2024年高考數(shù)學第一輪復習7.2 基本不等式(解析版)

7.2基本不等式思維導圖知識點總結(jié)1.基本不等式(1)如果a，b是正數(shù)，那么eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(當且僅當a＝b時等號成立).我們把不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a，b≥0)稱為基本不等式.(2)當a，b∈R時，ab≤eq\f(a2＋b2,2)(當且僅當a＝b時等號成立)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(當且僅當a＝b時等號成立).2.兩個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.3.利用基本不等式求最值對于正數(shù)a，b，在運用基本不等式時應注意：(1)和a＋b為定值時，積ab有最大值；積ab為定值時，和a＋b有最小值.(2)取等號的條件eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當且僅當a＝b時，\r(ab)＝\f(a＋b,2))).[常用結(jié)論]

1.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2).要根據(jù)兩數(shù)積、兩數(shù)和、兩數(shù)平方和選擇合適的形式.2.在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.典型例題分析考向一利用基本不等式求最值角度1配湊法例1(1)若x＜eq\f(2,3)，則f(x)＝3x＋1＋eq\f(9,3x－2)有()A.最大值0 B.最小值9C.最大值－3 D.最小值－3答案C解析∵x＜eq\f(2,3)，∴3x－2＜0，f(x)＝3x－2＋eq\f(9,3x－2)＋3＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（2－3x）＋\f(9,2－3x)))＋3≤－2eq\r(（2－3x）·\f(9,2－3x))＋3＝－3.當且僅當2－3x＝eq\f(9,2－3x)，即x＝－eq\f(1,3)時取“＝”.(2)已知0＜x＜eq\f(\r(2),2)，則xeq\r(1－2x2)的最大值為________.答案eq\f(\r(2),4)解析∵0＜x＜eq\f(\r(2),2)，∴1－2x2＞0，xeq\r(1－2x2)＝eq\f(\r(2),2)·eq\r(2x2)eq\r(1－2x2)≤eq\f(\r(2),2)·eq\f(2x2＋1－2x2,2)＝eq\f(\r(2),4).當且僅當2x2＝1－2x2，即x＝eq\f(1,2)時等號成立.(3)(2023·天津模擬)函數(shù)y＝eq\f(（x＋5）（x＋2）,x＋1)(x＞－1)的最小值為________.

答案9解析因為x＞－1，則x＋1＞0，所以y＝eq\f([（x＋1）＋4][（x＋1）＋1],x＋1)＝eq\f(（x＋1）2＋5（x＋1）＋4,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(4,x＋1)＋5≥2eq\r(（x＋1）·\f(4,x＋1))＋5＝9，當且僅當x＋1＝eq\f(4,x＋1)，即x＝1時等號成立，所以函數(shù)的最小值為9.角度2常數(shù)代換法例2(1)(2023·石家莊模擬)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，則2x＋4y的最小值為________，eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的最小值為________.答案4eq\f(9,2)解析2x＋4y≥2eq\r(2x＋2y)＝4，當且僅當x＝2y＝1時取等號，所以2x＋4y的最小值是4；因為x＞0，y＞0，所以eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))(x＋2y)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(x,y)))))≥eq\f(9,2)，當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\f(2,3)時取等號，所以eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的最小值是eq\f(9,2).(2)(2022·深圳二模)已知0＜x＜1，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,1－x)的最小值是________.答案9解析由0＜x＜1，得1－x＞0.eq\f(1,x)＋eq\f(4,1－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,1－x)))[x＋(1－x)]＝5＋eq\f(1－x,x)＋eq\f(4x,1－x)≥5＋2eq\r(\f(1－x,x)·\f(4x,1－x))＝9，當且僅當eq\f(1－x,x)＝eq\f(4x,1－x)時取等號，

