【數(shù)學(xué)導(dǎo)航】2016屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)、解三角形同步練習(xí)文

PAGE1PAGE113【數(shù)學(xué)導(dǎo)航】2016屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)、解三角形同步練習(xí)文第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化．3．理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．弧度記作rad.(2)公式：角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號(hào)Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－口訣Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線1．三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．三角函數(shù)的定義及單位圓的應(yīng)用技巧(1)在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)，|OP|＝r一定是正值．(2)在解簡單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧．1．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)小于90°的角是銳角．()(2)銳角是第一象限角，反之亦然．()(3)三角形的內(nèi)角必是第一、第二象限角．()(4)不相等的角終邊一定不相同．()(5)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．()(6)點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α終邊在第二象限．()(7)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則tanα>α>sinα.()(8)α為第一象限角，則sinα＋cosα>1.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√(7)√(8)√2．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OP交單位圓O于點(diǎn)P，若∠AOP＝θ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)解析：由三角函數(shù)的定義可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(cosθ，sinθ)．答案：A3．若sinα＜0且tanα＞0，則α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：由sinα＜0，知α在第三、第四象限或α終邊在y軸的負(fù)半軸上，由tanα＞0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．答案：C4．若點(diǎn)P在eq\f(2π,3)角的終邊上，且P的坐標(biāo)為(－1，y)，則y等于________．解析：因taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3)＝－y，∴y＝eq\r(3).答案：eq\r(3)5．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是________(填序號(hào))．①2kπ＋45°(k∈Z)；②k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)；③k·360°－315°(k∈Z)；④kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)．解析：∵eq\f(9π,4)＝eq\f(9,4)×180°＝360°＋45°＝720°－315°，∴與eq\f(9π,4)終邊相同的角可表示為k·360°－315°(k∈Z)．答案：③象限角及終邊相同的角eq\x(自主練透型)1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在()A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限解析：當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α為第一象限角．當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α為第三象限角．所以α為第一或第三象限角．故選A．答案：A2．(1)寫出終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合；(2)若角θ的終邊與eq\f(6π,7)角的終邊相同，求在[0,2π)內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角；(3)已知角α為第三象限角，試確定－α、2α的終邊所在的象限．解析：(1)∵在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角是eq\f(π,3)，∴終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z)))).(2)∵θ＝eq\f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(θ,3)＝eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z)．依題意0≤eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)<2π?－eq\f(3,7)≤k<eq\f(18,7)，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)相同的角為eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21).(3)∵π＋2kπ<α<eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴－eq\f(3π,2)－2kπ<－α<－π－2kπ(k∈Z)．∴－α終邊在第二象限．∴2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的終邊在第一、二象限及y軸的非負(fù)半軸．1.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角．2．利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個(gè)角β所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫成[0,2π)范圍內(nèi)的一個(gè)角α與2π的整數(shù)倍的和，然后判斷角α的象限．扇形的弧長及面積公式eq\x(自主練透型)已知一扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長l；(2)已知扇形的周長為10，面積是4，求扇形的圓心角；(3)若扇形周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解析：(1)α＝60°＝eq\f(π,3)rad，∴l(xiāng)＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)．(2)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋Rθ＝10,\f(1,2)θ·R2＝4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝1，,θ＝8))(舍去)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝4，,θ＝\f(1,2).))故扇形圓心角為eq\f(1,2).