2021年上海市虹口區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版）

2021年上海市虹口區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

—>填空題（（1?6題每小題4分，7?12題每小題4分）

1.已知集合A={y|y=l（X,xER},B={y\y=jfi,1WXW2},則AG3=

ir*83n+l

3.在（x+工）6的二項展開式中，常數(shù)項為.

X

4.某班級要從4名男生和3名女生中選取3名同學(xué)參加志愿者活動，則選出的3人中既有

男生又要有女生的概率等于.

5.給出下列命題：

①若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；

②若兩個不同的平面垂直于一條直線，則這兩個平面互相平行；

③若一條直線平行于一個平面，另一條直線與這個平面垂直，則這兩條直線互相垂直.

其中所有正確命題的序號為.

6.已知P為拋物線C：y2=2px（p>0）上一點，點尸到拋物線C的焦點的距離為7,到y(tǒng)

軸的距離為5,則夕=.

7.若sin0=Z:cos6,則sinSecosO的值等于.（用k表示）

8.設(shè)函數(shù)/（X）的定義域為。.若對于。內(nèi)的任意X"X2（鶯工及），都有（X2-XI）[/■（JC2）

-/（X.）]>0,則稱函數(shù)/'（X）為“Z函數(shù)”.有下列函數(shù)：ay（X）=1;②f（X）=-

2x+l；?f（x）=》3；?f（x）=lgx.其中“Z函數(shù)”的序號是（寫出所有的正

確序號）

9.已知直三棱柱的各棱長都相等，體積等于181帆3）.若該三棱柱的所有頂點都在球O

的表面上，則球。的體積等于（加3）.

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義A（XI,?）,8（X2,沖）兩點的折線距離"（4,B）

=卜|-刈+6-y2\.設(shè)點尸（府,〃2）,Q（相，〃），。（0,0）,c（2,0）,若d（P,

。）=1,則d（Q,C）的取值范圍.

'x-y+240

11.已知MN為圓x2+y=i的一條直徑，點p（x,的坐標(biāo)滿足不等式組<3x+y+10>0,

《2

則百it?由的取值范圍是-

12.在數(shù)列中，對任意〃CN*,an=k,當(dāng)且僅當(dāng)2?<〃V23,46N,若滿足

。,"+〃2,"+"4,"+"8”,+。16”,252,則m的最小值為.

二、選擇題（共4小題）.

2

13.雙曲線萬2-二=1的兩條漸近線的夾角的大小等于（）

3

14.已知函數(shù)/（x）=2sin（2x+（p）,則“3=彳”是"于（%）為偶函數(shù)”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

15.復(fù)數(shù)Z滿足|z|=l,且使得關(guān)于X的方程A2+W?X+Z=0有實根，則這樣的復(fù)數(shù)Z的個數(shù)為

（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

7TJT

16.在平面上，已知定點4（&,0）,動點尸（sina,cosa）.當(dāng)a在區(qū)間[-二】，——]

44

上變化時，動線段AP所形成圖形的面積為（）

L兀L兀兀TT

A.近FB.V3-C.工D.—

三、解答題（本大題滿分76分）

17.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AC=2弧,8A=BC=2,。是線段AC的中點，

M是線段BC的中點.

（1）求證：POmABC-.

（2）求直線PM與平面PBO所成的角的大小.

18.設(shè)a>0且aWl,76R,已知函數(shù)/(x)=log?(x+1),g(x)=21oga(2x+t).

(1)當(dāng)，=-1時，求不等式/(x)Wg(x)的解；

(2)若函數(shù)尸(x)=，*>+*-2什1在區(qū)間(-1,2］上有零點，求f的取值范圍.

TTJT

19.如圖某公園有一塊直角三角形ABC的空地，其中ZABC=—,AC長a

2o

千米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域。EF建文化景觀區(qū)，其中。、E、尸分別在

BC、AC、AB±.設(shè)NOEC=e.

TT

(1)若。=虧，求△OEF的邊長；

0

2

20.(16分)已知橢圓C的方程為—+)2=1.

2

(1)設(shè)M(物，yM)是橢圓C上的點，證明：直線考■+)，“),=1與橢圓C有且只有一

個公共點；

(2)過點N(1,衣)作兩條與橢圓只有一個公共點的直線，公共點分別記為A、B,

點N在直線AB上的射影為點°,求點。的坐標(biāo)；

(3)互相垂直的兩條直線人與/2相交于點P，且從b都與橢圓C只有一個公共點，求

點P的軌跡方程.

