拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)總結(jié)一、基礎(chǔ)回想：A'A(X1,Y1)C'C(X3,Y3)aOFB'B(X2,Y2)1.以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線L相切；x1?x2?p22.4;3.y1?y2??p2;4.?AC'B?90?;5.?A'FB'?90?;6.AB?x1?x2?p?2(x3?p2)?2psin2?;7.

1AF?12BF?P;8.A、O、B'三點(diǎn)共線；9.B、O、A'三點(diǎn)共線；10.Sp2?AOB?2sin?；S211.?AOB?(p)3AB2（定值）

；

1

12.AF?'PP；BF?；

1?cos?1?cos?'13.BC垂直平分BF；14.AC垂直平分AF；

'15.CF?AB；

''16.AB?2P；17.CC'?18.KAB=11AB?(AA'?BB')；22p；y3y2;x2-p219.tan?=220.A'B'?4AF?BF;21.C'F?1A'B'.222.切線方程y0y?m?x0?x?

性質(zhì)深究

一)焦點(diǎn)弦與切線

1、過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)作拋物線的切線，兩切線交點(diǎn)位置有

何特別之處？結(jié)論1：交點(diǎn)在準(zhǔn)線上

先猜后證：當(dāng)弦AB?x軸時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為??證明:從略

結(jié)論2切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)連線平行于對稱軸

結(jié)論3弦AB不過焦點(diǎn)即切線交點(diǎn)P不在準(zhǔn)線上時(shí)，切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)的連線也平行于對稱軸．2、上述命題的逆命題是否成立？

結(jié)論4過拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線，則過兩切點(diǎn)的弦必過焦點(diǎn)先猜后證：過準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)作拋物線的切線，則過兩切點(diǎn)AB的弦必過焦點(diǎn)．結(jié)論5過準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線，過兩切點(diǎn)的弦最短時(shí)，即為通徑．

??p?,0?在準(zhǔn)線上．

2?2

3、AB是拋物線y2?2px（p＞0）焦點(diǎn)弦，Q是AB的中點(diǎn)，l是拋物線的準(zhǔn)線，AA1?l，

BB1?l，過A，B的切線相交于P，PQ與拋物線交于點(diǎn)M．則有

結(jié)論6PA⊥PB．結(jié)論7PF⊥AB．結(jié)論8M平分PQ．

結(jié)論9PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．結(jié)論10FA?FB?PF結(jié)論11S?PABmi?np二)非焦點(diǎn)弦與切線

思考：當(dāng)弦AB不過焦點(diǎn)，切線交于P點(diǎn)時(shí)，也有與上述結(jié)論類似結(jié)果：結(jié)論12①xp?22y?y2y1y2，yp?1

22p結(jié)論13PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．結(jié)論14?PFA??PFB結(jié)論15點(diǎn)M平分PQ結(jié)論16FA?FB?PF

2二、經(jīng)典問題：

（1）拋物線——二次曲線的和諧線

橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的所有點(diǎn)的集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個(gè)美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少綺麗的篇章.

例1、P為拋物線y?2px上任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與y軸（）

2A.相交B.相切C.相離D.位置由P確定

解如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F??p?,0?，準(zhǔn)線是?2?YHQNPM2p.作PH⊥l于H，交y軸于Q，那么PF?PH，2p且QH?OF?.作MN⊥y軸于N則MN是梯形PQOF的

2l:x??

OF(p,0)l:x=-p2X3

y=2px2中位線，MN?111OF?PQ?PH?PF.故以??222PF為直徑的圓與y軸相切，選B.

注：相像的問題對于橢圓和雙曲線來說，其結(jié)論則分別是相離或相交的.（2）焦點(diǎn)弦——?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦

有關(guān)拋物線的試題，大量都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并把握這個(gè)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，對破解這些試題是大有幫助的.

例2、過拋物線y2?2px?p?0?的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A?x1,y1?,B?x2,y2?兩點(diǎn)，求證：（1）AB?x1?x2?p（2）證明（1）如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，作

112??AFBFppAA1?lA1,BB1?l于B1，則AF?AA1?x1?，

2pBF?BB1?x2?.兩式相加即得：AB?x1?x2?p

2（2）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，有

YA1A(x,y)11X?AF?BF?p，112??成立；AFBFpFB1B(x,y)22l當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為：

p?p???y?k?x??.代入拋物線方程：k2?x???2px.化簡得：

2?2???p22kx?p?k?2?x?k?042222?1?

k2∵方程（1）之二根為x1，x2，∴x1?x2?.

4x1?x2?p111111??????pp2AFBFAA1BB1x?px?px1x2??x1?x2??122224x1?x2?px1?x2?p2??.22pppp?x1?x2?p?p??x1?x2??2424?4

故不管弦AB與x軸是否垂直，恒有

112??成立.AFBFp（3）切線——拋物線與函數(shù)有緣

有關(guān)拋物線的大量試題，又與它的切線有關(guān).理解并把握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的基本功.

例3、證明：過拋物線y2?2px上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程是：y0y=p（x+x0）證明對方程y2?2px兩邊取導(dǎo)數(shù)：2y?y??2p，?y??p.切線的斜率yk?y?x?x0?pp.由點(diǎn)斜式方程：y?y0??x?x0??y0y?px?px0?y02y0y0?1?

2y0y=p（x+x0）?y0?2px0，代入（）即得：1（4）定點(diǎn)與定值——拋物線埋在深處的寶藏

拋物線中存在大量不不易發(fā)現(xiàn)，卻簡單為人疏忽的定點(diǎn)和定值.把握它們，在解題中常會(huì)有意想不到的收獲.

例：1.一動(dòng)圓的圓心在拋物線y?8x上，且動(dòng)圓恒與直線x?2?0相切，則此動(dòng)圓必過定點(diǎn)（）

2A.?4,0?B.?2,0?C.?0,2?D.?0,?2?

顯然.此題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點(diǎn)，選B.2.拋物線y?2px的通徑長為2p；

3.設(shè)拋物線y?2px過焦點(diǎn)的弦兩端分別為A?x1,y1?,B?x2,y2?，那么：y1y2??p2

22以下再舉一例

例4、設(shè)拋物線y?2px的焦點(diǎn)弦AB在其準(zhǔn)線上的射影是A1B1，證明：以A1B1為直徑的圓必過一定點(diǎn)

分析：假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線的通