(3)由已知得，l＋2R＝20.所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以當(dāng)R＝5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l＝10，α＝2.應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．三角函數(shù)的定義eq\x(分層深化型)(1)(2014·全國卷Ⅰ)若tanα>0，則()A．sin2α>0 B．cosα>0C．sinα>0 D．cos2α>0(2)已知角α的終邊上一點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，求cosα，tanα的值．解析：(1)∵tanα＞0，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)是第一、三象限角．∴sinα，cosα都可正、可負(fù)，排除B，C．而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，結(jié)合正、余弦函數(shù)圖象可知，A正確．取α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1＞0，而cos2α＝0，故D不正確．(2)設(shè)P(x，y)．由題設(shè)知x＝－eq\r(3)，y＝m，∴r2＝|OP|2＝(－eq\r(3))2＋m2(O為原點(diǎn))，r＝eq\r(3＋m2)，∴sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5).當(dāng)m＝eq\r(5)時(shí)，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，y＝eq\r(5)，∴cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；當(dāng)m＝－eq\r(5)時(shí)，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，y＝－eq\r(5)，∴cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).答案：(1)A1．已知點(diǎn)P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，則在[0,2π]內(nèi)，α的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(3π,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα－cosα>0，,tanα>0，))α∈[0,2π]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)<α<\f(5π,4)，,0<α<\f(π,2)或π<α<\f(3π,2).))故α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4))).答案：B2．若角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為________．解析：∵r＝eq\r(64m2＋9)，∴cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，∴m>0，eq\f(4m2,64m2＋9)＝eq\f(1,25)，∴m＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)3．若角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解析：設(shè)α終邊上任一點(diǎn)為P(－4a,3a)，當(dāng)a>0時(shí)，r＝5a，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)，當(dāng)a<0時(shí)，r＝－5a，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).4．(2014·全國卷Ⅰ)如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M.將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)在[0，π]的圖象大致為()解析：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OA為x軸的正方向，建立坐標(biāo)系．則P(cosx，sinx)，M(cosx,0)，故M到直線OP的距離為f(x)＝|sinx·cosx|＝eq\f(1,2)|sin2x|，x∈[0，π]，故選C．答案：C用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解；(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題．A級(jí)基礎(chǔ)訓(xùn)練1．集合{α|kπ＋eq\f(π,4)≤α≤kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}中的角的終邊所在的范圍(陰影部分)是()解析：當(dāng)k＝2n時(shí)，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)；當(dāng)k＝2n＋1時(shí)，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2).故選C．答案：C2．將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)解析：將表的分針撥快應(yīng)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，為負(fù)角，故A、B不正確，又因?yàn)閾芸?0分鐘，故應(yīng)轉(zhuǎn)過的角為圓周的eq\f(1,6).即為－eq\f(1,6)×2π＝－eq\f(π,3).答案：C3．已知α是第二象限角，P(x，eq\r(5))為其終邊上一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，則x＝()A．eq\r(3) B．±eq\r(3)C．－eq\r(2) D．－eq\r(3)解析：依題意得cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))＝eq\f(\r(2),4)x<0，由此解得x＝－eq\r(3)，選D．答案：D4．給出下列各函數(shù)值：①sin(－1000°)；②cos(－2200°)；③tan(－10)；④eq\f(sin\f(7π,10)cosπ,tan\f(17π,9)).其中符號(hào)為負(fù)的是()A．① B．②C．③ D．④解析：sin(－1000°)＝sin80°＞0；cos(－2200°)＝cos(－40°)＝cos40°＞0；tan(－10)＝tan(3π－10)＜0；eq\f(sin\f(7π,10)cosπ,tan\f(17π,9))＝eq\f(－sin\f(7π,10),tan\f(17π,9))，sineq\f(7π,10)＞0，taneq\f(17π,9)＜0，∴原式＞0.答案：C5．若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，則角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：由sinαtanα<0可知sinα，tanα異號(hào)，從而α為第二或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)<0可知cosα，tanα異號(hào)，從而α為第三或第四象限角．綜上可知，α為第三象限角．答案：C6．已知扇形的圓心角為eq\f(π,6)，面積為eq\f(π,3)，則扇形的弧長等于________．解析：設(shè)扇形半徑為r，弧長為l，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(l,r)＝\f(π,6),\f(1,2)lr＝\f(π,3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝\f(π,3),r＝2)).