離散數(shù)學(xué)第十二章代數(shù)結(jié)構(gòu)基本概念及性質(zhì)-2

第十二章 代數(shù)結(jié)構(gòu)概念及性質(zhì)代數(shù)結(jié)構(gòu)的定義與例代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本性質(zhì)同態(tài)與同構(gòu)同余關(guān)系商代數(shù)積代數(shù)第一頁(yè)，共九十八頁(yè)。12.1

代數(shù)結(jié)構(gòu)的定義與例在正式給出代數(shù)結(jié)構(gòu)的定義之前，先來(lái)說(shuō)明什么是在一個(gè)集合上的運(yùn)算，因?yàn)檫\(yùn)算這個(gè)概念是代數(shù)結(jié)構(gòu)中不可缺少的基本概念。定義設(shè)S是個(gè)非空集合且函數(shù)或f

:Sn

→S，則稱f

為一個(gè)n元運(yùn)算。其中n是自然數(shù)，稱為運(yùn)算的元數(shù)或階。當(dāng)n=1

時(shí)，稱f為一元運(yùn)算，當(dāng)n=2時(shí)，稱f為二元運(yùn)算，等等。第二頁(yè)，共九十八頁(yè)。注意，n元運(yùn)算首先是一個(gè)函數(shù)，其次是個(gè)閉運(yùn)算(所謂閉運(yùn)算是指：集合上的運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果都在原來(lái)的集合中，我們把具有這種特征的運(yùn)算稱作封閉的，簡(jiǎn)稱閉運(yùn)算)。封閉性表明了n元運(yùn)算與一般函數(shù)的區(qū)別之處。此外，有些運(yùn)算存在幺元或零元，它在運(yùn)算中起著特殊的作用，稱它為S中的特異元或常數(shù)。第三頁(yè)，共九十八頁(yè)。運(yùn)算的例子很多，例如，在數(shù)理邏輯中，否定是謂詞集合上的一元運(yùn)算，合取和析取是謂詞集合上的二元運(yùn)算；在集合論中，并與交

是集合上的二元運(yùn)算；在整數(shù)算術(shù)中，加、減、乘運(yùn)算是二元運(yùn)算，而除運(yùn)算便不是二元運(yùn)算，因?yàn)樗粷M足封閉性。第四頁(yè)，共九十八頁(yè)。在下面討論的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，主要限于一元和二元運(yùn)算，將用"、┐或ˉ等符號(hào)表示一元運(yùn)算符；用

、

、⊙、○、∧、∨、∩、∪等表示二元運(yùn)算符，一元運(yùn)算符常常習(xí)慣于前置、頂置或肩置，如┐x、、x"；而二元運(yùn)算符習(xí)慣于前置、中置或后置，如：+xy，x+y，xy+。有了集合上運(yùn)算的概念后，便可定義代數(shù)結(jié)構(gòu)了。第五頁(yè)，共九十八頁(yè)。定義設(shè)S是個(gè)非空集合且fi是S上的ni元運(yùn)算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…，fm組成的結(jié)構(gòu)，稱為代數(shù)結(jié)構(gòu)，記作<S，f1，f2，…，fm>。例：設(shè)Z是整數(shù)集，“＋”是Z上的普通加法運(yùn)算，則<Z，＋>是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)。例：設(shè)R是實(shí)數(shù)集，“＋”與“×”是實(shí)數(shù)集R上的普通加法和乘法運(yùn)算，則<R,＋,×>是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)。第六頁(yè)，共九十八頁(yè)。例：我們可以構(gòu)造下述的一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)：設(shè)有一個(gè)由有限個(gè)字母組成的集合∑，叫字母表，在∑上任意長(zhǎng)的字母串，叫做∑上句子或字符串，串中字母的個(gè)數(shù)m叫這個(gè)串的長(zhǎng)度，我們假定當(dāng)一個(gè)字的長(zhǎng)度m=0時(shí)用符號(hào)表示，它叫做空串。這樣我們可以構(gòu)造一個(gè)在∑上的所有串的集合∑*。其次，我們定義一個(gè)在∑*上的運(yùn)算“//”——并置運(yùn)算或者連接運(yùn)算，設(shè)

，

∑*，則

//

＝

。通過(guò)并置運(yùn)算將兩個(gè)串聯(lián)成一個(gè)新的串，而此聯(lián)成的新串也在∑*內(nèi)，這樣構(gòu)造的<∑*，//>是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)第七頁(yè)，共九十八頁(yè)。如果令∑+＝∑*－{一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)。}，則<∑+，//>也是這兩種代數(shù)結(jié)構(gòu)都是計(jì)算機(jī)科學(xué)中經(jīng)常要用到的代數(shù)結(jié)構(gòu)。第八頁(yè)，共九十八頁(yè)。例：設(shè)有一計(jì)算機(jī)它的字長(zhǎng)是32位，它以定點(diǎn)加、減、乘、除及邏輯加、邏輯乘為運(yùn)算指令，并分別用01，02，…，06表示之。則在該計(jì)算機(jī)中由232有限個(gè)不同的數(shù)字所組成的集合S以及計(jì)算機(jī)的運(yùn)算型機(jī)器指令就構(gòu)成了一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)<S，01，02，…，06>。第九頁(yè)，共九十八頁(yè)。因此，一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)需要滿足二個(gè)條件：有一個(gè)非空集合S在集合S上定義的運(yùn)算一定是封閉的第十頁(yè)，共九十八頁(yè)。此外，我們把集合S的基數(shù)即|S|，定義為代數(shù)結(jié)構(gòu)的基數(shù)。如果S是有限集合，則說(shuō)代數(shù)結(jié)構(gòu)是有限代數(shù)結(jié)構(gòu)；否則便說(shuō)是無(wú)窮代數(shù)結(jié)構(gòu).有時(shí)，要考察兩個(gè)或多個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，這里就有個(gè)是否同類型之說(shuō)，請(qǐng)看下面定義：第十一頁(yè)，共九十八頁(yè)。定義設(shè)兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)<S，f1，f2，…，fm>和<T，g1，g2，…，gm>，如果fi和gi(1≤i≤m)具有相同的元數(shù)，則稱這兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)是同類型的?？梢?，判定兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)是否同類型，主要是對(duì)其運(yùn)算進(jìn)行考察：①兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)是否有相同個(gè)數(shù)的運(yùn)算符；②每個(gè)相對(duì)應(yīng)的運(yùn)算符是否有相同的元數(shù)。第十二頁(yè)，共九十八頁(yè)。例：代數(shù)結(jié)構(gòu)<N，＋>與代數(shù)結(jié)構(gòu)<Z，×>是相同類型的，因?yàn)樗鼈兌加幸粋€(gè)二元運(yùn)算符。例：代數(shù)結(jié)構(gòu)<Z，＋，×>與<N，＋>的類型是不相同的，因?yàn)樗鼈兊倪\(yùn)算符的個(gè)數(shù)不同。第十三頁(yè)，共九十八頁(yè)。例：設(shè)S是非空集合，P(S)是它的冪集。對(duì)任意集合A，B∈P(S)上的運(yùn)算

