jù)題意，填寫(xiě)2×2列聯(lián)表如下；得到以下表格：專業(yè)A專業(yè)B合計(jì)女生12416男生384684合計(jì)5050100計(jì)算；且4.762＞3.841，所以認(rèn)為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關(guān)，犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過(guò)0.05.故選D.【點(diǎn)睛】此類題首先把表格補(bǔ)齊，然后根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入已知的方程求出值與標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行比較即可，屬于較易題目．7．C【分析】先把把6名工作人員分成三組，再安排到三個(gè)村，即先分組，再排列.【詳解】把6名工作人員分成1,1,4三組，再安排到三個(gè)村有：種；把6名工作人員分成2,2,2三組，再安排到三個(gè)村有：種；把6名工作人員分成1,2,3三組，再安排到三個(gè)村有：種；所以共有90+90+360=540種.故選：C.【點(diǎn)睛】計(jì)數(shù)問(wèn)題解題要先區(qū)分：1、先分步還是先分類.2、是排列還是組合．8．C【分析】根據(jù)題意，可得內(nèi)心I在y軸上，又內(nèi)心I在以為直徑的圓上，可得，連接，通過(guò)角度的關(guān)系，可得，根據(jù)O為中點(diǎn)，可得H為的中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離，可求得，進(jìn)而可得及，根據(jù)雙曲線定義，可得，根據(jù)勾股定理，即可求得答案.【詳解】設(shè)向漸近線做垂線，垂足為H，的內(nèi)心為I，如圖所示因?yàn)?，所以?nèi)心I在y軸上，又內(nèi)心I在以為直徑的圓上，所以，連接，則，設(shè)，則，所以，而，所以，所以，即，又，所以，即H為的中點(diǎn)，又，，所以，則，由雙曲線定義可得，所以，在中，，所以，即，所以離心率.故選：C9．AB【分析】利用概率之和為1可得，結(jié)合題目信息聯(lián)想基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楦怕手蜑?，那么，結(jié)合基本不等式可得：，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，根據(jù)選項(xiàng)特點(diǎn)可判斷A,B符合要求.故選：AB10．ACD【分析】求出不等式的解集判斷A；根據(jù)充分條件，必要條件的概念判斷B，基本不等式判斷C，反例判斷D.【詳解】對(duì)于A，不等式的解集為，所以A不正確；對(duì)于B，：，即，：，：，則是的充分不必要條件，所以B正確；對(duì)于C，若，則函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，顯然不正確，所以C不正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，時(shí)，不等式恒成立，所以命題D中的取值范圍是，不正確，所以D不正確；故選：ACD．11．ACD【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)求模公式、乘法法則、幾何意義等知識(shí)，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】設(shè)，則，對(duì)于A：，，故A正確；對(duì)于B：，，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z，在以（0,0）為圓心，1為半徑的圓上，則表示點(diǎn)Z與點(diǎn)（0，1）的距離，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為2，故C正確；對(duì)于D：，表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在以（1,0）為圓心，1為半徑的圓上，則表示點(diǎn)Z與原點(diǎn)（0,0）的距離，當(dāng)點(diǎn)Z在原點(diǎn)時(shí)，最小為0，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，最大為2，所以，故D正確.故選：ACD12．ACD【分析】利用拋物線的極坐標(biāo)方程求出，然后即可計(jì)算求解，判斷出各選項(xiàng)的真假．【詳解】設(shè)AB的傾斜角為，則有，所以，C正確；，若，則，，直線CD的斜率為，D正確；，所以B不正確；設(shè)，由拋物線過(guò)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知，，，所以A正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)應(yīng)用，拋物線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題．13．【分析】設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可推導(dǎo)得到，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足直線與曲線方程可構(gòu)造方程求得，代入可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，由得：，，，又，，解得：，.故答案為：.14．，填一個(gè)即可【分析】利用基本不等式求得的最小值，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，再利用配方法求出的最大值即可得的取值范圍，本題屬于開(kāi)放性問(wèn)題，只需填寫(xiě)符合要求的答案即可．【詳解】解：，，且，．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，．若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，，．實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：，（答案不唯一）．15．【分析】設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)列方程，解方程求得，由此求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】依題意，設(shè)，如圖所示，在第一象限.設(shè)直線的方程為，由消去得，所以，，，依題意，所以，，，化簡(jiǎn)得，，消去并化簡(jiǎn)得，即，解得，負(fù)根舍去.所以，，由于，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】求解直線和拋物線相交有關(guān)的問(wèn)題，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系后，要注意利用已知條件建立方程，通過(guò)方程來(lái)求解題目的問(wèn)題.16．【分析】由，得，利用，可求得，利用導(dǎo)數(shù)證明在上遞增，等價(jià)于，由單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】由，得，，令，，，令，在上遞減，在上遞增，，在上遞增，，，可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等.17．