所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,1－x)的最小值是9.角度3消元法例3(2023·湖南省級示范校檢測)設正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當eq\f(xy,z)取得最大值時，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值為________.答案1解析由x2－3xy＋4y2－z＝0得z＝x2－3xy＋4y2，故eq\f(xy,z)＝eq\f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq\f(1,2\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3)＝1，當且僅當eq\f(x,y)＝eq\f(4y,x)，即x＝2y時，eq\f(xy,z)取得最大值，此時z＝2y2，則eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)＝eq\f(2,y)－eq\f(1,y2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))eq\s\up12(2)＋1≤1，當y＝1時，等號成立，故當eq\f(xy,z)取得最大值時，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值為1.角度4構(gòu)建不等式法例4已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________.答案6解析由已知得xy＝9－(x＋3y)，因為x>0，y>0，所以x＋3y≥2eq\r(3xy)，所以3xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3y,2)))eq\s\up12(2)，所以eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3y,2)))eq\s\up12(2)≥9－(x＋3y)，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，則x＋3y≤－18(舍去)或x＋3y≥6(當且僅當x＝3y，即x＝3，y＝1時取等號)，故x＋3y的最小值為6.

感悟提升1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.2.常數(shù)代換法，主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的問題，先將eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.3.當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.構(gòu)建目標式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標式的不等式求解.考向二利用基本不等式求參數(shù)或范圍例5(1)(2022·威海期末)關(guān)于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，則實數(shù)a的取值范圍為________.答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，＋∞))解析不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，即對于?x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立，即a≥eq\f(|x|,x2＋2).當x＝0時，a≥0；當x≠0時，a≥eq\f(|x|,x2＋2)＝eq\f(1,|x|＋\f(2,|x|))，因為eq\f(1,|x|＋\f(2,|x|))≤eq\f(1,2\r(|x|·\f(2,|x|)))＝eq\f(\r(2),4)，當且僅當|x|＝eq\r(2)時取“＝”，所以a≥eq\f(\r(2),4).綜上所述a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，＋∞)).(2)已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為________.

答案4解析已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，只需求(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))的最小值大于或等于9，∵(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋2eq\r(a)＋1＝(eq\r(a)＋1)2，當且僅當y＝eq\r(a)x時，等號成立，∴(eq\r(a)＋1)2≥9，∴a≥4，即正實數(shù)a的最小值為4.感悟提升1.對于不等式恒成立問題可利用分離參數(shù)法，把問題轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值；2.利用基本不等式確定等號成立的條件，也可得到參數(shù)的值或范圍.考向三利用基本不等式解決實際問題例6為了美化校園環(huán)境，園藝師在花園中規(guī)劃出一個平行四邊形，建成一個小花圃，如圖，計劃以相距6米的M，N兩點為?AMBN一組相對的頂點，當?AMBN的周長恒為20米時，小花圃占地面積(單位：平方米)最大為()A.6 B.12C.18 D.24答案D解析設AM＝x，AN＝y(tǒng)，則由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cosA＝eq\f(x2＋y2－62,2xy)＝eq\f(（x＋y）2－36,2xy)－1＝eq\f(32,xy)－1≥eq\f(32,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))\s\up12(2))－1＝eq\f(32,25)－1＝eq\f(7,25)，當且僅當x＝y(tǒng)＝5時等號成立，此時(cosA)min＝eq\f(7,25)，

所以(sinA)max＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,25)))\s\up12(2))＝eq\f(24,25)，所以四邊形AMBN的最大面積為2×eq\f(1,2)×5×5×eq\f(24,25)＝24(平方米)，此時四邊形AMBN是邊長為5米的菱形.感悟提升利用基本不等式解決實際應用問題的思路(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.訓練3某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝________噸.答案20解析該公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買eq\f(400,x)次，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，一年的總運費與總存儲費用之和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(400,x)·4＋4x))萬元，eq\f(400,x)·4＋4x≥160，當且僅當eq\f(1600,x)＝4x，即x＝20噸時，一年的總運費與總存儲費用之和最小.考向四重要不等式鏈若a＞0，b＞0，則eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2)).其中eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))和eq\r(\f(a2＋b2,2))分別叫做a，b的調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù).要根據(jù)題目需要選擇合適的形式.一、利用不等式鏈求最值例1(多選)設正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則()A.eq\r(ab)有最大值eq\f(1,2) B.eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(1,2a＋b)有最小值3C.a2＋b2有最小值eq\f(1,2) D.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)