和

如下:A

B

=(A－B)∪(B－A)A

B

=

A∩B則<P(S)，

，

>是一代數(shù)結(jié)構(gòu)。因?yàn)?，顯然

和

是閉運(yùn)算。<R，＋，×>與<P(S)，

，

>是同類型代數(shù)結(jié)構(gòu)的。有時(shí)還需要在代數(shù)結(jié)構(gòu)中集合的某個(gè)子集上討論其性質(zhì)，這就引出子代數(shù)結(jié)構(gòu)的概念.第十四頁(yè)，共九十八頁(yè)。定義設(shè)<S，f1，f2，…，fm>是一代數(shù)結(jié)構(gòu)，且非空集T

S在運(yùn)算f1，f2，…，fm作用下是封閉的，且T含有與S中相同的特異元，則稱<T，f1，f2，…，fm>為代數(shù)結(jié)構(gòu)<S，f1，f2，…，fm>的子代數(shù)。記為<T，f1，…>

<S，f1，…>。例：設(shè)E是所有偶數(shù)所組成的集合，則代數(shù)結(jié)構(gòu)<E，＋>是<Z，＋>的一個(gè)子代數(shù)結(jié)構(gòu)例：

顯然，<Z，＋，×>

<R，＋，×>.第十五頁(yè)，共九十八頁(yè)。12.2

代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本性質(zhì)所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)即是結(jié)構(gòu)中任何運(yùn)算所具有的性質(zhì)。以下我們均假設(shè)運(yùn)算為二元運(yùn)算。1.結(jié)合律給定<S，⊙>，則運(yùn)算“⊙”滿足結(jié)合律或

“⊙”是可結(jié)合的，即(

x)(

y)(

z)(x,y,z∈S→(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z第十六頁(yè)，共九十八頁(yè)。例

給定<A，⊙>且對(duì)任意a，b∈A有a⊙b=b。證明運(yùn)算“⊙”是可結(jié)合的。證明：因?yàn)閷?duì)任意a，b，c∈A(a⊙b)⊙c=b⊙c=ca⊙(b⊙c)=a⊙c=c故(a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c)注意，不是任何代數(shù)結(jié)構(gòu)上的運(yùn)算都滿足結(jié)合律，如整數(shù)集上“－”運(yùn)算就不滿足結(jié)合律。如：5－(2－1)＝4,但是(5－2)－1＝2.第十七頁(yè)，共九十八頁(yè)。2.交換律給定<S，⊙>，則運(yùn)算“⊙”滿足交換律或

“⊙”是可交換的，即(

x)(

y)(x,y∈S→x⊙y=y⊙x)。例

給定<Q，○>，其中Q為有理數(shù)集合，并且對(duì)任意a，b∈Q有a○b

=

a

+

b

-

a·b，問運(yùn)算○是否可交換?證：a○b

=a

+b

-a·b=b

+a

-b·a

＝

ba

，故運(yùn)算○是可交換的。第十八頁(yè)，共九十八頁(yè)。同樣，并不是所有代數(shù)結(jié)構(gòu)上運(yùn)算均滿足交換律，如矩陣的乘法就不滿足交換律。易見，如果一代數(shù)結(jié)構(gòu)中的運(yùn)算⊙是可結(jié)合和可交換的，那么，在計(jì)算a1⊙a(bǔ)2⊙···⊙a(bǔ)m時(shí)可按任意次序計(jì)算其值。特別當(dāng)a1＝a2＝···＝am＝a時(shí)，則a1⊙a(bǔ)2⊙···⊙a(bǔ)m＝am。稱am為a的m次冪，m稱a的指數(shù)。下面給出am的歸納定義：第十九頁(yè)，共九十八頁(yè)。設(shè)有<S，⊙>且a