（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）無(wú)論選擇哪個(gè)條件，首先都是要求解集合，通過(guò)解不等式可得集合;（2）由條件是成立的充分不必要條件可知是的真子集，結(jié)合不等關(guān)系可得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）若選①由，得.故集合.若選②由，得.故集合.由，得，.當(dāng)時(shí)，，由得，故集合.當(dāng)時(shí)，，由得：，故集合.當(dāng)時(shí)，由得故集合.（2）∵是成立的充分不必要條件，∴是的真子集，則有，解得，又當(dāng)時(shí)，，不合題意，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為.18．（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）由的解集轉(zhuǎn)化為和是方程的兩根，求得，得出，再分和兩種情況，結(jié)合基本不等式，即可求解；（2）由題意，得到，分類討論，即可求得不等式的解集.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，且，所以，因?yàn)榈慕饧癁椋春褪欠匠痰膬筛?，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故函數(shù)的值域城為.（2）由，因?yàn)闀r(shí)，分三種情況討論：①當(dāng)，即時(shí)，；②當(dāng)，即時(shí)，無(wú)解；③當(dāng)，即時(shí)，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.【點(diǎn)睛】解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：（1）若二次項(xiàng)含有參數(shù)，應(yīng)先討論參數(shù)是等于0、小于0，還是大于0，然后整理不等式；（2）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，討論判別式與0的關(guān)系，判斷方程的根的個(gè)數(shù)；（3）確定無(wú)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集的形式.19．(1)中獎(jiǎng)的人數(shù)約為人.(2)分布列見(jiàn)解析.(3)這位顧客選方法二所得獎(jiǎng)金的期望值較大.【詳解】分析：（1）依題意得，，得，消費(fèi)額在區(qū)間內(nèi)的顧客有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，中獎(jiǎng)率為，人數(shù)約，可得其中中獎(jiǎng)的人數(shù)；（2）三位顧客每人一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)率都為，三人中中獎(jiǎng)人數(shù)服從二項(xiàng)分布，，，從而可得分布列；（3）利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式算出兩種方法所得獎(jiǎng)金的期望值即可得出結(jié)論.詳解：（1）依題意得，，得，消費(fèi)額在區(qū)間內(nèi)的顧客有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，中獎(jiǎng)率為人數(shù)約人其中中獎(jiǎng)的人數(shù)約為人（2）三位顧客每人一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)率都為，三人中中獎(jiǎng)人數(shù)服從二項(xiàng)分布，，故的分布列為（或）（或）（或）（或）（3）箱摸一次所得獎(jiǎng)金的期望為箱摸一次所得獎(jiǎng)金的期望為方法一所得獎(jiǎng)金的期望值為，方法二所得獎(jiǎng)金的期望值為，所以這位顧客選方法二所得獎(jiǎng)金的期望值較大點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟：①“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義；②“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率加法公式、獨(dú)立事件的概率公式以及對(duì)立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；③“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；④“求期望”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望．對(duì)于某些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布（如二項(xiàng)分布），則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得．因此，應(yīng)熟記常見(jiàn)的典型分布的期望公式，可加快解題速度．20．（1）；（2）是定值.【分析】(1)根據(jù)離心率公式和焦點(diǎn)公式計(jì)算得到答案.(2)設(shè)點(diǎn)和直線，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)關(guān)系，計(jì)算PQ和點(diǎn)到直線距離，表示出面積，根據(jù)化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】解：（1）由題意可知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為即而所以橢圓方程為（2）設(shè)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立橢圓方程得，則，點(diǎn)到直線的距離所以由化簡(jiǎn)得代入上式得若直線斜率不存在易算得綜合得，三角形的面積是定值【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程的計(jì)算，面積的表示和定值問(wèn)題，計(jì)算量較大，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.21．（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）根據(jù)題意，列舉甲能進(jìn)入下一輪的5種情況，由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可解得結(jié)果；（2）依題意得隨機(jī)變量的可能取值，求得取每一個(gè)可能值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列，由分布列可求得.【詳解】設(shè)，，，分別為第一、二、三、四個(gè)問(wèn)題，用表示甲同學(xué)第個(gè)問(wèn)題回答正確，用表示甲同學(xué)第個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，則與是對(duì)立事件.由題意得，，，，所以，，，.（1）記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件，則由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，因此.（2）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為：2，3，4.由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，所以，..因此隨機(jī)變量