答案ACD解析對于A，由基本不等式可得eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)＝eq\f(1,2)，當且僅當a＝b＝eq\f(1,2)時，等號成立，A正確；對于B，由eq\f(2,\f(1,a＋2b)＋\f(1,2a＋b))≤eq\f(（a＋2b）＋（2a＋b）,2)＝eq\f(3（a＋b）,2)＝eq\f(3,2)，得eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(1,2a＋b)≥eq\f(4,3)，當且僅當a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝eq\f(1,2)時等號成立，B錯誤；對于C，由eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)＝eq\f(1,2)，得a2＋b2≥eq\f(1,2)，當且僅當a＝b＝eq\f(1,2)時等號成立，C正確；對于D，由eq\f(\r(a)＋\r(b),2)≤eq\r(\f(a＋b,2))＝eq\r(\f(1,2))，得eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，當且僅當a＝b＝eq\f(1,2)時等號成立，D正確.二、利用基本不等式鏈證明不等式例2已知a，b，c都是非負實數(shù)，求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c).證明∵eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2).即eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，同理，eq\r(b2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(b＋c)，eq\r(c2＋a2)≥eq\f(\r(2),2)(c＋a)，相加可得eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)＋eq\f(\r(2),2)(b＋c)＋eq\f(\r(2),2)(c＋a)＝eq\r(2)(a＋b＋c)，當且僅當a＝b＝c時等號成立.訓練當－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(5,2)時，函數(shù)y＝eq\r(2x－1)＋eq\r(5－2x)的最大值為________.答案2eq\r(2)解析由eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，得a＋b≤2eq\r(\f(a2＋b2,2))，則y＝eq\r(2x－1)＋eq\r(5－2x)≤2eq\r(\f(2x－1＋5－2x,2))＝2eq\r(2)，當且僅當eq\r(2x－1)＝eq\r(5－2x)，即x＝eq\f(3,2)時等號成立.

基礎(chǔ)題型訓練一、單選題1．已知正數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用基本不等式可得，然后解不等式即可.【詳解】，，均為正數(shù)，，當且僅當，即時取等號，且，所以，的最大值為.故選：B【點睛】本題考查了基本不等式的應用，注意在利用基本不等式時，需驗證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.2．已知，，則的最小值是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由可知，，當且僅當，即時等號成立，又，當且僅當，即，，所以時等號成立．考點：均值定理

3．設，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)得0＞a＞b，取特殊值可判斷ABC，根據(jù)基本不等式即可判斷D.【詳解】∵，∴0＞a＞b，取a＝－1，b＝－2，則，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；∵，∴，∵a≠b，所以等號取不到，故，故D正確.故選：D.4．若a＞1，則的最小值是（

）A．2 B．a(chǎn)C． D．3【答案】D【分析】原式可化為形式且a＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等號成立為a＝2【詳解】由a＞1，有a－1＞0∴，當且僅當，即a＝2時取等號.故選：D【點睛】本題考查了基本不等式的應用，使用時注意“一正二定三相等”的條件，屬于簡單題5．已知，且，若有解，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【答案】A

【分析】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以結(jié)合基本不等式求出的最小值，再解關(guān)于的不等式即可【詳解】因為，且，所以，當且僅當，即時取等號，此時的最小值為9，因為有解，所以，即，解得或，故選：A6．已知，全集為R，集合，，，則有（）A．（） B．（）C． D．【答案】A【分析】首先分析得出，根據(jù)集合的運算，即可求解.【詳解】由題意，因為，結(jié)合實數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式，可得，可得或，所以，即故選A.【點睛】本題主要考查了集合的運算，以及基本不等式的應用，其中解答中結(jié)合實數(shù)的性質(zhì)和基本不等式求得是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題7．在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有（）A． B．C． D．