S，對(duì)于m

Z+，其中Z+表示正整數(shù)集合，可有：a1=aam+1=am⊙a(bǔ)由此利用歸納法不難證明指數(shù)定律：

(1)am⊙a(bǔ)n=am+n(2)(am)n=amn這里，m,n

Z+。類似地定義某代數(shù)結(jié)構(gòu)中的負(fù)冪和給出負(fù)指數(shù)定律。第二十頁(yè)，共九十八頁(yè)。3.分配律一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)若具有兩個(gè)運(yùn)算時(shí)，則分配律可建立這兩個(gè)運(yùn)算之間的某種聯(lián)系。給定<S，⊙，○>，稱運(yùn)算⊙對(duì)于○滿足左分配律，或者⊙對(duì)于○是可左分配的，如果有(x)(

y)(

z)(x,y,z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z)同理，稱運(yùn)算⊙對(duì)于○滿足右分配律或⊙對(duì)于○是可右分配的，如果有(→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x))x)(

y)(

z)(x,y,z∈S第二十一頁(yè)，共九十八頁(yè)。類似地可定義○對(duì)于⊙是滿足左或右分配律.若⊙對(duì)于○既滿足左分配律又滿足右分配律，則稱⊙對(duì)于○滿足分配律或是可分配的。同樣可定義○對(duì)于⊙滿足分配律。由定義不難證明下面定理：定理

給定<S，⊙，○>且⊙是可交換的。如果⊙對(duì)于○滿足左或右分配律，則⊙對(duì)于○滿足分配律。第二十二頁(yè)，共九十八頁(yè)。例

給定<B,⊙,○>，其中B={0,1}。表分別定義了運(yùn)算⊙和○，問運(yùn)算⊙對(duì)于○是可分配的嗎？○對(duì)于⊙呢？第二十三頁(yè)，共九十八頁(yè)。形如表的表常常被稱為運(yùn)算表或復(fù)合表，它由運(yùn)算符、行表頭元素、列表頭元素及復(fù)合元素四部分組成。當(dāng)集合S的基數(shù)很小，特別限于幾個(gè)時(shí)，代數(shù)結(jié)構(gòu)中運(yùn)算常常用這種表給出。其優(yōu)點(diǎn)簡(jiǎn)明直觀，一目了然。解可以驗(yàn)證⊙對(duì)于○是可分配的，但○對(duì)于⊙并非如此。因?yàn)?○(0⊙1)

(1○0)⊙(1○1)1

0

1

0

0第二十四頁(yè)，共九十八頁(yè)。4.吸收律給定<S，⊙，○>，則⊙對(duì)于○滿足左吸收律:=(

x)(

y)(x,y∈S→x⊙(x○y)=x)⊙對(duì)于○滿足右吸收律:=(

x)(

y)(x,y∈S→(x○y)⊙x=x)第二十五頁(yè)，共九十八頁(yè)。若⊙對(duì)于○既滿足左吸收律又滿足右吸收律，則稱⊙對(duì)于○滿足吸收律或可吸收的。對(duì)于和吸收律類似地定義。若⊙對(duì)于○是可吸收的且○對(duì)于⊙也是可吸收的，則⊙和○是互為吸收的或⊙和○同時(shí)滿足吸收律。第二十六頁(yè)，共九十八頁(yè)。例

給定<N，⊙，○

>，其中N是自然數(shù)集合，⊙和○定義如下：對(duì)任意a，b∈N有a⊙b

=max{a，b}，a

○b

=min{a，b}，試證，⊙和○互為吸收的。證明：不妨假設(shè)a＞ba⊙(a○b)=max{a，min{a，b}}=a(a○b)⊙a(bǔ)=max{min{a，b}，a}=a故⊙對(duì)于○滿足吸收律。同理可證，○對(duì)于⊙滿足吸收律。故⊙和○互為吸收的。第二十七頁(yè)，共九十八頁(yè)。5.等冪律與等冪元給定<S，⊙>，則“⊙”是等冪的或“⊙”滿足等冪律:=(x)(x∈S→x⊙x=x)給定<S，⊙>且x∈S，則x是關(guān)于“⊙”的等冪元:=x⊙x=x于是，不難證明下面定理：定理

若x是<S，⊙>中關(guān)于⊙的等冪元，對(duì)于任意正整數(shù)n，則xn=x。第二十八頁(yè)，共九十八頁(yè)。例

給定<P(S)，∪，∩>，其中P(S)是集合S的冪集，∪和∩分別為集合的并和交運(yùn)算。驗(yàn)證：∪和∩是等冪的。證：對(duì)任意A和∩是等冪的。P(S)，有A∪A=A和A∩A=A，故∪第二十九頁(yè)，共九十八頁(yè)。6.幺元或單位元給定<S，⊙>且el，er，e∈S，則el為關(guān)于⊙的左幺元:=(

er為關(guān)于⊙的右幺元:=(x)(x∈S→el⊙x=x)x)(x∈S→x⊙er=x)若e既為⊙的左幺元又為⊙的右幺元，稱e為關(guān)于⊙的幺元。亦可定義如下：e為關(guān)于⊙的幺元:=(

x)(x∈S→e⊙x=x⊙e=x)。第三十頁(yè)，共九十八頁(yè)。定理

給定<S，⊙>且el和er分別是關(guān)于⊙的左、右幺元，則el=er=e且幺元e唯一。例：實(shí)數(shù)集R上的代數(shù)結(jié)構(gòu)<R，＋，×>的“×”運(yùn)算的幺元為1，因?yàn)閷?duì)任意x

R有x×1＝1×x＝x。而“＋”運(yùn)算的幺元為0，因?yàn)閷?duì)任意xR有x＋0＝0＋x＝x。例：前面例子中關(guān)于串的并置運(yùn)算，它的單位元素是空串//

=A。，因?yàn)閷?duì)任一串A，均有

//

A

=

A第三十一頁(yè)，共九十八頁(yè)。7.零元給定<S，○>及θl，θr，θ∈S，則θl為關(guān)于○的左零元:=(

x)(x∈S→θl○x=θl)θr為關(guān)于○的右零元:=(

x)(x∈S→x○θr=θr)θ為關(guān)于○的零元:=(

x)(x∈S→θ○x=x○θ=θ)第三十二頁(yè)，共九十八頁(yè)。定理給定<S，⊙>且θl和θr分別為關(guān)于⊙的左零元和右零元，則θl=θr=θ且零元θ是唯一的。定理