答案：eq\f(π,3)7．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\f(4,5)，則cosα＝________.解析：因?yàn)锳點(diǎn)縱坐標(biāo)yA＝eq\f(4,5)，且A點(diǎn)在第二象限，又因?yàn)閳AO為單位圓，所以A點(diǎn)橫坐標(biāo)xA＝－eq\f(3,5)，由三角函數(shù)的定義可得cosα＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)8．設(shè)角α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，則角eq\f(α,2)是第________象限角．解析：由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，知eq\f(α,2)是第二或第四象限角，再由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)知sineq\f(α,2)<0，所以eq\f(α,2)只能是第四象限角．答案：四9．已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ的值．解析：∵θ的終邊過點(diǎn)(x，－1)(x≠0)，∴tanθ＝－eq\f(1,x).又tanθ＝－x，∴x2＝1，即x＝±1.當(dāng)x＝1時(shí)，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2).因此sinθ＋cosθ＝0；當(dāng)x＝－1時(shí)，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝－eq\r(2).故sinθ＋cosθ的值為0或－eq\r(2).10．已知α＝eq\f(π,3).(1)寫出所有與α終邊相同的角；(2)寫出在(－4π，2π)內(nèi)與α終邊相同的角；(3)若角β與α終邊相同，則eq\f(β,2)是第幾象限角？解析：(1)所有與α終邊相同的角可表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(θ＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).(2)由(1)，令－4π＜2kπ＋eq\f(π,3)＜2π(k∈Z)，則有－2－eq\f(1,6)＜k＜1－eq\f(1,6).又∵k∈Z，∴取k＝－2，－1,0.故在(－4π，2π)內(nèi)與α終邊相同的角是－eq\f(11π,3)、－eq\f(5π,3)、eq\f(π,3).(3)由(1)有β＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，則eq\f(β,2)＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)．∴eq\f(β,2)是第一、三象限的角．B級(jí)能力提升1．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值為()A．1 B．－1C．3 D．－3解析：由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限，又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1.答案：B2．滿足cosα≤－eq\f(1,2)的角α的集合為________．解析：作直線x＝－eq\f(1,2)交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連接OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z)))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))))3．已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個(gè)扇形的面積為3，求圓心角的大?。?2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長AB．解析：設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2r＝l，即α＝eq\f(l,r)＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4.∴r＝2，∴弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.4．(1)確定eq\f(tan－3,cos8·tan5)的符號(hào)；(2)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝m(0<m<1)，試判斷式子sinα－cosα的符號(hào)．解析：(1)∵－3,5,8分別是第三、第四、第二象限角，∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，∴原式大于0.(2)若0<α<eq\f(π,2)，則如圖所示，在單位圓中，OM＝cosα，MP＝sinα，∴sinα＋cosα＝MP＋OM>OP＝1.若α＝eq\f(π,2)，則sinα＋cosα＝1.由已知0<m<1，故α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).于是有sinα－cosα>0.第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式1．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα.2．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式．1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).2．六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin_α－sinαsinαcos_αcosα余弦cosα－cosαcos_α－cosαsinα－sin_α正切tanαtanα－tanα－tan_α1．誘導(dǎo)公式記憶口訣對于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”．“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)．”2．三角函數(shù)求值與化簡的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化．(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝….3．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sinα＋cosα、sinα－cosα與sinαcosα的關(guān)系(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，可求其余二式的值．1．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)sin2θ＋cos2φ＝1.()(2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式中角α可以是任意角．()(3)六組誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角．()(4)誘導(dǎo)公式的口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”中的“符號(hào)”與α的大小無關(guān)．()(5)若sin(kπ－α)＝eq\f(1,3)(k∈Z)，則sinα＝eq\f(1,3).()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×2．tan315°的值為()A．eq\r(3) B．－eq\r(3)C．1 D．－1答案：D3．