2021-2022學(xué)年廣東省汕尾市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年廣東省汕尾市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解一元二次不等式，求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：由，即，解得，所以，又，所以；故選：C2．中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為，實(shí)軸長(zhǎng)為2，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件，求出，的值，結(jié)合雙曲線的方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)雙曲線的方程為．由已知得：，，再由，，雙曲線的方程為：．故選：D．3．圓與圓的位置關(guān)系是(

)A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【分析】判斷圓心距與兩圓半徑之和、之差的關(guān)系即可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】由得圓心坐標(biāo)為，半徑，由得圓心坐標(biāo)為，半徑，∴，，∴，即兩圓相交.故選：B.4．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則A．6 B．4 C．2 D．2【答案】A【詳解】由已知得解得．故選A．【解析】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式．5．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調(diào)遞減的為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】的圖象判斷.【詳解】A.是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；B.如圖所示：

，由圖象知：函數(shù)是以為最小正周期，在上單調(diào)遞減，故正確；C.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；故選：B6．函數(shù)，若實(shí)數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】A【分析】利用函數(shù)在遞減求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在遞減，又實(shí)數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)，即，又因?yàn)?，所以，故選：A7．在遞增等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和．已知，，且，則數(shù)列的公比為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出、，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】解：由題意得：是遞增等比數(shù)列又，，故故選：B8．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，是雙曲線上的點(diǎn)，軸，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件可得與，進(jìn)而可得，，的關(guān)系，可得解.【詳解】由已知得，設(shè)點(diǎn)，由軸，則，代入雙曲線方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故選：C.二、多選題9．已知直線，則下述正確的是（