給定<S，⊙>且|S|＞1。如果θ，e∈S，其中θ和e分別為關(guān)于⊙的零元和幺元，則θ≠e。第三十三頁(yè)，共九十八頁(yè)。例：代數(shù)結(jié)構(gòu)<Z，×>上的零元是“0”，因?yàn)閷?duì)于任何整數(shù)x，均有x×0＝0×x＝0。例：正整數(shù)集Z+上的運(yùn)算“min”，叫“取最小”運(yùn)算。min(a,b)為取a,b的最小者。代數(shù)結(jié)構(gòu)<Z+，min>中對(duì)應(yīng)于運(yùn)算“min”的零元為1。第三十四頁(yè)，共九十八頁(yè)。8．逆元給定<S，⊙>且幺元e，x∈S，則y)(y∈S∧x⊙y=e)y)(y∈S∧y⊙x=e)x為關(guān)于⊙的左逆元:=(

x為關(guān)于⊙的右逆元:=(

x為關(guān)于⊙可逆的:=(

y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)第三十五頁(yè)，共九十八頁(yè)。給定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，則y為x的左逆元:=y⊙x=ey為x的右逆元:=x⊙y=ey為x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e第三十六頁(yè)，共九十八頁(yè)。顯然，若y是x的逆元，則x也是y的逆元，因此稱x與y互為逆元。通常x的逆元表示為x-1。一般地說(shuō)來(lái)，一個(gè)元素的左逆元不一定等于該元素的右逆元。而且，一個(gè)元素可以有左逆元而沒有右逆元，反之亦然。甚至一個(gè)元素的左或右逆元還可以不是唯一的。第三十七頁(yè)，共九十八頁(yè)。定理

給定<S，⊙>及幺元e∈S。如果⊙是l可結(jié)合的并且一個(gè)元素x的左逆元x

-1和右逆元r

l

rx

-1存在，則x

-1=x

-1。定理

給定<S，⊙>及幺元e∈S。如果⊙是可結(jié)合的并且x的逆元x-1存在，則x-1是唯一的。第三十八頁(yè)，共九十八頁(yè)。例：代數(shù)結(jié)構(gòu)<Z，＋>上的幺元是“0”，對(duì)于任何整數(shù)x，它的逆元是－x，因?yàn)閤＋(－x)＝0。例：代數(shù)結(jié)構(gòu)<R，＋，×>中0和1分別為＋和×的幺元。對(duì)于“＋”，對(duì)每個(gè)元素r

R都有逆元－r；對(duì)于“×”，對(duì)每個(gè)元素

r

R都有逆元1/r(r

0)

。第三十九頁(yè)，共九十八頁(yè)。9.可約律與可約元給定<S，⊙>且零元θ∈S，則⊙滿足左可約律或是左可約的:=(

x)(

y)(

z)((x,y,z∈S∧x≠θ∧x⊙y=x⊙z)→y=z)，并稱x是關(guān)于⊙的左可約元?！褲M足右可約律或是右可約的:=(

x)(

y)(

z)((x,y,z∈S∧x≠θ∧y⊙x=z⊙x)→y=z)，并稱x是關(guān)于⊙的右可約元。第四十頁(yè)，共九十八頁(yè)。若⊙既滿足左可約律又滿足右可約律或⊙既是左可約又是右可約的，則稱⊙滿足可約律或⊙是可約的。若x既是關(guān)于⊙的左可約元又是關(guān)于⊙的右可約元，則稱x是關(guān)于⊙的可約元?？杉s律與可約元也可形式地定義如下：第四十一頁(yè)，共九十八頁(yè)?！褲M足可約律:=(

x)(

y)(

z)(x,y,z∈S∧x≠θ∧((x⊙y=x⊙z∧y⊙x=z⊙x)→y=z))x是關(guān)于⊙的可約元:=(

y)(

z)(y,z∈S∧x≠θ∧((x⊙y)=x⊙z∧y⊙x=z⊙x)→y=z))第四十二頁(yè)，共九十八頁(yè)。例：給定<Z，×>，其Z是整數(shù)集合，×是一般乘法運(yùn)算。顯然，每個(gè)非零整數(shù)都是可約元，而且運(yùn)算×滿足可約律。第四十三頁(yè)，共九十八頁(yè)。定理給定<S，○>且○是可結(jié)合的，如果

x是關(guān)于○可逆的且x≠θ，則x也是關(guān)于○的可約元。證明

設(shè)任意y,z

S且有x○y=x○z或y○x=zx。因?yàn)椤鹗强山Y(jié)合的及x是關(guān)于○可逆的，則有x-1○(x○y)=(x-1○x)○y=e○y=yx-1○(x○z)=(x-1○x)○z=e○z=z第四十四頁(yè)，共九十八頁(yè)。故得x○y=x○z

y=z，故x是關(guān)于○的左可約元。同樣可證得y○x=z○x

y=z，故x是關(guān)于的右可約元。故x是關(guān)于○的可約元。最后，作一補(bǔ)充說(shuō)明，用運(yùn)算表定義一代數(shù)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算，從表上很能反映出關(guān)于運(yùn)算的各種性質(zhì)。為確定起見，假定<S，○>及x，y，θ，e∈S。第四十五頁(yè)，共九十八頁(yè)。(1)運(yùn)算○具有封閉性，當(dāng)且僅當(dāng)表中的每個(gè)元素都屬于S。(2)運(yùn)算○滿足交換律，當(dāng)且僅當(dāng)表關(guān)于主對(duì)角線是對(duì)稱的。第四十六頁(yè)，共九十八頁(yè)。(3)運(yùn)算○是等冪的，當(dāng)且僅當(dāng)表的主對(duì)角線上的每個(gè)元素與所在行或列表頭元素相同?！餫bc…abc…abc…第四十七頁(yè)，共九十八頁(yè)。(4)元素x是關(guān)于○的左零元，當(dāng)且僅當(dāng)x所對(duì)應(yīng)的行中的每個(gè)元素都與x相同；元素y是關(guān)于○的右零元，當(dāng)且僅當(dāng)y所對(duì)應(yīng)的列中的每個(gè)元素都與y相同；元素是關(guān)于○的零元，當(dāng)且僅當(dāng)所對(duì)應(yīng)的行和列中的每個(gè)lm元素都與