若cosα＝eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則tanα等于()A．－eq\f(\r(2),4) B．eq\f(\r(2),4)C．－2eq\r(2) D．2eq\r(2)答案：C4．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))＝________.解析：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)5.eq\f(sin2π－α·cosπ－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))＝________.解析：原式＝eq\f(sin－α·－cosα,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝eq\f(sinαcosα,－sinαcosα)＝－1.答案：－1利用誘導(dǎo)公式化簡eq\x(自主練透型)1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，則下列不等關(guān)系中必定成立的是()A．sinθ<0，cosθ>0 B．sinθ>0，cosθ<0C．sinθ>0，cosθ>0 D．sinθ<0，cosθ<0解析：sin(θ＋π)<0，∴－sinθ<0，sinθ>0.∵cos(θ－π)>0，∴－cosθ>0.∴cosθ<0.答案：B2．已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是()A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}解析：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2；k為奇數(shù)時(shí)，A＝eq\f(－sinα,sinα)－eq\f(cosα,cosα)＝－2.答案：C3．化簡：eq\f(tanπ＋αcos2π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2))),cos－α－3πsin－3π－α)＝________.解析：原式＝eq\f(tanαcosαsin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))),cos3π＋α[－sin3π＋α])＝eq\f(tanαcosαsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),－cosαsinα)＝eq\f(tanαcosαcosα,－cosαsinα)＝－eq\f(tanαcosα,sinα)＝－eq\f(sinα,cosα)·eq\f(cosα,sinα)＝－1.答案：－1利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的原則遵循誘導(dǎo)公式先行的原則，即先用誘導(dǎo)公式化簡變形，達(dá)到角的統(tǒng)一，再進(jìn)行三角函數(shù)名稱轉(zhuǎn)化，以保證三角函數(shù)名稱最少．利用誘導(dǎo)公式求值eq\x(互動(dòng)講練型)(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝________；(2)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝________.解析：(1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(π,2)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2).(2)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°·sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.答案：(1)eq\f(1,2)(2)11．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))＝________.解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝π，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))＝－taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)2．求值：sin690°·sin150°＋cos930°·cos(－870°)＋tan120°·tan1050°.解析：原式＝sin(720°－30°)·sin(180°－30°)＋cos(1080°－150°)·cos(720°＋150°)＋tan(180°－60°)·tan(1080°－30°)＝－sin30°sin30°＋cos150°cos150°＋tan60°tan30°＝－eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)＋1＝eq\f(3,2).1.誘導(dǎo)公式應(yīng)用的步驟：eq\x(任意負(fù)角的三角函數(shù))→eq\x(任意正角的三角函數(shù))→eq\x(0～2π的角的三角函數(shù))→eq\x(銳角三角函數(shù))注意：誘導(dǎo)公式應(yīng)用時(shí)不要忽略了角的范圍和三角函數(shù)的符號(hào)．2．巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡化解題過程．常見的互余關(guān)系有eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等，常見的互補(bǔ)關(guān)系有eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式eq\x(分層深化型)(1)若tanα＝2，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝()A．eq\f(16,5) B．－eq\f(16,5)C．eq\f(8,5) D．－eq\f(8,5)(2)已知－eq\f(π,2)<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，則sinx－cosx的值為________．解析：(1)eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＋eq\f(1,tan2α＋1)＝eq\f(16,5).(2)由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，即2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).又∵－eq\f(π,2)<x<0，∴sinx<0，cosx>0，sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).答案：(1)A(2)－eq\f(7,5)1．已知tanα＝2，則(1)eq\f(4sinα－2cosα,5sinα＋3cosα)＝________.(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α＝________.解析：(1)法一：∵tanα＝2，∴cosα≠0，∴eq\f(4sinα－2cosα,5sinα＋3cosα)＝eq\f(\f(4sinα,cosα)－\f(2cosα,cosα),\f(5sinα,cosα)＋\f(3cosα,cosα))＝eq\f(4tanα－2,5tanα＋3)＝eq\f(4×2－2,5×2＋3)＝eq\f(6,13).法二：由tanα＝2，得sinα＝2cosα，代入得eq\f(4sinα－2cosα,5sinα＋3cosα)＝eq\f(4×2cosα－2cosα,5×2cosα＋3cosα)＝eq\f(6cosα,13cosα)＝eq\f(6,13).(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α＝eq\f(3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(3tan2α＋3tanα－2,tan2α＋1)＝eq\f(3×22＋3×2－2,22＋1)＝eq\f(16,5).