高三數(shù)學：直線與平面的位置關系(全稿)

第6課直線與平面的位置關系一、知識回顧思考：空間直線與平面的位置關系有哪幾種？1．直線與平面的關系位置關系直線在平面內直線和平面相交直線和平面平行公共點無數(shù)個有且只有一個沒有符號表示∥圖形表示我們把直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為線在面外，記作.線在面內公理1：線上兩點在面內，線在面內定義直線與平面沒有公共點線面平行判定定理一線面內，一線面外，線線平行，線面平行性質定理線面平行，過線做面，面面相交，線交平行2．直線與平面定義線垂直于面內任意一條直線判定定理線垂直于面內兩條相交直線，線面垂直垂直性質定理垂直于同一平面的兩直線平行線面相交平行直線（點）到面的距離求解一般用等體積法斜線，射影及其性質斜交直線與平面所成角二、例題分析1．判斷下列說法是否正確eq\o\ac(○,1)如果一條直線不在某個平面內，那么這條直線就與這個平面平行（×）eq\o\ac(○,2)如果一條直線平行于某個平面內無數(shù)條直線，那么這條直線就與這個平面平行（×）eq\o\ac(○,3)如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面內任意一條直線都平行（×）2．下列命題正確的有1個.eq\o\ac(○,1)過平面外一點存在無數(shù)條直線和這個平面垂直；eq\o\ac(○,2)若一條直線和平面內的無數(shù)多條直線垂直，則這條直線和平面垂直；eq\o\ac(○,3)一條直線和平面內兩條相交直線垂直，則這條直線和平面垂直；eq\o\ac(○,4)若一條直線平行于一個平面，則和這條直線垂直的直線必和這個平面垂直；eq\o\ac(○,5)同一平面內的兩條斜線段的射影相等，則這兩條斜線段相等；3．如圖所示，在三棱柱中，點為棱的中點.求證：平面.證明：連結交于，連結，∵四邊形為平行四邊形，∴為中點，∴在中，分別為中點，∴∥又∵平面.4．如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，是圓上不同于的任一點，求證：平面.證明：∵.又∵為圓上一點，∴又∵.三、課堂練習1．若直線異面，，則和的位置關系是平行、相交、線在面內.2．若兩直線在同一平面上的射影記為，若，則的位置關系是平行、異面；若相交，則的位置關系是相交、異面.3．下列命題正確的是eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3).eq\o\ac(○,1)平行于同一個平面的兩條直線平行；eq\o\ac(○,2)過平面外一點有無數(shù)條直線與這個平面平行；eq\o\ac(○,3)過直線外一點可以作無數(shù)個平面與已知直線平行；eq\o\ac(○,4)如果兩條直線與同一平面成等角，那么這兩條直線平行.4．已知，，則下列關于直線的位置關系中成立的有5個.eq\o\ac(○,1)平行；eq\o\ac(○,2)垂直不相交；eq\o\ac(○,3)垂直且相交；eq\o\ac(○,4)相交但不垂直；eq\o\ac(○,5)不垂直且不相交.5．（06年福建卷改編）對于直線和平面，下列命題中的真命題是eq\o\ac(○,3).eq\o\ac(○,1)若，，是異面直線，則；eq\o\ac(○,2)若，，是異面直線，則與相交；eq\o\ac(○,3)若，，共面，則；eq\o\ac(○,4)若，，共面，則.6．（05、08江蘇卷改編）設為兩兩不重合的平面，為兩兩不重合的直線，給出下列五個命題，其中真命題的個數(shù)是3個.eq\o\ac(○,1)若外一條直線與內的一條直線平行，則和平行；eq\o\ac(○,2)若，，則；eq\o\ac(○,3)若，，，，則；eq\o\ac(○,4)若，，則；eq\o\ac(○,5)若，，，，則.7．過三棱柱任意兩條棱的中點作直線，其中與平面平行的直線共有6條.8．在空間四邊形中，分別是上的點，，分別為的中點，則四邊形的形狀是梯形.9．如圖，在正方體中，點在上，點在上，若分別是的中點.求證：平面.證明：連結，連結，∵為中點，∴過點，且為中點.在中，分別為、中點，∴∥又∵平面10．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形.eq\o\ac(○,1)若面；求證：點為的中點；eq\o\ac(○,2)若點為棱的中點，問：是否能在棱上找點，使得面，若存在，證明你的結論，不存在，說明理由.證明：eq\o\ac(○,1)連結交于，連結，∵.又∵點為中點，∴點為的中點.eq\o\ac(○,2)當點為中點時面.連結交于，在中，分別為中點，∴∥又∵∥面同理：∥面又∵∥面.又∵11．如圖，已知矩形所在的平面，分別是、的中點.求證：.證明1：取中點，連結和，證明∥和；證明2：連結、交于點，證明面；證明3：連結、，證明.12．如圖，已知正方形的邊為，∥平面，與均垂直于面，且到平面的距離為，求：eq\o\ac(○,1)與所成的角；eq\o\ac(○,2)與平面所成的角.解：eq\o\ac(○,1)∵與均垂直于面，∴∥，∴異面直線與所成角即相交直線與所成角，