21.(18分)若數(shù)列｛a,｝滿足“對任意正整數(shù)i,j,i^j,都存在正整數(shù)k,使得以?娟'，

則稱數(shù)列｛斯｝具有“性質(zhì)P”.

(1)判斷各項均等于a的常數(shù)列是否具有“性質(zhì)P”，并說明理由；

(2)若公比為2的無窮等比數(shù)列｛a,,｝具有“性質(zhì)P”，求首項m的值；

(3)若首項G=2的無窮等差數(shù)列｛a,,｝具有“性質(zhì)P”，求公差d的值.

參考答案

一、填空題（1?6題每小題4分，7?12題每小題4分）

1.已知集合A={My=10',x€R},8={y|y=x2,1WXW2),則AD8=11,41.

解：?.?A={y|y>0},8={y|lW)，W4},

."08=口，4J.

故答案為：[1,4].

3n-l

2.lim

n-><x>3+1

..3n-l..3n+l-2

)=1-0=1,

解:lim——=lim------二1-lim

n—83n+l

n->-co3+1n—83+1

故答案為：1.

3.在（x+上）6的二項展開式中，常數(shù)項為20.

X

2r

解：（x+工）6的展開式的通項公式為Tr+l=Cfi-y--,

令6-2r=0,求得r=3,...展開式中的常數(shù)項等于C?=20,

故答案為：20.

4.某班級要從4名男生和3名女生中選取3名同學(xué)參加志愿者活動，則選出的3人中既有

男生又要有女生的概率等于4.

解：某班級要從4名男生和3名女生中選取3名同學(xué)參加志愿者活動，

基本事件總數(shù)"=C,=35,

選出的3人中既有男生又要有女生包含的基本事件個數(shù)〃?=C,-C：-Cg=30,

則選出的3人中既有男生又要有女生的概率：

m306

「n七=而=彳

故答案為：y.

5.給出下列命題：

①若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行;

②若兩個不同的平面垂直于一條直線，則這兩個平面互相平行；

③若一條直線平行于一個平面，另一條直線與這個平面垂直，則這兩條直線互相垂直.

其中所有正確命題的序號為②③.

解：對于①，若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線有三種位置關(guān)系：平

行、相交或異面，故①錯誤；

對于②，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，若兩個不同的平面垂直于一條直線，則這兩個平面

互相平行，故②正確；

對于③，若一條直線平行于一個平面，則與該平面垂直的直線與該直線垂直，故③正確.

...其中所有正確命題的序號為②③.

故答案為：②③.

6.已知尸為拋物線C：）Q=2px（p>0）上一點，點P到拋物線C的焦點的距離為7,到y(tǒng)

軸的距離為5,則〃=4.

解：已知尸（x,y）為拋物線C：y=2px（p>0）上一點，點尸到拋物線C的焦點的距

離為7,到），軸的距離為5,

所以：x+]"=7，

整理得5+步7，

解得：p=4.

故答案為：4.

k

7.若sin6=Zcos8,則sin6?cos6的值等于-o.（用女表示）

一1+1一

…，-sin8*cos9

解：由sine=kcos8,得sine?cosO=n~~o_

sir/B+cosz6

=kcos28_k

k2cos28+cos20k2+1

k

故答案為：-2?

k^+1

8.設(shè)函數(shù)/（x）的定義域為若對于。內(nèi)的任意為，X2（X|WX2），都有（龍271），（及）

-/（XI）]>o,則稱函數(shù)/co為“z函數(shù)”.有下列函數(shù)：ay（%）=1；②r（%）=-

2工+1；@f（x）=與；（4/（X）=lgx.其中“Z函數(shù)”的序號是③④（寫出所有的正

確序號）

解：由題意，不妨設(shè)汨<12，所以及-加>0

因為（X2-X1）［f（X2）-f（XI）］>0,

所以f（X2）-f（X1）>0,即/（Xl）<f（X2）,

所以/（X）為增函數(shù)，即增函數(shù)為“Z函數(shù)”

對于①，f（X）=1為常量函數(shù)，對任意及，都有（X2-X1）［/,（X2）-/（XI）］=0,

故①不是“Z函數(shù)”；

對于②，/（X）=-2X+1是R上的減函數(shù)，不符合題意，故②不是“Z函數(shù)”；

對于③，f（X）=尤3是R上的增函數(shù)，符合題意，故③是“Z函數(shù)”；

對于④，/（x）=/gx是定義域（0,+8）上的增函數(shù)，符合題意，故④是“Z函數(shù)”.

故答案為：③④.

