可分離變量微分方程的解法及其應(yīng)用

一、故事梗概

直到20年后，1967年卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型解決了真假名畫問題。范.梅格倫（VanMeegren）“偽造”17世紀(jì)荷蘭著名畫家Jan.Vermeer（維米爾）的名畫賣給納粹分子。第一頁第二頁，共15頁。二、思路2原理：著名物理學(xué)家盧瑟夫（Rutherford）指出，物質(zhì)的放射性（衰變率）正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)。1分析：油畫中不可缺少的顏料之一白鉛，具有放射性，其應(yīng)用已有2000余年，白鉛的成分中包含了少量的鐳（Ra226）和少量的放射性鉛（Pb210）。我們看下元素衰變示意圖。第二頁第三頁，共15頁。礦石中元素衰變示意圖：

鈾238鐳226鉛210釙210鉛206T=45億年T=1600年T=22年T=138天白鉛第三頁第四頁，共15頁。3建立微分方程：

設(shè)t時刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量為y(t),y0為t0時刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量,鐳元素的衰變率為常數(shù)r。則：第四頁第五頁，共15頁。三、解決問題經(jīng)驗：礦石中鈾的最大含量可能2-3%，若白鉛中鉛210每分鐘衰變超過3萬個原子，則礦石中含鈾量超過4%。處理：分析鉛210的衰變率，與當(dāng)時礦物質(zhì)中放射性物質(zhì)含量比較，來判別畫的真?zhèn)?。第五頁第六頁，?5頁。建模：

設(shè)t時刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量為y(t)，y0為t0時刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量,鐳元素的衰變率為常數(shù)r。則:衰變率：

其中

,y(t),r均容易測出。第六頁第七頁，共15頁。畫名釙210衰變原子數(shù)（每克每分鐘）鐳226衰變原子數(shù)（每克每分鐘）Emmaus的信徒們8.50.82洗足12.60.26讀樂譜的婦人10.30.3彈曼陀林的婦人8.20.17做花邊的人1.51.4歡笑的女孩5.26.0假設(shè)：第一幅畫是真品，則

鉛210每分鐘每克衰變數(shù)值不合理，因此為贗品。

同理可判別其他畫的真?zhèn)?。結(jié)論：第七頁第八頁，共15頁。思考：古尸年代鑒定問題在巴基斯坦一個洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家把它帶到實驗室，作C14年代測定，分析表明，與C12的比例僅僅是活組織內(nèi)的6.24%，能否判斷此人生活在多少年前?第八頁第九頁，共15頁。Thankyouforyourattention！第九頁第十頁，共15頁。C14年代測定：活體中的碳有一小部分是放射性同位素C14，這種放射性碳是由于宇宙射線在高層大氣中的撞擊引起的，經(jīng)過一系列交換過程進(jìn)入活組織內(nèi)，直到在生物體內(nèi)達(dá)到平衡濃度,這意味著在活體中，C14的數(shù)量與穩(wěn)定的C12的數(shù)量成定比，生物體死亡后，交換過程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度減少。第十頁第十一頁，共15頁。設(shè)t時刻的原子數(shù)為y(t)，則有為物質(zhì)的衰變常數(shù)。第十一頁第十二頁，共15頁。設(shè)t時刻的原子數(shù)為y(t)，則有為物質(zhì)的衰變常數(shù)。初始條件半衰期第十二頁第十三頁，共15頁。解初值問題解:

分離變量得