昆明理工大學概率論課后習題答案1-8章 習題解答

第一章思考題1．事件的和或者差的運算的等式兩端能“移項”嗎？為什么？2．醫(yī)生在檢查完病人的時候搖搖頭“你的病很重，在十個得這種病的人中只有一種能救活.”當病人被這個消息嚇得夠嗆時，醫(yī)生繼續(xù)說“但你是幸運的.由于你找到了我，我已經(jīng)看過九個病人了，他們都死于此病，因此你不會死”，醫(yī)生的說法對嗎？為什么？３．圓周率是一種無限不循環(huán)小數(shù),我國數(shù)學家祖沖之第一次把它計算到小數(shù)點后七位,這個統(tǒng)計保持了1000數(shù)年!后來有人不停把它算得更精確.1873年,英國學者沈克士公布了一種的數(shù)值,它的數(shù)目在小數(shù)點后一共有707位之多!但幾十年后,曼徹斯特的費林生對它產(chǎn)生了懷疑.他統(tǒng)計了的608位小數(shù),得到了下表:你能說出他產(chǎn)生懷疑的理由嗎?答：由于是一種無限不循環(huán)小數(shù)，因此，理論上每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應近似相等，或它們出現(xiàn)的頻率應都靠近于0.1，但7出現(xiàn)的頻率過小.這就是費林產(chǎn)生懷疑的理由.4．你能用概率證明“三個臭皮匠賽過一種諸葛亮”嗎？５．兩事件A、B互相獨立與A、B互不相容這兩個概念有何關(guān)系？對立事件與互不相容事件又有何區(qū)別和聯(lián)系？６．條件概率與否是概率？為什么？習題1．寫出下列實驗下的樣本空間：（1）將一枚硬幣拋擲兩次答：樣本空間由以下4個樣本點構(gòu)成（2）將兩枚骰子拋擲一次答：樣本空間由以下36個樣本點構(gòu)成（3）調(diào)查都市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出答：成果能夠用（x，y）表達，x，y分別是煙、酒年支出的元數(shù).這時，樣本空間由坐標平面第一象限內(nèi)一切點構(gòu)成.2．甲，乙，丙三人各射一次靶，記“甲中靶”“乙中靶”“丙中靶”則可用上述三個事件的運算來分別表達下列各事件：(1)“甲未中靶”：(2)“甲中靶而乙未中靶”：(3)“三人中只有丙未中靶”：(4)“三人中正好有一人中靶”：(5)“三人中最少有一人中靶”：(6)“三人中最少有一人未中靶”：或(7)“三人中恰有兩人中靶”：(8)“三人中最少兩人中靶”：(9)“三人均未中靶”：(10)“三人中至多一人中靶”：(11)“三人中至多兩人中靶”：或3.設是兩隨機事件，化簡事件(1)(2)解:(1),(2).4．某都市的電話號碼由5個數(shù)字構(gòu)成，每個數(shù)字可能是從0-9這十個數(shù)字中的任一種，求電話號碼由五個不同數(shù)字構(gòu)成的概率.解：.5．張獎券中含有張有獎的，個人購置，每人一張，求其中最少有一人中獎的概率。解法一：實驗可模擬為個紅球，個白球，編上號，從中任取k個構(gòu)成一組，則總數(shù)為，而全為白球的取法有種，故所求概率為。解法二：令—第i人中獎，B—無一人中獎，則，注意到不獨立也不互斥：由乘法公式.6．從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“最少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？解：7．在上任取一點，求該點到原點的距離不超出的概率.解：此為幾何概率問題：,所求事件占有區(qū)間，從而所求概率為.8．在長度為的線段內(nèi)任取兩點，將其分成三段，求它們能夠構(gòu)成一種三角形的概率。解：設一段長為，另一段長為，樣本空間，所求事件滿足：從而所求概率＝.9．從區(qū)間內(nèi)任取兩個數(shù)，求這兩個數(shù)的乘積不大于的概率。解：設所取兩數(shù)為樣本空間占有區(qū)域,兩數(shù)之積不大于:,故所求概率,而,故所求概率為。