2011年“迎春杯”數(shù)學(xué)解題能力展示復(fù)賽試卷（小高組）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2011年“迎春杯”數(shù)學(xué)解題能力展示復(fù)賽試卷（小高組）一、填空題Ⅰ（每題8分，共40分）1．（8分）定義一種新運(yùn)算a☆b滿足：a☆b＝b×10+a×2，那么2011☆130＝．2．（8分）從1999年到2010年的12年中，物價(jià)漲幅為150%（即1999年用100元能購(gòu)買的物品，2010年要比原來(lái)多花150元才能購(gòu)買）．若某個(gè)企業(yè)的一線員工這12年來(lái)工資都沒(méi)有變，按購(gòu)買力計(jì)算，相當(dāng)于工資下降了%．3．（8分）如圖中大圓的半徑是20厘米，7個(gè)小圓的半徑都是10厘米．那么陰影圖形的面積是平方厘米（π取3.14）．4．（8分）某屆“數(shù)學(xué)解題能力展示”讀者評(píng)選活動(dòng)初試共有12000名學(xué)生參加，分為初中、小學(xué)高年級(jí)、小學(xué)中年級(jí)三個(gè)組別、小學(xué)的兩個(gè)組共占總?cè)藬?shù)的，不是小學(xué)高年級(jí)組的占總?cè)藬?shù)的．那么小學(xué)中年級(jí)組參賽人數(shù)為人．5．（8分）如圖是一個(gè)除法豎式，這個(gè)除法豎式的被除數(shù)是多少？二、填空題Ⅱ（每題10分，共50分）6．（10分）算式1!×3﹣2!×4+3!×5﹣4!×6+…+2009!×2011﹣2010!×2012+2011!的計(jì)算結(jié)果是．7．（10分）春節(jié)臨近．從2011年1月17日（星期一）起工廠里的工人陸續(xù)回家過(guò)年，與家人團(tuán)聚．若每天離廠的工人人數(shù)相同，到1月31日，廠里還剩下工人121名，在這15天期間，統(tǒng)計(jì)工廠工人的工作量是2011個(gè)工作日（一人工作一天為1個(gè)工作日，工人離廠當(dāng)天及以后不需要統(tǒng)計(jì)），其中周六、日休息，且無(wú)人缺勤，那么截止到1月31日，回家過(guò)年的工人共有人．8．（10分）有一個(gè)整數(shù)，它恰好是它的約數(shù)個(gè)數(shù)的2011倍，這個(gè)整數(shù)的最小值是．9．（10分）一個(gè)新建5層樓房的一個(gè)單元每層有東西2套房：各層房號(hào)如圖所示，現(xiàn)已有趙、錢、孫、李、周五家入住，一天他們5人在花園中聊天：趙說(shuō)：“我家是第3個(gè)入住的，第1個(gè)入住的就住我對(duì)門(mén)．”錢說(shuō)：“只有我一家住在最高層．”孫說(shuō)：“我家入住時(shí)，我家的同側(cè)的上一層和下一層都已有人入住了．”李說(shuō)：“我家是五家中最后一個(gè)入住的，我家樓下那一層全空著．”周說(shuō)：“我家住在106號(hào)，104號(hào)空著，108號(hào)也空著．”他們說(shuō)的話全是真話，設(shè)第1、2、3、4、5家入住的房號(hào)的個(gè)位數(shù)依次為A、B、C、D、E，那么五位數(shù)＝．10．（10分）6支足球隊(duì)，每?jī)申?duì)間至多比賽一場(chǎng)如果每隊(duì)恰好比賽了2場(chǎng)，那么符合條件的比賽安排共有種．三、填空題Ⅲ（每題12分，共60分）11．（12分）0～9可以組成兩個(gè)五位數(shù)A和B，如果A+B的和是一個(gè)末五位數(shù)字相同的六位數(shù)，那么A×B的不同取值共有個(gè)．12．（12分）甲乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B往返行走；甲出發(fā)的同時(shí)，丙也從A出發(fā)去B．