9.已知直三棱柱的各棱長都相等，體積等于18（四3）.若該三棱柱的所有頂點都在球。

的表面上，則球。的體積等于空，-穴（加3）.

-3-

解：如圖，?.?三棱柱ABC-Ai&G是直三棱柱，且所有棱長都相等，

該三棱柱的頂點都在球O的表面上，且三棱柱的體積為18,

設(shè)三棱柱的棱長為4,則■^XaX“Xsin60°Xa=18,

解得〃=2百，分別設(shè)上下底面中心為。I,。2,則OiQ的中點。即為三棱柱外接球的

球心，

o2人芻/（2依）2-（7§）2=2>

22

???球的半徑R=^02A+002=V4+3=V?.

則球O的體積等于告HX（V?）3產(chǎn)產(chǎn)冗.

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義4G1,y）,3（及，”）兩點的折線距離d（A,B）

=|Jti-x2\+\yi-y2\.設(shè)點尸（加，”2）,Q（相，〃），。（o,0）,C（2,0）,若d（P,

。)=1,則d(Q,C)的取值范圍［1,2+、歷］.

解：由題意可知，dCP,0)=標(biāo)+沼=1,dCQ,C)=\m-2|+|n|,

即點(相，〃)在以原點為圓心，半徑為1的圓上，則有〃?-2<0,

當(dāng)7i20時,d(Q,C)=\m-2\+\n\=2-m+n,

d(Q,C)-2為直線y=x+d(Q,C)-2與半圓N+)z=i(y2o)有公共點時的縱截

距，

當(dāng)直線與半圓相切時，d(。，C)-2取得最大值，此時,〃=-返，〃=返，

22

即d(Q,C)m”=2-(-喙)+乎=2班.

當(dāng)根=1,〃=0時，d(Q,C)-2取得最小值，此時d(Q,C)“”“=2-1+0=1,

當(dāng)〃W0時，d(Q,C)=\m-2\+\n\=2-m-n,

2-d(Q,C)為直線y=-x-4(。，C)+2與半圓/+y2=i(yW0)有公共點時的縱截

距，

當(dāng)直線與半圓相切時，2-d(Q,C)取得最小值，此時/?=〃=-乎，

BP(1(Q,C)max—2-(-N

當(dāng)機=1,〃=0時，2-d(Q,C)取得最大值，此時d(。，C)???=2-1-0=1,

故d(Q,C)的取值范圍為［1,2+V2.

x-y+2<0

11.已知MN為圓N+)2=l的一條直徑，點、P(x,>?)的坐標(biāo)滿足不等式組<3x+y+10>0,

y<2

則可if,由的取值范圍是“，19］.

x-y+240

解：由不等式組<3xq+10>0作出可行域如圖,

《2

O(0,0),M(x,y),0M=-0N,

?,-PM-PN=<0^-0?)*^ON-OP)=而2_]=/+產(chǎn)-i,

...當(dāng)x=-4,y=2時，pjj?樂取最大值19,

當(dāng)x=-1,y=l時，而?五J取最小值為1.

，百J,由的取值范圍是[1，19].

故答案為：[1,19].

12.在數(shù)列｛m｝中，對任意〃CN*,a”=k,當(dāng)且僅當(dāng)2k^n<2k+',/WN，若滿足

am+azm+aAm+aim+a^m^52,則m的最小值為512.

解：不妨設(shè)2ym<25,k€N*,，"€N*,

由題意可得，am—k,

因為2k+i^2m<2k+2,

所以42”,=4+1,

同理可得，a4,n=k+2,函”=&+3,a\f,m=k+A,???

所以a,"+a2,"+a4,"+a8",+ai6m=A+(^+1)+(A+2)+(k+3)+(A+4)—5k+10,

因為4,"+。2,"+"4,"+48,"+0&"N52，

所以5A+I0N52,

解得kA^"，又Z6N*，

所以k的最小值整數(shù)解為9,

故加的最小值為29=512.

故答案為：512.

二、選擇題(每小題5分，滿分20分)

2

13.雙曲線萬2-匚=1的兩條漸近線的夾角的大小等于()

3

71K2兀5兀

A.-B.-T-C."--D.---

6336

2

解：雙曲線N-=-=1的兩條漸近線的方程為y=±J§r,

由直線>=小的斜率為可得傾斜角為等，

O

y=-的斜率為-弧,可得傾斜角為等，

jr

所以兩條漸近線的夾角的大小為今.

故選：B.

