四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期入學聯(lián)考數(shù)學試題

2023~2024學年度上期高中2022級入學聯(lián)考數(shù)學考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號、準考證號用毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”．2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效．3．考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數(shù)，則的虛部為（）A. B.1C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法法則及共軛復數(shù)的定義，結(jié)合復數(shù)的概念即可求解.【詳解】,所以，所以的虛部為.故選:A.2.已知是非零向量，則是（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分必要性以及向量數(shù)量積的運算規(guī)則進行判斷.【詳解】解：因為是非零向量且，所以，滿足充分性；又因為，且是非零向量，所以，故，即，滿足必要性.故選：C．3.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，且在上單調(diào)遞減，所以，即，故選:D．4.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】正弦定理求解.【詳解】由正弦定理得：，即，則．又，則,則，故選:A．5.已知是空間中兩個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】利用空間中線面關(guān)系的判定與性質(zhì)定理逐項驗證即可.【詳解】對于A，若，則或，故A錯誤；對于B，若，則或者或者異面，故B錯誤；對于C，若，則，又，則，故C正確；對于D，若，則可以垂直，又，則，故D錯誤.故選：C.6.某中學校園內(nèi)有一水塔，小明同學為了測量水塔的高度，在水塔底的正東方向的處測得塔頂?shù)难鼋菫?，在水塔底的南偏西方向的處測得塔頂?shù)难鼋菫椋阎?，則水塔的高度為（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】畫出圖象，在，利用余弦定理解出即可.【詳解】如圖：設(shè)水塔高為，則，則在中，，化簡得：，即，故選：A．7.在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，點為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】連接交于點，連接，得到（補角）是異面直線與所成角求解．【詳解】解：如圖所示：連接交于點，連接，因為,所以（補角）是異面直線與所成角．因為平面，平面，所以，又因為四邊形為菱形，所以，又，所以平面PBD，又平面PBD，所以，則為直角三角形，設(shè)，在中，，所以，故選：B．8.的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式及誘導公式化簡即可.【詳解】由題意得：，故選：二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.若集合，且，則實數(shù)的取值為（）A.0 B.1C.3 D.【答案】ABD【解析】【分析】解出集合,根據(jù)，討論集合,解出實數(shù)的值即可.【詳解】，又，當，則，當，則，當，則．故選：10.已知，函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的初相是B.是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.是函數(shù)圖象的對稱中心D.函數(shù)的圖象向左平移個單位后關(guān)于軸對稱【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標表示及二倍角公式，利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象的平移變換即可求解.【詳解】因為，所以，易知函數(shù)的初相是故A正確；由，得不是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故B錯誤；由，得是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故C正確；對于D選項：為偶函數(shù)，函數(shù)關(guān)于y軸對稱，故D正確．故選：ACD．11.如圖，在四面體中，平面平面，，則下列結(jié)論正確的是（）A.四面體的體積為B.C.二面角的余弦值為D.四面體外接球體積為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平面平面，得到平面，從而，再由得到，從而平面BCD，可判斷AB選項；易得二面角的平面角是判斷C選項；將原幾何體補成長方體判斷D選項.【詳解】因為平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，又，則，且，所以平面BCD，在中，因為，，所以，所以，所以，A不正確，B正確；二面角的平面角是，易得，C正確；將原幾何體補成長方體，如圖所示：則四面體的外接球即為長方體的其外接球，外接球的直徑為AD，且，所以半徑，故，D錯誤．故選：BC．