答案：(1)eq\f(6,13)(2)eq\f(16,5)2．(2014·湖北武漢模擬)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)<α<π))，則sinα－cosα＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)，得sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，①將①兩邊平方得1＋2sinα·cosα＝eq\f(2,9)，故2sinαcosα＝－eq\f(7,9).∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))＝eq\f(16,9)，又∵eq\f(π,2)<α<π，∴sinα>0，cosα<0.∴sinα－cosα＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)3．已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則sin2α－sinαcosα＝________.解析：依題意得：eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，∴tanα＝2.∴sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(22－2,22＋1)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)4．(2014·浙江杭州模擬)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin2θ＝eq\f(1,16)，則cosθ－sinθ的值是________．解析：(cosθ－sinθ)2＝1－sin2θ＝eq\f(15,16).∵eq\f(π,4)<θ<eq\f(π,2)，∴cosθ<sinθ.∴cosθ－sinθ＝－eq\r(cosθ－sinθ2)＝－eq\f(\r(15),4).答案：－eq\f(\r(15),4)5．(2014·山西山大附中5月月考)已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，則tanα＝()A．－1 B．－eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(2),2) D．1解析：由sinα－cosα＝eq\r(2)及sin2α＋cos2α＝1，得(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝－1<0，故tanα<0，且2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝－1，解得tanα＝－1(正值舍)．答案：A6．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角．解析：由已知得sinA＝eq\r(2)sinB，eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB兩式平方相加得2cos2A＝1.即cosA＝eq\f(\r(2),2)或cosA＝－eq\f(\r(2),2).(1)當(dāng)cosA＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，cosB＝eq\f(\r(3),2)，又角A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，∴C＝π－(A＋B)＝eq\f(7π,12).(2)當(dāng)cosA＝－eq\f(\r(2),2)時(shí)，cosB＝－eq\f(\r(3),2).又角A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝eq\f(3π,4)，B＝eq\f(5π,6)，不合題意．綜上知，A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7π,12).同角三角函數(shù)關(guān)系式及變形公式的應(yīng)用：(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．(2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．A級(jí)基礎(chǔ)訓(xùn)練1．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋2sineq\f(4π,3)＋3sineq\f(2π,3)等于()A．1 B．eq\f(1,3)C．0 D．－1解析：原式＝－sineq\f(π,3)－2sineq\f(π,3)＋3sineq\f(π,3)＝0.答案：C2．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－φ))＝eq\f(\r(3),2)，且|φ|<eq\f(π,2)，則tanφ＝()A．－eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3) D．eq\r(3)解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－φ))＝sinφ＝eq\f(\r(3),2)，又|φ|<eq\f(π,2)，則cosφ＝eq\f(1,2)，所以tanφ＝eq\r(3).答案：D3．若角α的終邊落在第三象限，則eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))的值為()A．3 B．－3C．1 D．－1解析：由角α的終邊落在第三象限得sinα＜0，cosα＜0，故原式＝eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(2sinα,|sinα|)＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－1－2＝－3.答案：B4．(2014·福建泉州期末)已知tanα＝2，則eq\f(2sin2α＋1,sin2α)＝()A．eq\f(5,3) B．－eq\f(13,4)C．eq\f(13,5) D．eq\f(13,4)解析：因?yàn)閠anα＝2，所以sinα＝2cosα，cosα＝eq\f(1,2)sinα.又因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，所以解得sin2α＝eq\f(4,5).所以eq\f(2sin2α＋1,sin2α)＝eq\f(2sin2α＋1,2sinαcosα)＝eq\f(2sin2α＋1,sin2α)＝eq\f(2×\f(4,5)＋1,\f(4,5))＝eq\f(13,4).故選D．答案：D5．已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2015)的值為()A．－1 B．1C．3 D．－3解析：∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2015)＝asin(2015π＋α)＋bcos(2015π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－(asinα＋bcosβ)＝－3.即f(2015)＝－3.答案：D6．已知eq\f(3sinπ＋α＋cos－α,4sin－α－cos9π＋α)＝2，則tanα＝________.解析：由已知得eq\f(－3sinα＋cosα,－4sinα＋cosα)＝2，則5sinα＝cosα，所以tanα＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)7．已知角α終邊上一點(diǎn)P(－4,3)，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的值為________．解析：∵tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4)，∴eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))＝eq\f(－sinα·sinα,－sinα·cosα)＝tanα＝－eq\f(3,4).答案：－eq\f(3,4)8．