當(dāng)甲乙兩人第一次迎面相遇在C地時(shí)，丙還有100米才到C；當(dāng)丙走到C時(shí)，甲又往前走了108米；當(dāng)丙到B時(shí)，甲乙正好第二次迎面相遇．那么A、B兩地間的路程是多少米？13．（12分）如圖，大正方形被分成了面積相等的五塊．若AB長(zhǎng)為3.6厘米，則大正方形的面積為平方厘米．14．（12分）用36個(gè)3×2×1的實(shí)心小長(zhǎng)方體拼成一個(gè)6×6×6的大正方體，在各種拼法中，從大正方體外的某一點(diǎn)看過(guò)去最多能看到個(gè)小長(zhǎng)方體．15．（12分）平面中有15個(gè)紅點(diǎn)，在這些紅點(diǎn)間連一些線段，一個(gè)紅點(diǎn)連出了幾條線段，就在這個(gè)紅點(diǎn)上標(biāo)幾．已知所有標(biāo)有相同數(shù)的紅點(diǎn)之間互不連線，那么這15個(gè)紅點(diǎn)間最多連了條線段．

2011年“迎春杯”數(shù)學(xué)解題能力展示復(fù)賽試卷（小高組）參考答案與試題解析一、填空題Ⅰ（每題8分，共40分）1．（8分）定義一種新運(yùn)算a☆b滿足：a☆b＝b×10+a×2，那么2011☆130＝5322．【解答】解：根據(jù)分析可得，2011☆130＝130×10+2011×2＝1300+4022＝5322；故答案為：5322．2．（8分）從1999年到2010年的12年中，物價(jià)漲幅為150%（即1999年用100元能購(gòu)買的物品，2010年要比原來(lái)多花150元才能購(gòu)買）．若某個(gè)企業(yè)的一線員工這12年來(lái)工資都沒(méi)有變，按購(gòu)買力計(jì)算，相當(dāng)于工資下降了60%．【解答】解：100+100×150%＝100+150＝250（元）1﹣100÷250＝1﹣40%＝60%答：按購(gòu)買力計(jì)算，相當(dāng)于工資下降了60%．故答案為：60．3．（8分）如圖中大圓的半徑是20厘米，7個(gè)小圓的半徑都是10厘米．那么陰影圖形的面積是942平方厘米（π取3.14）．【解答】解：觀察圖象可知陰影部分的面積＝7個(gè)小圓面積﹣一個(gè)大圓面積＝7?π?102﹣π?202＝300π＝942，故答案為：942．4．（8分）某屆“數(shù)學(xué)解題能力展示”讀者評(píng)選活動(dòng)初試共有12000名學(xué)生參加，分為初中、小學(xué)高年級(jí)、小學(xué)中年級(jí)三個(gè)組別、小學(xué)的兩個(gè)組共占總?cè)藬?shù)的，不是小學(xué)高年級(jí)組的占總?cè)藬?shù)的．那么小學(xué)中年級(jí)組參賽人數(shù)為5250人．【解答】解：1﹣＝，﹣＝，12000×＝5250（人）；答：小學(xué)中年級(jí)組參賽人數(shù)為5250人．故答案為：5250．5．（8分）如圖是一個(gè)除法豎式，這個(gè)除法豎式的被除數(shù)是多少？【解答】解：由題意，除數(shù)的兩個(gè)倍數(shù)分別是2□□和91□，如果2□□是除數(shù)的2倍，根據(jù)余數(shù)為130，除數(shù)為131以上，149以下，這樣91□只能是除數(shù)的7倍，131×7＝917，那么第三個(gè)被除數(shù)為91□或81□，它等于除數(shù)的某個(gè)倍數(shù)減1，只能是7倍減1，即916，被除數(shù)等于131×277﹣1＝36286，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；如果2□□是除數(shù)的1倍，則91□是除數(shù)的4倍，可能是912或916，除數(shù)可能是228或229，第三個(gè)被除數(shù)為91□或81□，除以除數(shù)之后余數(shù)為130，可能是228×3+130＝814或229×3+130＝817，被除數(shù)相應(yīng)為228×143+130＝32734或229×143+130＝32877，但無(wú)論哪種，第一個(gè)差都是兩位數(shù)，所以不符合題意．