10．設、為兩個事件，，，求。解：;11．設、為兩個事件，，，求.解：.12．假設，，若、互不相容，求；若、互相獨立，求。解：若、互不相容，；若、互相獨立，則由可得=0.5.13．飛機投彈炸敵方三個彈藥倉庫，已知投一彈命中1，2，3號倉庫的概率分別為0.01,0.02,0.03,求飛機投一彈沒有命中倉庫的概率.解：設{命中倉庫}，則{沒有命中倉庫}，又設{命中第i倉庫}則，根據(jù)題意（其中兩兩互不相容）故=0.01+0.02+0.03=0.06因此即飛機投一彈沒有命中倉庫的概率為0.9414．某市有50%住戶訂日報，有65%的住戶訂晚報，有85%的住戶最少訂這兩種報紙中的一種，求同時訂這兩種報紙的住戶的比例解：設{顧客訂有日報}，={顧客訂有晚報}，則{顧客最少訂有日報和晚報一種}，{顧客既訂日報又訂晚報}，已知，因此即同時訂這兩種報紙的住戶的比例為30%15．一批零件共100個，次品率為10%，接連兩次從這批零件中任取一種零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才獲得正品的概率。解：設{第一次獲得次品}，{第二次獲得正品}，則{第二次才獲得正品}，又由于，則16.設隨機變量、、兩兩獨立，與互不相容.已知且，求.解：依題意且，因此有.又因，解方程，17．設是小概率事件，即是給定的無論怎么小的正數(shù).試證明：當實驗不停地獨立重復進行下去，事件遲早總會發(fā)生（以概率1發(fā)生）.解：設事件—第次實驗中出現(xiàn)，∵，，∴次實驗中，最少出現(xiàn)一次的概率為（獨立性）∴，證畢.18．三個人獨立地破譯一密碼，他們能單獨譯出的概率分別是，，，求此密碼被譯出的概率。解:設A，B，C分別表達{第一、二、三人譯出密碼}，D表達{密碼被譯出}，則.19．求下列系統(tǒng)（如圖所示）的可靠度，假設元件的可靠度為，各元件正常工作或失效互相獨立解：(1)系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)并聯(lián)而成，每個子系統(tǒng)可靠度為，從而所求概率為；（2）同理得.20．三臺機器互相獨立運轉(zhuǎn)，設第一，第二，第三臺機器不發(fā)生故障的概率依次為0.9，0.8，0.7，則這三臺機器中最少有一臺發(fā)生故障的概率.解：設—第一第三臺機器發(fā)生故障，—第一第三臺機器發(fā)生故障，—第一第三臺機器發(fā)生故障，—三臺機器中最少有一臺發(fā)生故障，則，故21．設、為兩事件，,,，求.解：由得，.22.設某種動物由出生算起活到以上的概率為0.8,活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動物,它能活到25歲以上的概率是多少?解：設—某種動物由出生算起活到以上，，—某種動物由出生算起活到25年以上，，則所求的概率為23．某地區(qū)歷史上從某年后30年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為80%，40年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為85%，求已過去了30年的地區(qū)在將來內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率。解：設—某地區(qū)后30年內(nèi)發(fā)生特大洪災，，—某地區(qū)后40年內(nèi)發(fā)生特大洪災，，則所求的概率為.24．設甲、乙兩袋，甲袋中有2只白球，4只紅球；乙袋中有3只白球，2只紅球.今從甲袋中任意取一球放入乙袋中，再從乙袋中任意取一球。1）問取到白球的概率是多少？2）假設取到白球，問該球來自甲袋的概率是多少？解：設A：取到白球，B：從甲球袋取白球25、一批產(chǎn)品共有10個正品和2個次品，任取兩次，每次取一種，抽出后不再放回，求第二次抽出的是次品的概率.