）A．直線的斜率可以等于B．直線的斜率有可能不存在C．直線可能過點(diǎn)D．若直線的橫縱截距相等，則【答案】BD【解析】根據(jù)直線方程判斷斜率AB，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可判斷直線是否過一點(diǎn)判斷C，求出橫縱截距可判斷D．【詳解】時(shí)，斜率不存在，時(shí)，斜率不等于0，A錯(cuò)；B正確；，不在直線上，C錯(cuò)；時(shí)，縱截距不存在，時(shí)，令得，令，，由得，D正確．故選：BD．10．已知曲線C的方程為（，且，），則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C為圓 B．若曲線C為橢圓，且焦距為，則C．當(dāng)或時(shí)，曲線C為雙曲線 D．當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí)，焦距等于4【答案】AC【分析】寫出當(dāng)時(shí)的曲線方程，即可判斷A;分情況求出當(dāng)曲線表示橢圓時(shí)k的值，可判斷B；當(dāng)或時(shí)，判斷的正負(fù)，即可判斷C;當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí),確定k的范圍，求得焦距，可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí),方程為，即，表示圓，故A正確；若曲線C為橢圓，且焦距為，則當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，且，解得；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，且，解得,故此時(shí)或，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，曲線表示的是焦點(diǎn)位于y軸上的雙曲線；當(dāng)時(shí)，，曲線表示的是焦點(diǎn)位于x軸上的雙曲線；故C正確；當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí)，，即或，當(dāng)時(shí)，，焦距，當(dāng)時(shí)，，焦距，故D錯(cuò)誤，故選：AC11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，與是方程的兩根，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若是等差數(shù)列，則B．若是等比數(shù)列，則C．若是遞減等差數(shù)列，則當(dāng)取得最大值時(shí)，或D．若是遞增等差數(shù)列，對(duì)恒成立，則【答案】BC【分析】由題意利用等差數(shù)列性質(zhì)求出公差和首項(xiàng)，利用前項(xiàng)和求出，再利用二次函數(shù)性質(zhì)，基本不等式，得出結(jié)論判斷即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，與是方程的兩根，由韋達(dá)定理得，，，所以解得，或，；對(duì)于A選項(xiàng)：若是等差數(shù)列，則，故A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)：若是等比數(shù)列，則，因?yàn)?，所以，則，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：若是遞減等差數(shù)列，所以，，解得公差，首項(xiàng)，所以，故當(dāng)或時(shí)取得最大值，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：若是遞增等差數(shù)列，所以，，解得公差，首項(xiàng)1，所以，因?yàn)閷?duì)恒成立，即恒成立，即恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，則，故D不正確.故選：BC.12．如圖，棱長(zhǎng)均為2的平行六面體中，平面ABCD，，E，F(xiàn)分別是線段BD和線段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，直線EF與直線所成角的大小為C．當(dāng)時(shí)，若，則D．當(dāng)時(shí)，三棱錐體積的最大值為【答案】ABD【分析】利用直棱柱的性質(zhì)，以及空間向量的有關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，連接，，分別是，的中點(diǎn)，所以也是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫允堑妊苯侨切?，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，，所以，，，不滿足，故C錯(cuò)誤；過作交于，可證面，三棱錐體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：ABD．三、填空題13．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)______．【答案】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得答案.【詳解】由題意可知：復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)，故答案為：14．在空間直角坐標(biāo)系中，向量為平面ABC的一個(gè)法向量，其中，，則向量的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】根據(jù)向量為平面ABC的一個(gè)法向量，由求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)橄蛄繛槠矫鍭BC的一個(gè)法向量，所以，解得，所以，故答案為：15．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，，則歐拉線的方程為______．【答案】【分析】根據(jù)給定信息，利用三角形重心坐標(biāo)公式求出的重心，再結(jié)合對(duì)稱性求出的外心，然后求出歐拉線的方程作答.【詳解】因的頂點(diǎn)，，，則的重心，顯然的外心在線段AC中垂線上，設(shè)，由得：，解得：，即點(diǎn)，直線，化簡(jiǎn)整理得：，所以歐拉線的方程為.故答案為：16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A為拋物線C上一點(diǎn)．以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交拋物線C的準(zhǔn)線于B，D兩點(diǎn)，A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，且，則______．【答案】2【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，由，，三點(diǎn)共線，推得，由三角形的中位線性質(zhì)可得到準(zhǔn)線的距離，可得的值．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，可得為圓的直徑，如圖示：設(shè)準(zhǔn)線交x軸于E，所以，則，由拋物線的定義可得，又是的中點(diǎn)，所以到準(zhǔn)線的距離為,故答案為：2．四、解答題17．給出以下三個(gè)條件：①；②，，成等比數(shù)列；③．請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并完成作答．若選擇多個(gè)條件分別作答，以第一個(gè)作答計(jì)分．已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，______．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，則根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合，求得公差，可得答案;若選②，則根據(jù)，，成等比數(shù)列，列出方程，結(jié)合，求得公差，可得答案;若選③，則根據(jù)，列出方程，結(jié)合，求得公差，可得答案;（2）由（1）可得的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法，求得答案.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為d選擇①，由題意得，又，則，所以；選擇②，由，，成等比數(shù)列，得，即，解得，或（舍去），所以；選擇③，由，得，解得，所以．(2)由題意知，∴