TT

14.已知函數(shù)/(x)=2sin⑵+(p),則“(p=彳”是7(%)為偶函數(shù)”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必耍條件

解：①當(dāng)-時＜f(x)=2sin(2JVI)=2cos2%,

(-x)=2cos(-2x)=2cos2x=/(x),(x)為偶函數(shù),

jr

②當(dāng)/(x)為偶函數(shù)時，(p=-^TZTl,k￡Z，

綜上所述，(p=5是/(尤)為偶函數(shù)的充分不必要條件.

故選：A.

15.復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,且使得關(guān)于x的方程N+1?x+z=0有實根，則這樣的復(fù)數(shù)z的個數(shù)為

()

A.1個B.2個C.3個D.4個

解：設(shè)z=a+bi(a,hER),

由|z|=l,得屏+分=1,

x2+z*x+z=O,EPx2+(a-bi)x+a+bi=O,

即/+依+。+(b-bx)i=0,

f0

?

?.、x+ax+a=O，

Lb-bx=O

若b=0,則o=l或a=-l,

檢驗得，a=\時，犬無實數(shù)根(舍)，

當(dāng)a=-1時，x=~~2^~fz=-1；

當(dāng)b#0時，得x=1,a—~b—±5z=±i,

乙乙乙乙

復(fù)數(shù)z的個數(shù)為3個.

故選：C.

T—7T7T

16.在平面上，已知定點A0)，動點尸(sina,cosa).當(dāng)a在區(qū)間［-7-,

上變化時，動線段AP所形成圖形的面積為()

l兀lTT7T7T

A-近FB-V3—C.刀D.—

解：由sin2(x+cos2a=1,所以動點P(sina,cosa)在單位圓上，

現(xiàn)在關(guān)鍵是求點P運動的圓周范圍;

士,冗、/兀、

由sina=cos(---a),cosa=sin--a),

22

\IjI11

所以P(cos(--a),sin(--a))是其與x軸正方向的有向角為可-a；

JITTTTQJI

當(dāng)a在區(qū)間一］上變化時，P在角度為:到七一對應(yīng)的一段圓弧；

4444

K_

a=丁時點P對應(yīng)的位置是C,如圖所示:

4

所以動線段AP所形成圖形的面積為陰影部分圖形的面積,

又△08C與△ABC是同底等高的三角形，

所以陰影部分的面積為：

___1n

SB1彭=S^?BPc+S^BC—S

44

故選：D.

三、解答題(本大題滿分76分)

17.在三棱錐P-43c中，PA=PB=PC=AC=2-/2,BA=BC=2,。是線段AC的中點,

M是線段BC的中點.

(1)求證：PO_L平面ABC；

(2)求直線PM與平面PB。所成的角的大小.

p

B

【解答】證明：（1）BA=BC=2,AC=2近,

由于BA2+BC1=AC2,

IT

所以/杷，=藥，

所以80_LAC,且80=2,

由于△PAC為等邊三角形，

所以P0_LAC,尸。=返，又PB=2&,

所以PB2=PO2+BO2,

K

所以NP0B=^y，

故POLBO,

故P0_L平面ABC.

解：（2）過點M作MN1B0交8。于N,

連接PN,

得到MNLP0,由于MN_LB0,

所以MN_L平面ABC,

故NMPN為直線PM與平面PBO的夾角,

由(1)知：BOLAC,

從而點N為線段80的中點，

所以A/^=yOC=-1-AC=^y-'

PM==VPC2-MC2=V7,

故sinZMPN=^-=^-

PM14

故直線PM與平面P8。所成的角的大小為arcsin^S-.

14

18.設(shè)。>0且。#1,rGR,已知函數(shù)f(x)=log?(x+l),g(x)=21og?(2x+f).

(1)當(dāng)/=-1時，求不等式/(x)Wg(x)的解；

(2)若函數(shù)尸G)=，9+4-2什1在區(qū)間(7,2]上有零點，求「的取值范圍.

解：(1)當(dāng)f=-1時，不等式/(x)Wg(X)可化為loga(x+l)W21og”(2x-1),

當(dāng)OVaVl時，則有卜+1避2x-l)[解得春<x4今，

2x-l>024

所以不等式八尤)Wg(x)的解集為皮，卷];

當(dāng)”>1時，則有卜<x：,(2x-l)2,解得其，

2x-l>04

所以所以不等式/(x)Wg(x)的解集為島Q).

綜上所述，當(dāng)0<“<1時，不等式f(x)Wg(x)的解集為反，卷];

當(dāng)心1時，所以不等式『(X)Wg(x)的解集為序K。).