【答案】AD【分析】選項A先由基本不等式可得，再判斷當x＝1或時，等號成立，最后判斷選項A正確；選項B先由基本不等式可得，再判斷當時，等號成立，但，最后判斷選項B不正確；選項C先由基本不等式可得，再判斷當時，等號成立，顯然不可能取到，最后判斷選項C不正確；選項D先由基本不等式可得，再判斷當x＝log32時，等號成立，最后判斷選項D正確．【詳解】對于選項A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得，當且僅當，即x＝1或時，等號成立，故選項A正確；對于選項B：∵，∴0＜＜1，由基本不等式可得，當且僅當，即時，等號成立，但是取不到1，所以等號不能成立，故選項B不正確；對于選項C：由基本不等式可得，當且僅當，即時，等號成立，顯然不可能取到，故選項C不正確；對于選項D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得，當且僅當，即x＝log32時，等號成立，故選項D正確．故選：AD．【點睛】本題考查基本不等式，是基礎(chǔ)題.8．，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題干條件，得到，選項A中與1的大小不確定，不能判斷；選項B是基本不等式；選項C是作差法比大??；選項D可以舉反例證明不正確即可【詳解】解：因為，∴，；選項A中，與1無法知大小關(guān)系，所以不能判斷，選項A錯誤；

選項B中，根據(jù)基本不等式得：（無法取等），選項B正確；選項C中，，∴，選項C正確；選項D中，取，，，選項D錯，故選：BC．三、填空題9．已知正數(shù)a、b滿足a+b=1，則a·b的最大值為_____．【答案】【詳解】故答案為：10．已知x＜0，則的最大值等于________．【答案】【詳解】試題分析：，當且僅當時等號成立，取得最小值考點：均值不等式求最值11．已知a>0，b>0，且a+2b=2，則的最小值為______【答案】【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合代數(shù)式的恒等變形進行求解即可.【詳解】因為a>0，b>0，且a+2b=2，所以有：，當且僅當時取等號，即時取等號，故答案為：12．設、是不等于的正數(shù)，則的取值范圍是____________.【答案】【分析】由題意得出，利用換底公式得到，可得出，再分

和，利用基本不等式可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】、是不等于的正數(shù)，或.由換底公式得，.①當時，由基本不等式得，當且僅當時，即當時，等號成立；②當時，由基本不等式得，當且僅當時，即當時，等號成立.因此，的取值范圍是，故答案為.【點睛】本題考查利用基本不等式求取值范圍，同時也考查了對數(shù)換底公式的應用，在利用基本不等式求解最值時，要注意條件“一正、二定、三相等”條件的成立，當所考查的變量為負數(shù)時，可適當?shù)靥碡撎栕優(yōu)檎龜?shù)進行計算，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.四、解答題13．設，求函數(shù)的最大值.【答案】4【分析】根據(jù)題意,設,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得當時,有最大值16,進而分析可得的最大值,即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,設則,分析可得當時,有最大值16,則此時有最大值;故函數(shù)的最大值為4.

【點睛】本題考查函數(shù)最值的計算,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思路,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值.14．（1）當且時，求函數(shù)的最小值.（2）當時，求函數(shù)的最大值.【答案】(1);(2)【分析】(1)利用“1”的妙用和基本不等式求解；(2)利用基本不等式求解.【詳解】(1),當且僅當即即時取得等號.所以的最小值為.(2),因為，所以，所以，所以，所以，即，當且僅當，解得時取得等號，所以函數(shù)的最大值為.15．（1）若，求的最小值；（2）若，，，比較、的大小.【答案】（1）最小值為12；（2）.