解：設表達第次抽出次品,,由全概率公式=.26.一批晶體管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它們能工作500的概率分別為90%，80%，70%，求任取一種元件能工作500以上的概率.解：設{取到元件為等品}(=1,2,3)，{取到元件能工作500小時以上}則因此0.89427．某藥廠用從甲、乙、丙三地收購而來的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥，三地的供貨量分別占40%，35%和25%，且用這三地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為0.65，0.70和0.85，求從該廠產(chǎn)品中任意取出一件成品是優(yōu)等品的概率.如果一件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品，求它的材料來自甲地的概率解：以Bi分別表達抽到的產(chǎn)品的原材來自甲、乙、丙三地，A={抽到優(yōu)等品}，則有：所求概率為由全概率公式得：28．用某種檢查辦法檢查癌癥，根據(jù)臨床紀錄，患者施行此項檢查，成果是陽性的概率為0.95；無癌癥者施行此項檢查，成果是陰性的概率為0.90.如果根據(jù)以往的統(tǒng)計，某地區(qū)癌癥的發(fā)病率為0.0005.試求用此法檢查成果為陽性者而實患癌癥的概率.解：設A={檢查成果為陽性}，B={癌癥患者}.據(jù)題意有所求概率為由Bayes公式得29．3個射手向一敵機射擊，射中的概率分別是0.4，0.6和0.7.如果一人射中，敵機被擊落的概率為0.2；二人射中，被擊落的概率為0.6；三人射中則必被擊落.（1）求敵機被擊落的概率；（2）已知敵機被擊落，求該機是三人擊中的概率.解:設A={敵機被擊落}，Bi={i個射手擊中}，i=1,2,3.則B1,B2,B3互不相容.由題意知：，由于3個射手射擊是互相獨立的，因此由于事件A能且只能與互不相容事件B1,B2,B3之一同時發(fā)生.于是（1）由全概率公式得（2）由Bayes公式得.30．某廠產(chǎn)品有70%不需要調(diào)試即可出廠，另30%需通過調(diào)試，調(diào)試后有80%能出廠，求（1）該廠產(chǎn)品能出廠的概率；（2）任取一出廠產(chǎn)品未經(jīng)調(diào)試的概率.解：——需經(jīng)調(diào)試——不需調(diào)試——出廠則，，，（1）由全概率公式：.（2）由貝葉斯公式：.31．進行一系列獨立實驗，假設每次實驗的成功率都是，求在實驗成功2次之前已經(jīng)失敗了3次的概率.解：所求的概率為.32．10個球中有一種紅球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第次才取次紅球的概率。解：所求的概率為33．燈泡使用壽命在1000h以上的概率為0.2，求3個燈泡在使用1000h后，最多只有一種壞了的概率。解：由二項概率公式所求概率為34．（Banach問題）某人有兩盒火柴，每盒各有根，吸煙時任取一盒，并從中任取一根，當他發(fā)現(xiàn)有一盒已經(jīng)用完時，試求：另一盒尚有根的概率。解：設實驗E—從二盒火柴中任取一盒，—取到先用完的哪盒，，則所求概率為將E重復獨立作次發(fā)生次的概率，故所求的概率為.第二章思考題1.隨機變量的引入的意義是什么？答：隨機變量的引入,使得隨機實驗中的多種事件可通過隨機變量的關(guān)系式體現(xiàn)出來，其目的是將事件數(shù)量化，從而隨機事件這個概念事實上是包容在隨機變量這個更廣的概念內(nèi).引入隨機變量后,對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可運用數(shù)學分析的辦法對隨機實驗的成果進行廣泛而進一步的研究.隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件，隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象,而隨機變量的引入則變?yōu)槟軌蛴脛討B(tài)的觀點來研究.2.隨機變量與分布函數(shù)的區(qū)別是什么？為什么要引入分布函數(shù)？答：隨機變量與分布函數(shù)取值都是實數(shù)，但隨機變量的自變量是樣本點，不是普通實數(shù)，故隨機變量不是普通函數(shù)，不能用高等數(shù)學的辦法進行研究，而分布函數(shù)首先是高等數(shù)學中的普通函數(shù)，另首先它決定概率分布，故它是溝通概率論和高等數(shù)學的橋梁，運用它能夠?qū)⒏叨葦?shù)學的辦法得以引入.3.除離散型隨機變量和持續(xù)型隨機變量，尚有第三種隨機變量嗎？答：有，稱為混合型.例：設隨機變量，令 則隨機變量既非離散型又非持續(xù)型. 事實上，由的定義可知只在上取值，于是當時，；時，；當時，于是 首先取單點{1}的概率，故不是持續(xù)型隨機變量.另首先其分布函數(shù)不是階梯形函數(shù)，故也不是離散型隨機變量.4.普通所說“的概率分布”確實切含義是什么？答：對離散型隨機變量而言指的是分布函數(shù)或分布律，對持續(xù)型隨機變量而言指的是分布函數(shù)或概率密度函數(shù).5.對概率密度的不持續(xù)點，如何由分布函數(shù)求出？答：對概率密度的持續(xù)點，，對概率密度的有限個不持續(xù)點處，可令（為常數(shù)）不會影響分布函數(shù)的取值.6.持續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是可導的，“概率密度函數(shù)是持續(xù)的”這個說法對嗎？為什么？答：持續(xù)型隨機變量密度函數(shù)不一定是持續(xù)的，當密度函數(shù)持續(xù)時其分布函數(shù)是可導的，否則不一定可導.習題1．在測試燈泡壽命的實驗中,試寫出樣本空間并在其上定義一種隨機變量.解：每一種燈泡的實際使用壽命可能是中任何一種實數(shù),樣本空間為，若用表達燈泡的壽命（小時），則是定義在樣本空間上的函數(shù)，即是隨機變量.2．一報童賣報,每份0.15元,其成本為0.10元.報館每天給報童1000份報,并規(guī)定他不得把賣不出的報紙退回.設為報童每天賣出的報紙份數(shù),試將報童賠錢這一事件用隨機變量的體現(xiàn)式表達.解：{報童賠錢}{賣出的報紙錢不夠成本}，而當0.15X<1000×0.1時，報童賠錢，故{報童賠錢}{X666}3．若，，其中，求.解：.4．設隨機變量的分布函數(shù)為試求（1）（2）（3）解：；（2）；（3）.5．5個乒乓球中有2個新的，3個舊的，如果從中任取3個，其中新的乒乓球的個數(shù)是一種隨機變量，求這個隨機變量的概率分布律和分布函數(shù)，并畫出分布函數(shù)的圖形.解：設表達任取的3個乒乓球中新的乒乓球的個數(shù)，由題目條件可知，的全部可能取值為0，1，2，∵，，∴隨機變量的概率分布律以下表所示：0120.10.60.3由可求得以下:，的圖形如圖所示.6．某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中率為0.9，如果他命中目的就停止射擊，命不中就始終射擊到用完5發(fā)子彈，求所用子彈數(shù)的概率分布解：123450.90.090.0090.00090.00017.一批零件中有9個合格品與3個廢品，安裝機器時，從這批零件中任取一種，如果每次取出的廢品不再放回，求在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)的分布律.解：設，，由題意知，廢品數(shù)的可能值為0，1，2，3，事件即為第一次獲得合格品，事件即為第一次取出的零件為廢品，而第二次取出的零件為合格品，于是有，，因此的分布律見下表01230.750.20450.04090.00458.