(2)函數(shù)/(x)=af(x)+tx2-2t+\=x+\=tx2-2t+\=tx2+x-2/+2,

令序+冗-2什2=0,即1(X2-2)=-(x+2),

因為淤(-1,2],所以x+2E(1,4],

所以fWO,/-2#0,

^-=-X,?=-[(x+2)]+4，

tx+2x+2

19

設(shè)加=x+2E(1,4],則有一=-(m+~)+4，

tm

故或°</44-2后，

解得忘-2或巨，

故t的取值范圍為/W-2或

KK

19.如圖某公園有一塊直角三角形ABC的空地，其中/ACB=k，ZABC=--,AC長a

26

千米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域。EF建文化景觀區(qū)，其中。、E、尸分別在

BC、AC、AB±.設(shè)NQEC=e.

JT

(i)若e=w，求△OEF的邊長；

(2)當(dāng)e多大時，aoE尸的邊長最??？并求出最小值.

7111

解：⑴設(shè)△￡>￡下的邊長為x千米，由8『廠得CE=^x，AE=a-亨x，

0c?4

7TTT兀

△AEF中，ZFEA=K-9ZA-.

o0o

?二△AE77為等邊三角形，AE=x=a~~^~x?

故x=-r-,

o

即△￡>￡P(guān)的邊長為等；

(2)設(shè)△DEF的邊長為x千米，

所以CE=xcos。，AE=a-xcosQ,

-2兀cK

△AEP中，ZFEA=±—-Q,ZA=—,Z￡FA=6,

733

x_a-xcos8

由正弦定理得，.7T=sinQ―，

sirry

"歷a_________Vsa__________

故x=_____V3a_______rz

2sin0+V3C0S§V?sin(0+arcta】i.)

當(dāng)e2-arctan坐時》取得最小值乍巴&，即的邊長最小值冬配

22V7?7

2

20.(16分)已知橢圓C的方程為2—+)2=1.

2

(1)設(shè)M(硼，加)是橢圓C上的點，證明：直線考■+)，0=1與橢圓C有且只有一

個公共點；

(2)過點N(1,&)作兩條與橢圓只有一個公共點的直線，公共點分別記為4、B,

點N在直線A8上的射影為點Q,求點。的坐標(biāo);

(3)互相垂直的兩條直線八與/2相交于點P，且h/2都與橢圓C只有一個公共點，求

點P的軌跡方程.

解：(1)證明：當(dāng)然/=0時，XM=±&,

直線線即直線X=±&,與橢圓C只有一個公共點,

當(dāng)ywWO時,由，

2

得名三)XM1

3--^x+-2~1=0,

2

4yMYM

22-2+2y2x2

.XM.1：*日、1H+H

△=-^-4(-2)(2-1)

2^A4yM2

y”yM

2

乂XM+92=1,

2

所以有△=(),從而方程組只有一組解,

所以直線勺此+)，“)，=1與橢圓C有且只有一個公共點.

2

(2)設(shè)A(JCI,%)，B(.X2,/),

則兩條直線為三上+yiy=1,彳x_+）”y=],

又N（1,加），是它們的交點，

所以3~+&yi=l，

2

從而有A（汨，％）,B（%2,y2）的坐標(biāo)滿足直線方程?1+&y=l,

所以直線AB的方程為會&y=1,

直線NQ的方程為y-&=2&（x-1）,

Z

由獷y=i，得產(chǎn)挈即Q片多,

ty-V2=2V2（x-l）

'y-M=k（x-i）

得（1+2F）x2+4k（&-%）x+2（.近-k）2-2=0,

由△=（）,得N+2折-1=0,

解得k=-加土日.

（3）設(shè)P（迎，州），

當(dāng)直線/i與b有一條斜率不存在時，P（±&，±1），次2+泗2=3,

當(dāng)直線/1與/2有一條斜率存在時，設(shè)為公和42,

y-y0=k（X-XO）

由4/，得（1+2N）/+4Z（泗-蒯））x+2（公超2+時-2版）1）=0,

Z=1

所以△=[必（泗-fcco）]2-4（1+2F）?2?（*2xo2+yo2-2fccoyo-1）=0,

整理得（2-x（）2）k2+2x（）yok+\->Y）2=0,燎#2,

所以佑，公是這個方程的兩個根，

i1-y2

所以k#2=----07=-I,

2

2-x0

所以迎2+州2=3,

所以點P的軌跡方程為/+）,2=3.

21.（18分）若數(shù)歹U{a,}滿足“對任意正整數(shù)i,/,iWJ,都存在正整數(shù)匕使得以=ap”，

則稱數(shù)列｛〃“｝具