【解析】（1）設，，然后利用基本不等式可求出答案；（2）利用作差法比較出的大小即可.【詳解】（1）設，則，所以，當，即時取等號，所以的最小值為12.（2）因為，所以所以，由題意可知，，所以16．定義:記為這個實數(shù)中的最小值，記為這個實數(shù)中的最大值，例如:.（1）求證:；（2）已知，求的最小值；（3）若，求的最小值.【答案】（1）見解析（2）1（3）2【分析】（1）作差比較的大小，再根據(jù)定義得結(jié)果；（2）根據(jù)定義化簡為一個分段函數(shù)，再分別求各段最小值，即得的最小值；（3）先根據(jù)基本不等式得【詳解】（1）因此；（2）

當時，當時，所以，的最小值為1；（3）（當且僅當時取等號）因此當，即時（當且僅當時取等號）當或，即或時，不妨設綜上，的最小值為2.【點睛】本題考查函數(shù)定義、函數(shù)最值以及利用基本不等式求最值，考查綜合分析論證與求解能力，屬較難題.提升題型訓練_一、單選題1．若命題“對任意的，恒成立”為假命題，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)原命題為真可得，即可得出命題為假命題時m的取值范圍．【詳解】當原命題為真時，恒成立，即，由命題為假命題，則．故選：A.2．若點在線段上運動，且，，設，則A．有最大值2 B．有最小值1 C．有最大值1 D．沒有最大值和最小值【答案】C【分析】由在線段上運動，可得滿足，根據(jù)基本不等式計算最值即可得到

的最值.【詳解】由已知點在線段上運動，且，即點滿足，∴，當且僅當時，即時，等號成立，所以有最大值.故選：C．3．若，則的最小值為A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【詳解】分析：利用對數(shù)運算法則，得，從而有，再利用基本不等式得，化簡可得，從而得所求最小值．詳解：∵，∴，∴，∵，∴，，當且僅當時取等號．故選C．點睛：在用基本不等式求最值時，要注意其三個條件缺一不可，一正，二定，三相等，在求最值時，如果幾次用到不等式進行放縮，那么一定要探索每個不等號中等號成立的條件是否是同一個，否則最后的等號不能取到．4．若，，則“”是“”的（

）.A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，討論“”和“”的推出關(guān)系即可．【詳解】依題意，對于正數(shù)，，當時，，故充分性成立，若無法推出，如當，時，而，

故必要性不成立．所以“”是“”的充分不必要條件.故選．【點睛】本題考查了充分性和必要性的判斷，考查了基本不等式的應用，屬于基礎(chǔ)題．5．已知，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】化簡為，利用均值不等式求解即可.【詳解】因為，所以，，而，由均值不等式，得：，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為3，故選：C【點睛】本題主要考查了均值不等式的應用，分式的變形化簡，屬于中檔題.6．已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由條件可得，則，由均值不等式可得答案.【詳解】由，，，可得當且僅當,即時取等號.故選：A

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方二、多選題7．下列說法中正確的是（

）A．不等式恒成立 B．當時，的最小值是2C．設，，且，則的最小值是 D．，使得不等式成立【答案】CD【分析】結(jié)合基本不等式的知識對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】當時，不等式不成立，所以A錯誤.，但無解，所以等號不成立.所以B錯誤.，當且僅當時等號成立.所以C正確.當時，，所以D正確.故選：CD8．已知，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C．的最小值為 D．【答案】ABCD

【分析】利用基本不等式逐一計算判斷即可.【詳解】對于A：，，即，則，當且僅當時，等號成立，A正確；對于B：，當且僅當，即時等號成立，又，即，成立，B正確；對于C：，當且僅當，即時等號成立，C正確；對于D：，當且僅當時，等號成立，D正確；故選：ABCD．三、填空題9．已知，比較兩數(shù)的大?。篲_____9．【答案】【分析】利用基本不等式進行求解判斷即可.【詳解】因為，所以，當且僅當時取等號，即時取等號，故答案為：10．某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當年的物價，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元．根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費用N（單位：萬元）與隔熱層的厚度h（單