從中任取一種數(shù)字，若取到數(shù)字的概率與成正比，即，求.解：由條件，由分布律的性質(zhì),應有,.9.已知隨機變量服從參數(shù)的泊松分布，試滿足條件的自然數(shù).解：由于從而查附表得10.某公路一天內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)服從泊松分布，且一天內(nèi)發(fā)生一次交通事故的概率與發(fā)生兩次交通事故的概率相等，求一周內(nèi)沒有交通事故發(fā)生的概率.解：設，由題意：=，，解得，所求的概率即為.11.一臺儀器在10000個工作時內(nèi)平均發(fā)生10次故障，試求在100個工作時內(nèi)故障不多于兩次的概率.解：設表達該儀器在100個工作時內(nèi)故障發(fā)生的次數(shù)，，所求的概率即為，，三者之和.而100個工作時內(nèi)故障平均次數(shù)為，根據(jù)Poisson分布的概率分布近似計算以下：故該儀器在100個工作時內(nèi)故障不多于兩次的概率為0.99984.12.設，現(xiàn)對進行三次獨立觀察，試求最少有兩次觀察值不不大于的概率.解：，令，則，令表達三次重復獨立觀察中出現(xiàn)次數(shù)，則，故所求概率為.13.設某種傳染病進入一羊群，已知此種傳染病的發(fā)病率為2/3，求在50頭已感染的羊群中發(fā)病頭數(shù)的概率分布律.解：把觀察一頭羊與否發(fā)病作為一次實驗，發(fā)病率，不發(fā)病率，由于對50頭感染羊來說與否發(fā)病，能夠近似看作互相獨立，因此將它作為50次重復獨立實驗，設50頭羊群中發(fā)病的頭數(shù)為，則，的分布律為14.設隨機變量的密度函數(shù)為，用表達對的3次獨立重復觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，求.解：，，由二項概率公式.15.已知的概率密度為，試求：（1）、未知系數(shù)；（2）、的分布函數(shù)；（3）、在區(qū)間內(nèi)取值的概率.解：（1）由，解得(2)，∴當x≤0時,當x>0時，,∴.（3）.16.設在內(nèi)服從均勻分布，求方程有實根的概率.解:“方程有實根”即，故所求的概率為=.17.知隨機變量服從正態(tài)分布，且服從原則正態(tài)分布，求.解：由題意解得：18.已知隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且落入?yún)^(qū)間（1，2）內(nèi)的概率達成最大，求.解：,令，即,即，∴19．設隨機變量，求，.解：.20.設電源電壓，在電壓三種情形下，電子元件損壞的概率分別為，求：（1）該電子元件損壞的概率；（2）該電子元件損壞時，電壓在伏的概率.解：設，電子元件損壞，則（1）完備，由全概率公式，今，同理，，從而.（2）由貝葉斯公式.21.隨機變量的分布律為－2－1013求的分布律0149解：.22.變量服從參數(shù)為0.7的0－1分布，求及的概率分布.解．的分布為010.30.7易見，的可能值為0和1；而的可能值為和0，由于，可見的概率分布為：010.30.7-100.70.3由于，，可得的概率分布為23.概率密度函數(shù)為，求的概率密度函數(shù).解：的反函數(shù)為，代入公式得.24.設隨機變量，求隨機變量在內(nèi)概率密度.解法一（分布函數(shù)法）當時，時，當時，從而解法二（公式法）在單增，由于反函數(shù)在可導，，從而由公式得 25.，求的密度.解法一（分布函數(shù)法）由于，故，當時，， .解法二（公式法）的值域，反函數(shù)，故 .26.設隨機變量服從上的均勻分布，分別求隨機變量和的概率密度和.解：的密度為，（1）函數(shù)有唯一反函數(shù)，，且，故.（2）在區(qū)間上，函數(shù)，它有唯一反函數(shù)，且，從而.27.