12.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則外接圓的半徑為C.若，則D.若，則為銳角三角形【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)大邊對大角即可判斷A；利用正弦定理即可判斷B；先利用余弦定理求出，再根據(jù)數(shù)量積的定義即可判斷C；利用正弦定理化角為邊，正在跟進余弦定理即可判斷D.【詳解】對于A，因為，由正弦定理得，故A正確；對于B，由正弦定理，得，即外接圓的半徑為，故B錯誤；對于C，由余弦定理，則，故C正確；對于D，因為，由正弦定理得，則，故，所以角為銳角，但不一定為銳角三角形，故D錯誤．故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件及分段函數(shù)分段處理的原則即可求解.【詳解】當時，，解得，此時無解，當時，，解得或（舍去），所以.故答案為：.14.已知，則______．【答案】##【解析】【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】由，得，因為，所以，，解得，所以.故答案為：.15.已知等腰直角三角形的斜邊長為，以該三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸將該三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解.【詳解】由題可知，等腰三角形的腰長為，所以所得旋轉(zhuǎn)體是以為底面圓的半徑，為母線長的圓錐，所以側(cè)面積為，故答案為:.16.在中，已知，則的最大值為______．【答案】##【解析】【分析】由平面向量數(shù)量積公式和余弦定理得到，進而由余弦定理和基本不等式求出，從而求出有最大值，最大值為.【詳解】由得，即，又由余弦定理得：，化簡得：，，當且僅當時，等號成立，將代入中，可得，滿足任意兩邊之和大于第三邊，故有最小值，且為銳角，此時，，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有最大值，最大值為．故答案：【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知．（1）與的夾角為，求；（2）若與垂直，求．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用平面向量的夾角公式求解；（2）根據(jù)與垂直，由求解.【小問1詳解】解：因為，所以，，所以，又；【小問2詳解】，與垂直，，即，解得．18.如圖，在斜三棱柱中，，為的中點．（1）證明：平面；（2）證明：平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由三角形中位線可得∥，進而結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）由題意可得平面，進而結(jié)合面面垂直的判定定理分析證明.【小問1詳解】設(shè)與交于點，連接，如圖，在斜三棱柱中，四邊形是平行四邊形，則點為的中點，因為點為的中點，點為的中點，則∥，且平面，平面，∥平面.【小問2詳解】因為，則四邊形是菱形，則，又因為，，可知平面，且平面，所以平面平面．19.如圖，在四邊形中，與互補，．（1）求；（2）求四邊形的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）連接，在中，利用余弦定理分別求出,,,利用兩值相反，建立等式，解出即可；（2）分別求出的面積，相加即可.【小問1詳解】連接，如圖，與互補，與互補，在中，，即，得，在中，，即，得，又與互補，，故；【小問2詳解】由（1）得，，由（1）得，，．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對稱軸方程；（2）若存在，使得不等式成立，求．【答案】（1）最小正周期為，對稱軸方程為；（2）【解析】【分析】（1）化簡，得，從而可得周期；令，求解即可得到對稱軸方程；（2）根據(jù)題意可得，又，從而可得，求解得，從而可得.小問1詳解】，的最小正周期，令，解得，對稱軸方程為；【小問2詳解】，即，又，則，故，．21.已知的內(nèi)角的對邊分別為．（1）若，求角；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）逆用余弦和角公式，結(jié)合二倍角公式和誘導公式，得到，結(jié)合角的范圍得到，由求出；（2）由正弦定理和三角函數(shù)恒等變換得到，計算出，從而求出的取值范圍.【小問1詳解】，∴，即，，，，，∴或，又，故，所以，，∴，解得；【小問2詳解】由正弦定理得：，即，，又，∴，．，.22.圖①是由矩形和梯形組成的一個平面圖形，其中，，點為邊上一點，且滿足，現(xiàn)將其沿著折起使得平面平面，如圖②．（1）在圖②中，當時，（?。┳C明：平面；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（2）在圖②中，記直線與平面所成角為，平面與平面的夾角為，是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（?。┳C明見解析；（ⅱ）；（2）存在【解析】【分析】（1）（?。┓謩e利用勾股定理得到，故，，故，再利用平面平面，得到平面，從而，再利用線面垂直的判定定理證明；（ⅱ）設(shè)點到平面的距離為，過點作，利用等體積法求得h，再由求解；（2）延長交于點，連接，得到平面平面，過作平面，連接，過點作，連接，得到為直線與平面所成角，為平面與平面的夾角，然后由求解.【小問1詳解】當時，即