①

②①－②得∴，即.18．某初中學(xué)校響應(yīng)“雙減政策”，積極探索減負(fù)增質(zhì)舉措，優(yōu)化作業(yè)布置，減少家庭作業(yè)時(shí)間．現(xiàn)為調(diào)查學(xué)生的家庭作業(yè)時(shí)間，隨機(jī)抽取了名學(xué)生，記錄他們每天完成家庭作業(yè)的時(shí)間（單位：分鐘），將其分為，，，，，六組，其頻率分布直方圖如下圖：(1)求的值，并估計(jì)這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)（中位數(shù)結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三組和第五組中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行“雙減政策”情況訪談，再?gòu)脑L談的學(xué)生中選取名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)跟蹤，求被選作成績(jī)跟蹤的名學(xué)生中，第三組和第五組各有名的概率．【答案】(1)；這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)約為分鐘(2)【分析】（1）由頻率分布直方圖頻率之和為，建立方程求解即可；設(shè)中位數(shù)為，利用頻率分布直方圖中位數(shù)定義列出方程即可求解；（2）頻率分布直方圖頻率得到第三組和第五組的人數(shù)，從而列出所有樣本點(diǎn)，再根據(jù)題意利用古典概率模型求解即可.【詳解】(1)根據(jù)頻率分布直方圖可得：，解得．設(shè)中位數(shù)為，由題意得，解得所以這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)約為分鐘．(2)由頻率分布直方圖知，第三組和第五組的人數(shù)之比為，所以分層抽樣抽出的人中，第三組和第五組的人數(shù)分別為人和人，第三組的名學(xué)生記為，，，，第五組的名學(xué)生記為，，所以從名學(xué)生中抽取名的樣本空間，共15個(gè)樣本點(diǎn)，記事件“名中學(xué)生，第三組和第五組各名”則，共有個(gè)樣本點(diǎn)，所以這名學(xué)生中，兩組各有名的概率．19．已知圓C過兩點(diǎn)，，且圓心C在直線上．(1)求圓C的方程；(2)過點(diǎn)作圓C的切線，求切線方程．【答案】(1)．（或標(biāo)準(zhǔn)形式）(2)或【分析】（1）根據(jù)題意，求出的中垂線方程，與直線聯(lián)立，可得圓心的坐標(biāo)，求出圓的半徑，即可得答案；（2）分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案．【詳解】(1)解：根據(jù)題意，因?yàn)閳A過兩點(diǎn)，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以的中垂線方程為，即又因?yàn)閳A心在直線上，聯(lián)立，解得，所以圓心，半徑，故圓的方程為，(2)解：當(dāng)過點(diǎn)P的切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線與圓C相切當(dāng)過點(diǎn)P的切線斜率k存在時(shí)，設(shè)切線方程為即（）由圓心C到切線的距離，可得將代入（），得切線方程為綜上，所求切線方程為或20．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為中點(diǎn)．(1)求二面角的大??；(2)探究線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面的法向量代入公式求解即可；（2）假設(shè)存在，設(shè)，利用相等向量求出坐標(biāo)，利用線面平行的向量法代入公式計(jì)算即可.【詳解】(1)如下圖所示，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．所以，設(shè)平面的法向量，所以，即，令，則，，所以，連接，因?yàn)?，，，平面，平面，平面，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖知，二面角為銳二面角，所以二面角的大小為．(2)假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，，，因?yàn)槠矫?，所以，即所以，即解得所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．21．如圖，五邊形為東京奧運(yùn)會(huì)公路自行車比賽賽道平面設(shè)計(jì)圖，根據(jù)比賽需要，在賽道設(shè)計(jì)時(shí)需預(yù)留出，兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），，，，，為賽道．現(xiàn)已知，，千米，千米．(1)求服務(wù)通道的長(zhǎng)．(2)在上述條件下，如何設(shè)計(jì)才能使折線賽道（即）的長(zhǎng)度最大，并求最大值．【答案】(1)服務(wù)通道的長(zhǎng)為千米(2)時(shí)，折線賽道的長(zhǎng)度最大，最大值為千米【分析】（1）先在中利用正弦定理得到長(zhǎng)度，再在中，利用余弦定理得到即可；（2）在中利用余弦定理得到，再根據(jù)基本等式求解最值即可.【詳解】(1)在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理，得，即解得或（負(fù)值舍去）所以服務(wù)通道的長(zhǎng)為千米．(2)在中，由余弦定理得：，即，所以因?yàn)?，所以，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）即當(dāng)時(shí)，折線賽道的長(zhǎng)度最大，最大值為千米．22．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，，是橢圓C的短軸端點(diǎn)，P是橢圓C上異于點(diǎn)，的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足，，求證與的面積之比為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)的周長(zhǎng)為8，求得a，再根據(jù)離心率求解；（2）方法一：設(shè)，，得到直線和直線的方程，聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)，根據(jù)在橢圓上，得到，然后代入Q的橫坐標(biāo)求解；方法二：設(shè)直線，的斜率分別為k，，點(diǎn)，