設為的密度函數(shù)，且為偶函數(shù)，求證與有相似的分布. 證：即證與的密度函數(shù)相似，即. 證法一（分布函數(shù)法），，得證. 證法二（公式法）由于為單調(diào)函數(shù)，.28.設隨機變量服從正態(tài)分布，，是的分布函數(shù)，隨機變量.求證服從區(qū)間上的均勻分布.證明：記的概率密度為，則由于是的嚴格單調(diào)增函數(shù)，其反函數(shù)存在，又因，因此的取值范疇是.即當時于是的密度函數(shù)為即服從區(qū)間上的均勻分布.第三章思考題1(答:錯)2(答:錯)3答:錯)習題1解：.由此可看出,即使兩個離散隨機變量互相獨立同分布,普通狀況下也不會以概率1相等.2解：由=1可得：,從而得：01200.060.150.090.310.140.350.210.70.20.31故互相獨立. 10103解:由于:,成果如表所示.4解:的邊沿分布律為的邊沿分布律為的條件下的條件分布為的條件下的條件分布為5解：（1）由乘法公式容易求得分布律．易知，放回抽樣時且0101于是的分布律為（2）不放回抽樣，則,在第一次抽出正品后，第二次抽取前的狀態(tài)：正品9個，次品2個．故又在第一次抽出次品后，第二次抽取前狀態(tài)：正品10個，次品1個.故0101,且于是的分布律為放回抽樣時，兩次抽樣互不影響，故彼此互相獨立；不放回抽樣，第一次抽樣對第二次抽樣有影響，不互相獨立．6解=,=隨機變量及是獨立的.7解（1）==（2）的邊沿分布函數(shù)=.由此得隨機變量的邊沿分布密度函數(shù)同理可得隨機變量的邊分布函數(shù)=的邊沿分布密度函數(shù)（3）由（2）知==，因此與獨立.8解由于與互相獨立，因此的聯(lián)合概率密度為因此，的分布律為:9解：（1）由=1，即，即因此=（2）的邊沿概率密度為當，===，當，===，可知邊沿分布密度為：==（3）=10解由于=1，即，對任意，==，因此=對任意，==，因此=故=，因此與互相獨立.11解由當時，其它=0.因此:12解（1），的邊沿密度為分布密度為：==故====（2）由于=1，故與不互相獨立.13證設的概率密度為，的概率密度為，由于互相獨立，故的聯(lián)合密度為=.于是交換積分次序可得：因此1－故.14解設，由于互相獨立同分布，于是有則又+－=+（－=解得：因而有兩個值.由于，因此，當時，由=得當時，由=得.15解（1）的可能取值為2，3，4.且故有:（2）由已知易得16解由已知得(-1,-1)(-1,0)(,-2)(,-1)(,0)(3,-2)(3,-1)(3,0)概率00-3-2-1--12310-1543因此有-3-2-1--13-1013517證明：對任意的我們有（由于與互相獨立）==（運用組合公式）=即～18解在[0，2]中取值，按卷積公式的分布密度為：如圖，從而：19解由于互相獨立，故～因此：20解，設兩周的需求量為，則當時=故21解（1），當時（積分時，是常量）當時，同理，當時，，當時，由于，故與不互相獨立.（2）當時，當時，22解設為選用的第只電子管的壽命，則～令則所求概率為=（由獨立性）=[]而因此23解由于設互相獨立，均服從指數(shù)分布.因而它們的聯(lián)合密度函數(shù)為：事件等價于，因而所求概率為：習題四參考答案1解（1）=（-1）×+0×+×+1×+2×=（2）=2×+1×+×+0×+（-1）×=（3）=1×+0×+×+1×+4×=.2解==3解由于，互相獨立，因此=4證明顯然，且.因此是一種分布密度,但不存在，因此隨機變量的數(shù)學盼望不存在.5解表達售出設備一年內(nèi)調(diào)換，表達調(diào)換費用.則凈獲利的數(shù)學盼望為：凈獲利的數(shù)學盼望為：=（元）6解直徑～因此：=7解（1）的邊際分布見表上，故1×0.4+2×0.2+3×0.4；=-1×0.3+1×0.3=0.-1010.20.100.40.10.10.1（2）的可能取值為.