綜上所述，被除數(shù)等于36286，除數(shù)為131，商為276．二、填空題Ⅱ（每題10分，共50分）6．（10分）算式1!×3﹣2!×4+3!×5﹣4!×6+…+2009!×2011﹣2010!×2012+2011!的計(jì)算結(jié)果是1．【解答】解：分組找規(guī)律：2009!×2011﹣2010!×2012+2011!＝2009!（2011﹣2010×2012+2010×2011）＝2009!那么2007!×2009﹣2008!×2010+2009!＝2007!（2009﹣2008×2010+2008×2009）＝2007!由奇數(shù)項(xiàng)向前裂變抵消規(guī)律得原式＝2009!×2011﹣2010!×2012+2011!+…+5!×7﹣4!×6+3!×5﹣2!×4+1!×3＝1!＝1故答案為：17．（10分）春節(jié)臨近．從2011年1月17日（星期一）起工廠里的工人陸續(xù)回家過(guò)年，與家人團(tuán)聚．若每天離廠的工人人數(shù)相同，到1月31日，廠里還剩下工人121名，在這15天期間，統(tǒng)計(jì)工廠工人的工作量是2011個(gè)工作日（一人工作一天為1個(gè)工作日，工人離廠當(dāng)天及以后不需要統(tǒng)計(jì)），其中周六、日休息，且無(wú)人缺勤，那么截止到1月31日，回家過(guò)年的工人共有120人．【解答】解：依題意可知：設(shè)每天回家的人數(shù)為x人，則15天共走15x人，其中有2個(gè)周六周日共4天休息不工作．周末剩余人數(shù)為9x（周六），8x（周日），2x（周六），x（周日）．121×11+（3+4+5+6+7+10+11+12+13+14）x＝2011∴x＝8，15x＝120（人）故答案為：1208．（10分）有一個(gè)整數(shù)，它恰好是它的約數(shù)個(gè)數(shù)的2011倍，這個(gè)整數(shù)的最小值是16088．【解答】解：用列舉法因?yàn)?011×8＝16088，所以，滿足條件的最小整數(shù)為16088，故答案為16088．9．（10分）一個(gè)新建5層樓房的一個(gè)單元每層有東西2套房：各層房號(hào)如圖所示，現(xiàn)已有趙、錢、孫、李、周五家入住，一天他們5人在花園中聊天：趙說(shuō)：“我家是第3個(gè)入住的，第1個(gè)入住的就住我對(duì)門(mén)．”錢說(shuō)：“只有我一家住在最高層．”孫說(shuō)：“我家入住時(shí)，我家的同側(cè)的上一層和下一層都已有人入住了．”李說(shuō)：“我家是五家中最后一個(gè)入住的，我家樓下那一層全空著．”周說(shuō)：“我家住在106號(hào)，104號(hào)空著，108號(hào)也空著．”他們說(shuō)的話全是真話，設(shè)第1、2、3、4、5家入住的房號(hào)的個(gè)位數(shù)依次為A、B、C、D、E，那么五位數(shù)＝69573．【解答】解：根據(jù)分析，因?yàn)?04和108都空著，而孫的樓上樓下都有人了，所以孫住在左側(cè)，只有錢一家住在最高層，說(shuō)明剩余4人住在101，102，103，105，106，107，里面的6家，全空著的一層只能是第一層或第二層，這樣才能使得孫和樓上樓下都有人．