相同。n

…左零元xma

ax

x

x

x

…

bc

c…

…右零元y第四十八頁(yè)，共九十八頁(yè)。n

y

○…

mny

ayy

c…

…零元(5)元素x為關(guān)于○的左幺元，當(dāng)且僅當(dāng)x所對(duì)應(yīng)的行中元素依次與行表頭元素相同；元素y為關(guān)于○的右幺元，當(dāng)且僅當(dāng)y所對(duì)應(yīng)的列中元素依次與列表頭元素相同；元素e是關(guān)于○的幺元，當(dāng)且僅當(dāng)e所對(duì)應(yīng)的行和列中元素分別依次與行表頭元素和列表頭元素相同。左幺元xl

m

n

…

○

m n

yabca

ax

l

m

n

…

bc

c…

…○…

mn

eae

mc…

…an

ec…幺元e右幺元y第四十九頁(yè)，共九十八頁(yè)。(6)x為關(guān)于○的左逆元，當(dāng)且僅當(dāng)位于x所在行的元素中至少存在一個(gè)幺元，y為關(guān)于○的右逆元，當(dāng)且僅當(dāng)位于y所在列的元素中至少存在一個(gè)幺元；x與y互為逆元，當(dāng)且僅當(dāng)位于x所在行和y所在列的元素以及y所在行和x所在列的元素都是幺元。左逆元○lmn…○mny○…mxyaxc…eabc…exby…ee右逆元第五十頁(yè)，共九十八頁(yè)。逆元例給定<S，○>，其中S={α，β，γ，δ，ζ}且○的定義如表所示。試指出該代數(shù)結(jié)構(gòu)中各元素的左、右逆元情況。表解：α是幺元；β的左逆元和右逆元都是γ，即β與γ互

為逆元；δ的左逆元是γ而右逆元是β；β有兩個(gè)左逆元γ和δ；ζ的右逆元是γ，但ζ沒有左逆元?！穰羍βγδζαeαeβγδζββδαeγδγδζγ

αe

β

αe

β

βδ

αe

γ

δ

γζ

δ

αe

γ

ζ第五十一頁(yè)，共九十八頁(yè)。12.3

同態(tài)與同構(gòu)本節(jié)將闡明兩個(gè)重要概念——同態(tài)與同構(gòu)。在以后各節(jié)中，它們會(huì)經(jīng)常被使用到。第五十二頁(yè)，共九十八頁(yè)。定義設(shè)<X，⊙>與<Y，○>是同類型的。稱<X，⊙>同態(tài)于<Y，○>或<Y，○>為<X，⊙>的

同態(tài)象，記為<X，⊙>~<Y，○>，其定義如下：<X，⊙>

~

<Y，○>:=(

f)(f∈YX∧(

x1)(

x2)(x1,x2∈X→f(x1⊙x2)=f(f(x2)))同時(shí)，稱f為從<X，⊙>到<Y，○>的同態(tài)映射.可以看出，同態(tài)映射f不必是惟一的。第五十三頁(yè)，共九十八頁(yè)。Xx1x2x3x1⊙x3f(X)y1=f(x1)f(x1)=f(x2)y3=f(x3)y1○y3Yf同態(tài)示意圖第五十四頁(yè)，共九十八頁(yè)。例

給定<R，＋>和<R，×>，其中R是實(shí)數(shù)集合，＋和×分別是加法和乘法運(yùn)算，試證<R，＋>~<R，×>。證：關(guān)鍵是找一個(gè)同態(tài)映射。今構(gòu)造函數(shù)f∈RR如下：f(x)=ax

,其中a＞0,x∈R則f為所求的同態(tài)映射，這是因?yàn)閷?duì)任意y,z∈R，有f(y＋z)=ay＋z＝

ay×az＝

f(y)×f(z)因此，<R，＋>~<R，×>第五十五頁(yè)，共九十八頁(yè)。兩個(gè)同類型的代數(shù)結(jié)構(gòu)間的同態(tài)定義不僅適用于具有一個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，也可以推廣到具有多個(gè)二元運(yùn)算的任何兩個(gè)同類型代數(shù)結(jié)構(gòu)。例如，對(duì)于具有兩個(gè)二元運(yùn)算的兩個(gè)同類型代數(shù)結(jié)構(gòu)<X,⊙,○>和<Y,義如下：,

>的同態(tài)定<X,⊙,○>

~

<Y,

,

>:=(

f)(f

YX∧(

x1)(

x2)(x1,x2

X

(f(x1⊙x2)=f(x1)

f(x2)∧f(x1x2)=f(x1)

f(x2)))第五十六頁(yè)，共九十八頁(yè)。定理如果<X，⊙>~<Y，○>且f為其同態(tài)映射，則<rn(f)，○>

<Y，○>。由于函數(shù)f

YX的不同性質(zhì)，將給出不同種類的同態(tài)定義。第五十七頁(yè)，共九十八頁(yè)。定義設(shè)<X，⊙>~<Y，○>且f為其同態(tài)映射。(i)如果f