易知的分布律如表為故=-1×0.2×0.1×0.1+×0.1+×0.1+1×0.1=，解法2（3）=-1-2-301230.20.100.40.10.10.1的可能取值為-1，-2，-3，0，1，2，3.且有如表的概率分布：=-1×0.2+（-2）×0.1+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.2因此=5解法2=+8解：令的取值為0，1，故：類似可求得9解因此=10解:的分布函數(shù)為則的分布函數(shù)于是的密度函數(shù)為從而11解：設隨機變量表達獲得合格品以前已取出的次品數(shù)，則的可能取值為0，1，2，3；下求取這些可能值的概率，易知由此可得：，，12解=======其中“′”表達對的形式導數(shù).因此13解由于故有：，故，因此：14證明：由于=因此對于15解=-+=+=16解：由正態(tài)分布與均勻分布的方差知由于與互相獨立，因此與也互相獨立，從而17解(1)記則即～(2)～因此18解(1)由已知有:因此:(2)(3).19解:由于,因此與成負線性關(guān)系,從而;或直接計算:,故.20解:21證明：顯然而由即互相獨立.即：任意兩個服從0—1分布的隨機變量若不有關(guān)，必互相獨立.22解故（有關(guān)奇）=0故23證明:由于～,即因此故從而,但,即表達有依賴關(guān)系,故兩者并不獨立.24解的密度為于是，，，因此：，又由于故：．注：其實由于區(qū)域為矩形域，且服從上的均勻分布,從而與獨立，故與不有關(guān)，即．25解，由同理故因互相獨立，故同理故.26證明對即這是覺得系數(shù)的二次曲線問題=4即27解：28解獨立同分布于指數(shù)分布則已知由定理4=1-（查表）≈1-0.7881=0.211929解設第次轟炸命中目的的次數(shù)為,則為獨立同分布系列,且,命中目的的總次數(shù),由獨立同分布的中心極限定理(近似)～,因此,所求概率為30解設每部分的長度是一種隨機變量,且互相獨立同分布,為總長度,又,,由獨立同分布的中心極限定理(近似)～,因此,產(chǎn)品合格的概率為31解由獨立同分布的中心極限定理32解：設老人死亡數(shù)為～，保險公司虧本當且僅當即，于是，由棣莫佛—拉普拉斯定理故公司虧本的概率：．33解（1）：表損壞數(shù)，則～由定理6（2）：表損壞數(shù)，則～設為取整，由定理6查表得34解（1）由定理4===（查表）（2）=.35解參考資料：概率論與數(shù)理統(tǒng)計，第三版，浙江大學，盛驟等編.高等教育出版社.12月.概率論講義，第二版，沈恒范編，高等教育出版社.1987年3月.概率論，同濟大學數(shù)學教研室主編，第一版，高等教育出版社.1993年3月.概率論與數(shù)理統(tǒng)計典型題，龔冬寶，王寧編，西安交通大學出版社，6月.第八章思考題1.答:方差分析與回歸分析都是考察所研究的某一指標與實驗因素(條件)的關(guān)系的.方差分析考察的是因素對指標的影響與否明顯,回歸分析考察的是因素的取值與指標的取值存在一種什么樣的有關(guān)關(guān)系.因素能夠分為兩大類,一類是屬性的,一類是數(shù)量的.屬性的因素普通無數(shù)量大小可言,只是性質(zhì)的不同,如種子的品種,機器的型號,材料的品質(zhì),加工的工藝等等.數(shù)量的因素能夠在一定范疇內(nèi)取值,如人的身高,體重,實驗的溫度,產(chǎn)量,產(chǎn)品的合格率等等.也有原來是數(shù)量而屬性化的,如施肥量能夠是某個數(shù)量,但有時將它局限在某些范疇內(nèi)而分為高,中,低幾個層次,就屬性化了.當所考慮問題的因素是屬性的時,問題屬于方差分析的范疇;當所考慮的因素是數(shù)量時,問題屬于回歸分析的范疇.2.答:方差分析的種類諸多.在不同類型的方差分析中,因素能夠增加或減少,數(shù)據(jù)構(gòu)造能夠發(fā)生變化.但是下列三個重要的假定是不變的.(1)正態(tài)性假定有了正態(tài)性假定后,數(shù)據(jù)認為取自,由此求得的多種離差平方和(如比值分布),從而定義F分布函數(shù).