(2014·福建福州模擬)已知sin(3π＋θ)＝eq\f(1,3)，則eq\f(cosπ＋θ,cosθ[cosπ－θ－1])＋eq\f(cosθ－2π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cosθ－π－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))的值為________．解析：∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝eq\f(1,3)，∴sinθ＝－eq\f(1,3).∴原式＝eq\f(－cosθ,cosθ－cosθ－1)＋eq\f(cosθ,cosθ·－cosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(cosθ,－cos2θ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝18.答案：189．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＋tan945°.解析：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1＝2.10．已知sinα＝eq\f(2\r(5),5)，求tan(α＋π)＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))的值．解析：∵sinα＝eq\f(2\r(5),5)>0，∴α為第一或第二象限角．tan(α＋π)＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))＝tanα＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα).(1)當(dāng)α是第一象限角時(shí)，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),5)，原式＝eq\f(1,sinαcosα)＝eq\f(5,2).(2)當(dāng)α是第二象限角時(shí)，cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(5),5)，原式＝eq\f(1,sinαcosα)＝－eq\f(5,2).B級(jí)能力提升1．設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，有以下表達(dá)式：(1)sin(A＋B)＋sinC；(2)cos(A＋B)＋cosC；(3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))taneq\f(C,2)；(4)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＋sin2eq\f(C,2).不管△ABC的形狀如何變化，始終是常數(shù)的表達(dá)式有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：(1)sin(A＋B)＋sinC＝sin(π－C)＋sinC＝2sinC，不是常數(shù)；(2)cos(A＋B)＋cosC＝cos(π－C)＋cosC＝－cosC＋cosC＝0，是常數(shù)；(3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))taneq\f(C,2)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))taneq\f(C,2)＝1，是常數(shù)；(4)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＋sin2eq\f(C,2)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＋sin2eq\f(C,2)＝cos2eq\f(C,2)＋sin2eq\f(C,2)＝1，是常數(shù)．故始終是常數(shù)的表達(dá)式有3個(gè)，選C．答案：C2．若tanα＝eq\f(1,m)，α∈(π，2π)，則cosα＝________.解析：由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1,m)和sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝eq\f(m2,1＋m2).當(dāng)m>0時(shí)，α為第三象限角，cosα<0，所以cosα＝－eq\r(\f(m2,1＋m2))＝－eq\f(m\r(1＋m2),1＋m2)；當(dāng)m<0時(shí)，α為第四象限角，cosα>0，所以cosα＝eq\r(\f(m2,1＋m2))＝－eq\f(m\r(1＋m2),1＋m2).故cosα＝－eq\f(m\r(1＋m2),1＋m2).答案：－eq\f(m\r(1＋m2),1＋m2)3．已知sin(3π＋α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，求下列各式的值：(1)eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)；(2)sin2α＋sin2α.解析：由已知得sinα＝2cosα.(1)原式＝eq\f(2cosα－4cosα,5×2cosα＋2cosα)＝－eq\f(1,6).(2)原式＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋sin2α,sin2α＋\f(1,4)sin2α)＝eq\f(8,5).4．已知sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個(gè)根．(1)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))的值；(2)求tan(π－θ)－eq\f(1,tanθ)的值．解析：由題意知原方程根的判別式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝a,sinθcosθ＝a))，(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴a2－2a－1＝0，∴a＝1－eq\r(2)或a＝1＋eq\r(2)(舍去)，∴sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－eq\r(2).(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＝－sinθ－cosθ＝eq\r(2)－1.(2)tan(π－θ)－eq\f(1,tanθ)＝－tanθ－eq\f(1,tanθ)＝－eq\f(sinθ,cosθ)－eq\f(cosθ,sinθ)＝－eq\f(1,sinθcosθ)＝－eq\f(1,1－\r(2))＝eq\r(2)＋1.第三節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1．能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性．2．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值，圖象與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)的單調(diào)性．1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).1．有關(guān)公式的逆用、變形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).2．三角公式內(nèi)在關(guān)系1．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且對任意角α，β都成立．()(4)存在實(shí)數(shù)α，使tan2α＝2tanα.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．若sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，則cosα＝()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)解析：因?yàn)閟ineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，所以cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＝eq\f(1,3).