為滿射，則稱f

是從<X，⊙>到<Y，>的滿同態(tài)映射。(ii)如果f為單射(或一對(duì)一映射)，則稱f為從<X，⊙>到<Y，○>的單一同態(tài)映射。第五十八頁(yè)，共九十八頁(yè)。(iii)如果f為雙射(或一一對(duì)應(yīng))，則稱f為從<X，⊙>到<Y，○>的同構(gòu)映射。記為<X,⊙>≌<X,○>。顯然，若f

是從<X，⊙>到<Y，○>的同構(gòu)映射，則f

為從<X，⊙>到<Y，○>的滿同態(tài)映射及單一同態(tài)映射，反之亦然。第五十九頁(yè)，共九十八頁(yè)。例設(shè)<Σ*，∥>與<N，+>是同類型的，其中

Σ*為有限字母表上的字母串集合，∥為并置運(yùn)算，

N為自然數(shù)集合，+為普通加法。若定義f：Σ*→N為f(x)=|

x

|其中x∈Σ*，|

x

|表示字母串的長(zhǎng)度。因?yàn)閷?duì)任意x，y∈Σ*，有f(x∥y

)=|

x∥y

|=|x

|+|

y

|=f(x)+f(y)，故<Σ*，∥>~<N，+>。顯然，f是滿射，因此，f為從<Σ*，∥>到<N，+>的滿同態(tài)映射。第六十頁(yè)，共九十八頁(yè)。例給定<Z,+>，其中Z為整數(shù)集合，+為一般加法。作函數(shù)f

ZZ：f(x)=kx，(此處乘法是一般乘法)其中x,k

Z則當(dāng)k

0時(shí)，由于f(y+z)=k(y+z)=ky+kz=f(y)+f(z)，故f為<Z,+>到<Z,+>的同態(tài)映射。又易知f為單射，故f為<Z,+>到<Z,+>的單一同態(tài)映射。當(dāng)k=-1或k=1時(shí)，f為從<Z,+>到<Z,+>的同構(gòu)映射(我們稍后再來(lái)證明)。第六十一頁(yè)，共九十八頁(yè)。綜上可以看出，同態(tài)映射具有一個(gè)特性，即

“保持運(yùn)算”。對(duì)于滿同態(tài)映射來(lái)說(shuō)，它能夠保持運(yùn)算的更多性質(zhì)，為此，給出如下定理：,

>且f

為其滿定理給定<X,⊙,○>~<Y,同態(tài)映射，則如果⊙和○滿足結(jié)合律，則結(jié)合律。如果⊙和○滿足交換律，則交換律。和

也滿足和

也滿足第六十二頁(yè)，共九十八頁(yè)。(c)如果⊙對(duì)于○或○對(duì)于⊙滿足分配律，則

對(duì)于

或

對(duì)于

也相應(yīng)滿足分配律。如果⊙對(duì)于○或○對(duì)于⊙滿足吸收律，則 對(duì)于 或 對(duì)于 也滿足吸收律。如果⊙和○滿足等冪律，則

和

也滿足等冪律。如果e1和e2分別是關(guān)于⊙和○的幺元，則f(e1)和f(e2)分別為關(guān)于

和

的幺元。第六十三頁(yè)，共九十八頁(yè)。(g)如果θ1和θ2分別是關(guān)于⊙和○的零元，則f(θ1)和f(θ2)分別為關(guān)于

和

的零元。(h)如果對(duì)每個(gè)x∈X均存在關(guān)于⊙的逆元x-1，則對(duì)每個(gè)f(x)∈Y也均存在關(guān)于

的逆元f(x-1)；如果對(duì)每個(gè)z∈X均存在關(guān)于○的逆元z-1，則對(duì)每個(gè)f(z)∈Y也均存在關(guān)于

的逆元f(z-1)。第六十四頁(yè)，共九十八頁(yè)。定理告訴我們，對(duì)于滿同態(tài)映射來(lái)說(shuō)，代數(shù)結(jié)構(gòu)的許多性質(zhì)都能保持，如結(jié)合律、交換律、分配律、等冪律、幺元、零元、逆元等，但這種保持性質(zhì)是單向的，即如果<X，⊙>滿同態(tài)于<Y，○>，則<X，⊙>所具有的性質(zhì)，<Y，○>均具有。但反之不然，即<Y，○>所具有的某些性質(zhì)，<X，⊙>不一定具有。不盡要問，在怎樣條件下，<Y，○>所具有的性質(zhì)<X，⊙>都完全具有呢?為了回答這個(gè)問題，需要引出兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)同構(gòu)的概念。第六十五頁(yè)，共九十八頁(yè)。定義設(shè)<X，⊙>與<Y，○>是同類型的。稱<X，⊙>同構(gòu)于<Y，○>，記為<X，⊙>≌<Y，>，其定義如下：<X，⊙>≌<Y，○>:=(<Y，○>的同構(gòu)映射)或更詳細(xì)地定義為：<X，⊙>≌<Y，○>:=(f)(f為從<X，⊙>到f)(f∈YX∧f為雙射∧f為從<X，⊙>到<Y，○>的同態(tài)映射)第六十六頁(yè)，共九十八頁(yè)。<X,

⊙>x1x2<Y，○>f(x1)f(x2)f(x1)○f(x2)x1⊙x2同構(gòu)示意圖f第六十七頁(yè)，共九十八頁(yè)。例代數(shù)結(jié)構(gòu)<R+，×>與<R，＋>是同構(gòu)的。其中R為實(shí)數(shù)，R+為正實(shí)數(shù)。證：關(guān)鍵是找一個(gè)雙射。對(duì)<R+，×>與<R，＋>，有一個(gè)函數(shù)h：R+→R，h(x)=lnx此函數(shù)是雙射的。因?yàn)閷?duì)每個(gè)x>0,均存在一個(gè)y=lnx