如果全空著的是第一層，則李住在第二層的103，李氏最后入住的，所以孫住在107，且105和109都在這之前有人住了，趙是第三個(gè)入住的，所以孫一定是第四個(gè)入住的，根據(jù)錢的話，錢住在109，有對(duì)門(mén)的是105和106，周住在106，所以趙住在105，而且周的第一個(gè)入住的，故答案是：69573．10．（10分）6支足球隊(duì)，每?jī)申?duì)間至多比賽一場(chǎng)如果每隊(duì)恰好比賽了2場(chǎng)，那么符合條件的比賽安排共有70種．【解答】解：6支球隊(duì)分2組每組3支，這3支球隊(duì)間相互比賽：分組方法：（6×5×4）÷（3×2×1）÷2＝10（選3支球隊(duì)和剩3支球隊(duì)重復(fù)，所以除2）；6支球隊(duì)圍成圈，相鄰的球隊(duì)之間比賽：方法：5×4×3×2×1÷2＝60（順時(shí)針與逆時(shí)針重復(fù)，所以除2），所以符合條件的比賽安排共有10+60＝70種．答：符合條件的比賽安排共有70種．故答案為：70．三、填空題Ⅲ（每題12分，共60分）11．（12分）0～9可以組成兩個(gè)五位數(shù)A和B，如果A+B的和是一個(gè)末五位數(shù)字相同的六位數(shù)，那么A×B的不同取值共有384個(gè)．【解答】解：依題意可知：六位數(shù)字的首位一定是1，根據(jù)棄九法后5位都是7．所以這兩個(gè)五位數(shù)的首位之和是17．后四個(gè)數(shù)字和為7的數(shù)字兩兩配對(duì)．把和為7的數(shù)字兩兩配對(duì)，首位是9的那個(gè)五位數(shù)有8×6×4×2＝384（種）．根據(jù)不同情況下兩個(gè)五位數(shù)的差不同，差小積大，這384個(gè)乘積也各不相同．故答案為：384．12．（12分）甲乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B往返行走；甲出發(fā)的同時(shí)，丙也從A出發(fā)去B．當(dāng)甲乙兩人第一次迎面相遇在C地時(shí)，丙還有100米才到C；當(dāng)丙走到C時(shí)，甲又往前走了108米；當(dāng)丙到B時(shí)，甲乙正好第二次迎面相遇．那么A、B兩地間的路程是多少米？【解答】解：甲從A走到C時(shí)，丙走了100÷＝1250（米），AC的距離為1250×＝1350（米），甲乙速度之和是丙的速度的3倍，則乙的速度是丙的（3﹣）倍，BC的距離為1250×（3﹣）＝2400（米），所以AB的距離為1350+2400＝3750（米）答：A、B兩地間的路程是3750米．13．（12分）如圖，大正方形被分成了面積相等的五塊．若AB長(zhǎng)為3.6厘米，則大正方形的面積為1156平方厘米．【解答】解：根據(jù)分析，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為一個(gè)單位，如圖，因?yàn)檎叫畏殖擅娣e相等的五份，故每一份的面積都等于，故AG＝，D到FH的距離＝C到EF的距離＝，因?yàn)锳到左邊EG的距離等于A到上邊EF的距離的，所以C到EG的距離也等于C到EF的距離的，即；C到FH的距離為1﹣＝，類似，D到右邊FH的距離為，因?yàn)镃到EF的距離：C到右邊FH的距離＝＝10：21，故D到EF的距離也等于D到FH的距離的，即：×＝，故D到GH的距離＝1﹣＝；又三角形BDH的面積＝，故BH＝＝，AB＝1﹣﹣＝，即3.6厘米，故正方形的邊長(zhǎng)＝3.6÷＝34（厘米），正方形的面積＝34×34＝1156平方厘米．故答案是：1156．14．（12分）用36個(gè)3×2×1的實(shí)心小長(zhǎng)方體拼成一個(gè)6×6×6的大正方體，在各種拼法中，從大正方體外的某一點(diǎn)看過(guò)去最多能看到31個(gè)小長(zhǎng)方體．【解答】解：如圖，