高考數(shù)學(xué)經(jīng)典二級結(jié)論解讀與應(yīng)用訓(xùn)練：專題11 圓錐曲線的切線問題 （解析版）

結(jié)論十一：圓錐曲線的切線問題結(jié)論1.過圓C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一點P(x0,y0)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.2.過橢圓x2a2+y2b2=1上一點P(x0,y3.已知點M(x0,y0),拋物線C:y2=2px(p≠0)和直線l:y0y=p(x+x0).(1)當(dāng)點M在拋物線C上時,直線l與拋物線C相切,其中M為切點,l為切線.(2)當(dāng)點M在拋物線C外時,直線l與拋物線C相交,其中兩交點與點M的連線分別是拋物線的切線,即直線l為切點弦所在的直線.(3)當(dāng)點M在拋物線C內(nèi)時,直線l與拋物線C相離.解讀在以上的結(jié)論中，我們可以用類比的方法，由過已知圓上和圓外的點的切線方程聯(lián)想到過圓錐曲線上和圓錐曲線外的切線方程，觸類旁通，實現(xiàn)知識的內(nèi)遷，使知識更趨于系統(tǒng)化，取得事半功倍的效果。典例過雙曲線上一點作雙曲線的切線，若直線與直線的斜率均存在，且斜率之積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．解析【答案】C【詳解】設(shè)，由于雙曲線在點處的切線方程為，故切線的斜率；因為，則，則，即雙曲線的離心率。反思本題先設(shè)，則可得切線為，從而可求出直線的斜率，再由題意可得，則得，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率。本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查考生直觀想象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，解題的關(guān)鍵是求出雙曲線在點處的切線方程為，則有切線的斜率，再結(jié)題意可得答案，屬于中檔題針對訓(xùn)練*舉一反三1．已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點處的切線方程為，試運用該性質(zhì)解決以下問題；橢圓，點B為在第一象限中的任意一點，過B作的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于兩點，則面積的最小值為（）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】設(shè)，由題意得，過點B的切線l的方程為：，令，可得，令，可得，所以面積，又點B在橢圓上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以面積的最小值為.2．過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則直線PA的方程為，直線PB的方程為，點均在兩直線上，故，直線AB的方程為3x+4y=4.點到直線AB的距離，則.本題選擇D選項.3．過點M(2，－2p)作拋物線x2＝2py(p＞0)的兩條切線，切點分別為A，B，若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為6，則p的值是（）．A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2【答案】C【解析】由題意得，設(shè)切點分別為，所以切線方程為別為，，變形為由于兩條切線都這M點，所以過A,B兩點的直線方程為,變形，與拋物線組方程組，消去x得，解得或，選C.4．已知過圓錐曲線上一點的切線方程為.過橢圓上的點作橢圓的切線，則過點且與直線垂直的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】過橢圓上的點的切線的方程為，即，切線的斜率為.與直線垂直的直線的斜率為，過點且與直線垂直的直線方程為，即.5．過圓上一定點的圓的切線方程為.此結(jié)論可推廣到圓錐曲線上.過橢圓上的點作橢圓的切線.則過點且與直線垂直的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】過橢圓上的點的切線的方程為，即，切線的斜率為，與直線垂直的直線的斜率為，過點且與直線垂直的，直線方程為，即.6．關(guān)于橢圓的切線由下列結(jié)論：若是橢圓上的一點，則過點的橢圓的切線方程為.已知橢圓.利用上述結(jié)論，則過橢圓上的點的切線方程為.

【答案】【解析】由題意，將代入橢圓方程，得，所以，所以過橢圓上的點的切線方程為，即.7.已知拋物線C:x2=4y,直線l:x-y-2=0,設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點,當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,則直線AB的方程.

【答案】y=12x0x-y0【解析】聯(lián)立方程得x2=4y,x-由結(jié)論知,P在拋物線外,故切點弦AB