R，同時(shí)，對(duì)每個(gè)y

R，均存在一個(gè)x=eyR+.又因?yàn)?/p>

h(y×z)=ln(y×z)=lny＋lnz=h(y)＋h(z)故<R+，×>與<R，＋>是同構(gòu)的。注：當(dāng)然，我們也可以取函數(shù)h(x)=lgx，第六十八頁(yè)，共九十八頁(yè)。續(xù)例給定<Z,+>，其中Z為整數(shù)集合，+為一般加法。作函數(shù)f

ZZ：f(x)=kx，(此處乘法是一般乘法)其中x,k

Z，則當(dāng)k=-1或k=1時(shí)，f為從<Z,+>到<Z,+>的同構(gòu)映射。證：先證明當(dāng)k=-1或k=1時(shí)f為雙射。因?yàn)閷?duì)每個(gè)x

Z,均存在一個(gè)y=kx(即y=x或y=-x)

Z，同時(shí)，對(duì)每個(gè)y

Z，均存在一個(gè)x=y/k

(即x=y或x=-y)

Z。(顯然，若k取

1以外的值，y/k不一定是整數(shù)，或者y/k無(wú)意義，此時(shí)f

就不是雙射了.)又由于f(y+z)=k(y+z)=ky+kz=f(y)+f(z)，故f為<Z,+>到<Z,+>的同構(gòu)映射。第六十九頁(yè)，共九十八頁(yè)。例代數(shù)結(jié)構(gòu)<{0,1}，∨>與<{M,H}，＋>是同構(gòu)的。其中M,H分別表示低電平、高電平，

“＋”表示或門，它們的運(yùn)算表如下。證：這兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)間存在一個(gè)函數(shù)f:{0,1}→{M,H}，且f(0)=M,f(1)=H，顯然這是一個(gè)雙射，而且有f(x∨y)=f(x)+f(y)。故它們是同構(gòu)的。∨

0

10

0

11

1

1＋

M

HM

M

HH

H

H第七十頁(yè)，共九十八頁(yè)。例設(shè)S={4,5,6},在S上的二元運(yùn)算“”其定義如下表所示。又有P={1,2,3}及在P上的二元運(yùn)算“

”，其運(yùn)算表如下表所示。這樣所構(gòu)成的兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)<S，

>與<P，

>是同構(gòu)的。證：這兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)間存在一個(gè)函數(shù)f:{4,5,6}→{1,2,3}，f(x)=x-3，其中x

S。顯然這是一個(gè)雙射，而且有f(x

y)=f(x)

f(y)。故它們是同構(gòu)的。4

5

64

4

5

45

4

5

56

4

5

61

2

31

1

2

12

1

2

23

1

2

3第七十一頁(yè)，共九十八頁(yè)。由定義可知，同構(gòu)的條件比同態(tài)強(qiáng)，關(guān)鍵是同構(gòu)映射是雙射，即一一對(duì)應(yīng)。而同態(tài)映射

不一定要求是雙射。正因?yàn)槿绱?，同?gòu)不再僅

僅象滿同態(tài)那樣對(duì)保持運(yùn)算是單向的了，而對(duì)

保持運(yùn)算成為雙向的。兩個(gè)同構(gòu)的代數(shù)，表面

上似乎很不相同，但在結(jié)構(gòu)上實(shí)際是沒有什么

差別，只不過(guò)是集合中的元素名稱和運(yùn)算的標(biāo)

識(shí)不同而已，而它們的所有發(fā)生“彼此相通”。第七十二頁(yè)，共九十八頁(yè)。這樣，當(dāng)探索新的代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)或者能夠證明該結(jié)構(gòu)同構(gòu)于另外一個(gè)性質(zhì)已知的代數(shù)結(jié)構(gòu)，便能直接地知道新的代數(shù)結(jié)構(gòu)的各種性質(zhì)了。對(duì)于同構(gòu)的兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，在它們的運(yùn)算表中除了元素和運(yùn)算的標(biāo)記不同外，其它一切都是相同的。因此，可以根據(jù)這些特征來(lái)識(shí)別同構(gòu)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。第七十三頁(yè)，共九十八頁(yè)。下面給出兩個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)的同構(gòu)定義定義

設(shè)兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)<X，⊙，○>與<Y，

，>，如果它們之間存在一個(gè)雙射f：X→Y，使得任意x1,x2

X，有f(x1

⊙

x2)=f(x1)f(x1

○

x2)=f(x1)f(x2)f(x2)則說(shuō)此兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)是同構(gòu)的。第七十四頁(yè)，共九十八頁(yè)。例

給定<S，∪，∩

>，其中S={

，A，B，C}，∪和∩是一般的集合運(yùn)算；又有<T，

，

>，這里T

=

{1，2，5，10}，且對(duì)于a，b∈T有a

b=

lcm{a，b}(最小公倍數(shù))，a

b

=

gcd{a，b}(最大公約數(shù))

，表至表給出四個(gè)運(yùn)算表。試說(shuō)明<S，∩，∪>≌<T，

，

>.第七十五頁(yè)，共九十八頁(yè)。表12.3.3表∪AABBCC∩ABCAA

ACCAAABB

CBCBBBCC

C

C

C

C表12.3.5

表ABC12510125101125101111122210102121255105105115510101010101012510第七十六頁(yè)，共九十八頁(yè)。解：令f