答案：C3．cos33°cos87°＋sin33°cos177°的值為()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：cos33°cos87°＋sin33°cos177°＝cos33°sin3°－sin33°cos3°＝sin(3°－33°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).答案：B4．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.解析：由于α是第三象限角且cosα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＝－eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)－\f(4,5)))＝－eq\f(7\r(2),10).答案：－eq\f(7\r(2),10)5．設(shè)sin2α＝－sinα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則tan2α的值是________．解析：∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－eq\f(1,2)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－2\r(3),1－－\r(3)2)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用eq\x(自主練透型)1．(2014·山東威海二模)在△ABC中，若cosA＝eq\f(4,5)，cosB＝eq\f(5,13)，則cosC＝()A．eq\f(3,65) B．eq\f(36,65)C．eq\f(16,65) D．eq\f(33,65)解析：在△ABC中，0<A<π，0<B<π，cosA＝eq\f(4,5)>0，cosB＝eq\f(5,13)>0，得0<A<eq\f(π,2)，0<B<eq\f(π,2)，從而sinA＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(12,13)，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)－eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(16,65).答案：C2．已知sin(π－α)＝－eq\f(\r(10),10)，則eq\f(2sin2α＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．2解析：∵sin(π－α)＝－eq\f(\r(10),10)，∴sinα＝－eq\f(\r(10),10).∴eq\f(2sin2α＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq\f(2sinαsinα＋cosα,\f(\r(2),2)sinα＋cosα)＝2eq\r(2)sinα＝－eq\f(2\r(5),5).答案：B3．(2014·江蘇卷)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5).(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))的值．解析：(1)因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5).故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝sineq\f(π,4)cosα＋coseq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(\r(10),10).(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\f(\r(5),5)))＝－eq\f(4,5)，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2＝eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))＝coseq\f(5π,6)cos2α＋sineq\f(5π,6)sin2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(4＋3\r(3),10).兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α、β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．三角函數(shù)公式的活用eq\x(互動(dòng)講練型)(1)若α＋β＝eq\f(3π,4)，則(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．(2)化簡：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝________.解析：(1)－1＝taneq\f(3π,4)＝tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，∴tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ.∴1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1－tanα)(1－tanβ)＝2.(2)原式＝eq\f(\f(1,2)4cos4x－4cos2x＋1,2×\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))·cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))＝eq\f(2cos2x－12,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))＝eq\f(cos22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x)))＝eq\f(cos22x,2cos2x)＝eq\f(1,2)cos2x.答案：(1)2(2)eq\f(1,2)cos2x1.eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值為()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(sin70°sin20°,cos310°)＝eq\f(cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).答案：B2．若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，則tan(α－β)等于()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．4 D．12解析：由已知得4tanα－16tanαtanβ＋1－4tanβ＝17，∴tanα－tanβ＝4(1＋tanαtanβ)，∴tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝4.答案：C運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多種變形等．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形應(yīng)用后，才能真正掌握公式的應(yīng)用．角的變換eq\x(分層深化型)(1)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝2，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))的值為________．(2)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，β∈eq\b\lc\(\rc