沒有正態(tài)假定,就沒有分布,也沒有F分布與統(tǒng)計推斷.(2)方差齊性假定假定數(shù)據(jù)來自方差為的正態(tài)總體,只有這樣才干在相似的條件(相等)下來分析問題.考察指標的變化,才能夠建立統(tǒng)計假設,才有方差分析檢查.(3)線性假定線性假定指數(shù)據(jù)的獲得僅通過線性運算,這樣才能夠把數(shù)據(jù)當線性模型解決,也才能夠施行方差分析辦法.在大數(shù)定律和中心極限定理下,正態(tài)性假設是易于確立的.數(shù)據(jù)的線性假設也符合實際,易于成立.但是,方差齊性假設不易確立.例如對于二項分布來說,其樣本的方差隨而變化,對于不同的數(shù)據(jù),很難保持方差齊性,因此常慣用數(shù)據(jù)變化來實現(xiàn).在方差分析中,三個假定缺一不可,否則方差分析就失去了根據(jù).3.答:進行回歸分析,對參數(shù)的檢查對象規(guī)定必須滿足下列三個基本條件:(1)正態(tài)性被檢查的對象或者因變量必須是服從正態(tài)分布的隨機變量.(2)方差齊性被檢查的各個總體的方差,應當是相等的.(3)獨立性對被檢查的各對觀察數(shù)據(jù)而言,從概率意義上理解為是獨立獲得的.解決實際問題時,往往不能事先預知這三條與否滿足.像方差分析同樣,正態(tài)性可由大數(shù)定律和中心極限定理來擬定,方差齊性的檢查用F檢查來進行,而獨立性普通憑實際經(jīng)驗判斷.普通有一種近似結(jié)論就能夠進行回歸分析了.4.答:以一元線性回歸為例.其模型為,最小二乘預計是指對對實驗數(shù)值,作離差平方和運用微積分中的極值原理,求出的和,則為所求線性回歸方程.最大似然預計是由,,則,得樣本的極大似然函數(shù)要使L獲得最大值,則應使得為最小.用與最小二乘預計中同樣的極值辦法,求得使最小的和,得線性回歸方程.由于兩種辦法討論的都是,并且由此求得和,故最小二乘預計與最大似然預計的成果是相似的.5.答:當線性回歸方程已經(jīng)擬定,并經(jīng)檢查確認回歸明顯,則對給定的,置信度為的預測區(qū)間為:其中由此可知,影響預測精度的重要因素為:(1).普通,越小,精度越高.(2).越大,精度越高,因此應盡量擴大樣本容量.(3)自變量的取值.應盡量避免過于集中,但預測點離越近時,精度越高.習題1.解:分別以表達三種內(nèi)容的廣告宣傳的某種大型機械平均銷售量,檢查假設,其中.計算方差分析表得以下:表8-1方差分析表方差來源平方和 自由度均方值因素2668.1721334.0910.93誤差1098.59122.06總和3766.6711對給定的，查表得，由于，因此回絕，即認為廣告宣傳內(nèi)容的不同對某種大型機械銷售量的影響是有明顯的.2.解:分別以表達三個廠家生產(chǎn)的電池的平均壽命,檢查假設,其中.計算方差分析表得以下:表8-2方差分析表方差來源平方和自由度均方值因素615.62205.211.38誤差216.41218.03總和83214對給定的，查表得，由于，因此回絕，即認為不同廠家生產(chǎn)的電池的壽命是有明顯差別的.由均值差=的置信水平為的置信區(qū)間為:,,,,.故,,及的置信水平為0.95的置信區(qū)間分別為,,.3.解:表8-3直觀分析計算數(shù)據(jù)表列號水平實驗號A1B2C34轉(zhuǎn)化率1234567891(460)112(490)223(520)331(250)2(270)3(300)1231231(甲)2(乙)3(丙)2313121.721.821.801.921.831.981.591.601.805.345.735.005.235.255.595.305.555.221.7801.9101.6671.7431.7501.8631.7671.8501.7400.2430.120.11(1)由上述表中的計算按極差的大小選用各因子的重要性,其次序是:;(2)由于實驗指標越大越好,因此按原則選用各因子