TS：f(

)=1，f(A)=2，f(B)=5，f(C)=10。顯然，f是從S到T的雙射。經(jīng)驗(yàn)證，對(duì)任意x1,x2

S，又有

f(x1∪x2)=f(x1)f(x1∩x2)=f(x1)f(x2)f(x2)故<S，∩，∪>與<T，

，

>是同構(gòu)的。第七十七頁(yè)，共九十八頁(yè)。同構(gòu)是一個(gè)關(guān)系，而且可以證明它是個(gè)等價(jià)關(guān)系，對(duì)此有如下定理：定理代數(shù)結(jié)構(gòu)間的同構(gòu)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。第七十八頁(yè)，共九十八頁(yè)。證明顯然<S，⊙>≌<S，⊙>，因?yàn)楹愕扔成涫峭瑯?gòu)映射。又若<S，⊙>≌<T,○>且f為其同構(gòu)映射，則f--1為從<T,○>到<S，⊙>的同構(gòu)映射。因此，<T,○>≌<S，⊙>。再令<S，⊙>≌<T,○>及<T,○>≌<R，

>，則<S，⊙>≌<R，

>。這里因?yàn)槿鬴為<S，⊙>到<T,

○>的同構(gòu)映射，g為<T,

○>到<R，

>的同構(gòu)映射，則g

f為從<S，⊙>到<R，

>的同構(gòu)映射。可見同構(gòu)關(guān)系滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性。因此，同構(gòu)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。第七十九頁(yè)，共九十八頁(yè)。由于同構(gòu)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，故令所有的代數(shù)結(jié)構(gòu)構(gòu)成一個(gè)集合S，于是可按同構(gòu)關(guān)系將其分類，得到商集S/≌。因?yàn)橥瑯?gòu)的代數(shù)結(jié)構(gòu)具有相同的性質(zhì)，故實(shí)際上代數(shù)結(jié)構(gòu)所需要研究的總體并不是S而是S/≌。在同態(tài)與同構(gòu)中有一個(gè)特例，即具有相同集合的任兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)的同態(tài)與同構(gòu)，這便是自同態(tài)與自同構(gòu)。第八十頁(yè)，共九十八頁(yè)。定義給定<S，⊙>及f∈SS。f為自同態(tài)映射:=f為從<S，⊙>到<S，⊙>的同態(tài)映射。f為自同構(gòu)映射:=f為從<S，⊙>到<S，⊙>的同構(gòu)映射。例在例中，當(dāng)k

≠0時(shí)，f

=kx是從<Z，+>到<Z，+>的自同態(tài)映射；當(dāng)k

=1或k

=-1時(shí)，f=kx是從<Z，+>到<Z，+>的自同構(gòu)映射。第八十一頁(yè)，共九十八頁(yè)。12.4

同余關(guān)系本節(jié)主要闡明同態(tài)與同余關(guān)系之間的聯(lián)系。主要內(nèi)容如下：定義給定<S，⊙>，且E為S中的等價(jià)關(guān)系。E有代換性質(zhì):=(

x1)(

x2)(

y1)(

y2)((x1,x2,y1,y2∈S∧x1∧y1Ey2)→(x1⊙y1)E(x2⊙y2))。E為<S，⊙>中的同余關(guān)系:=E有代換性質(zhì)。第八十二頁(yè)，共九十八頁(yè)。與此同時(shí)，稱同余關(guān)系E的等價(jià)類為同余類。由定義可知，同余關(guān)系是代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合中的一類特殊的等價(jià)關(guān)系，并且在運(yùn)算的作用下，能夠保持關(guān)系的等價(jià)類。即在x1⊙y1中，如果用集合S中的與x1等價(jià)的任何其它元素x2代換

x1，并且用與y1等價(jià)的任何其它元素y2代換y1，則所求的結(jié)果x2⊙y2與x1⊙y1位于同一等價(jià)類之中。第八十三頁(yè)，共九十八頁(yè)。亦即若[x1]E=[x2]E并且[y1]E=[y2]E，則[x1⊙y1]E=[x2⊙y2]E。此外，同余關(guān)系與運(yùn)算密切相關(guān)。如果一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)中有多個(gè)運(yùn)算，則需要考察等價(jià)關(guān)系對(duì)于所有這些運(yùn)算是否都有代換性質(zhì)。如果有，則說(shuō)該代數(shù)結(jié)構(gòu)存在同余關(guān)系；否則，同余關(guān)系不存在。第八十四頁(yè)，共九十八頁(yè)。[x1]Ex1x2[x1⊙y1]Ex1⊙y1x2⊙y2[y1]Ey1同y2余關(guān)系示意圖第八十五頁(yè)，共九十八頁(yè)。例

給定<Z,+,

>，其中Z是整數(shù)集合，+和是一般加、乘法。假設(shè)Z中的關(guān)系R定義如下：i1Ri2:=|i1|=|i2|，其中i1、i2

Z試問，R為該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系嗎？第八十六頁(yè)，共九十八頁(yè)。解顯然，R為Z中的等價(jià)關(guān)系。接著先考察R對(duì)于+運(yùn)算的代換性質(zhì)：若取i1,-i1,i2

Z

，則有|i1|=|-i1|和|i2|=|i2|，是，下式(i1R(-i1))∧(i2Ri2)

(i1+i2)R(-i1+i2)不真。這是因?yàn)榍凹檎?，后件為假。故R對(duì)于+運(yùn)算不具有代換性質(zhì)。第八十七頁(yè)，共九十八頁(yè)。至此可以說(shuō)，R不是該結(jié)構(gòu)的同余關(guān)系。但為了熟悉驗(yàn)證一個(gè)關(guān)系是否為同余關(guān)系，還是來(lái)考察R對(duì)于的代換性質(zhì)。令i1,i2,j1,j2

Z且i1Ri2和j1Rj2。于是，對(duì)任意i1,i2,j1,j2都有：(i1Ri2)和(j1Rj2)

(i1

j1)R(i2

j2)因此，E對(duì)于具有代換性質(zhì)。第八十八頁(yè)，共九十八頁(yè)?？梢?，考察一個(gè)等價(jià)關(guān)系E對(duì)于有多個(gè)運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)是否為同余關(guān)系，這里有個(gè)次序先后問題，選擇得好，馬上就考察到了E