北師大版選擇性3431空間中的角課件（42張）

4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系4.3.1空間中的角學(xué)習(xí)目標(biāo)能用向量的方法得到兩條直線所成的角、直線和平面所成的角、兩個(gè)平面所成的角的向量表達(dá)式,解決立體幾何中有關(guān)夾角的問題,提升邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究問題1:若向量a,b分別為直線a,b的方向向量,則直線a與b所成的角θ與兩個(gè)方向向量所成的角<a,b>有怎樣的關(guān)系?相等或互補(bǔ)<a,b>π-<a,b>|cos<a,b>|問題2:觀察如圖直線l的一個(gè)方向向量l與平面α的一個(gè)法向量n兩者的夾角<l,n>與直線l和平面α所成的角θ的關(guān)系是什么?|cos<l,n>|問題3:兩個(gè)平面所成的角與二面角的平面角有何區(qū)別?二面角的平面角與兩個(gè)平面的法向量所成夾角有何關(guān)系?3.平面與平面的夾角一般地,已知n1,n2分別為平面α,β的法向量,則二面角α-l-β的平面角與兩法向量所成角<n1,n2>

(如圖(1))或

(如圖(2)).兩平面所成的角的范圍是

,二面角的范圍是

.相等互補(bǔ)[0,π]師生互動·合作探究探究點(diǎn)一兩條直線所成的角方法總結(jié)探究點(diǎn)二直線與平面所成的角[例2](1)(2021·北京豐臺區(qū)高二期中)如圖,在四面體OABC中,OA,OB,OC兩兩相互垂直,已知OA=OB=2,OC=1,則直線OC與平面ABC所成角的正弦值為(

)(2)(2021·廣東中山期末)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形.再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)能解決下面問題的條件作為已知,并作答:(ⅰ)求證:AB⊥平面AA1C1C;(ⅱ)求直線BC1與平面A1BC所成角的正弦值.(2)解:方案一:若選擇條件①②:則不能解決兩個(gè)問題;方案二:若選擇條件②③:則可以解決(ⅰ)問,不能解決(ⅱ)問;(ⅰ)證明:因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,AA1⊥AC,所以AA1⊥平面ABC,又AB?平面ABC,則AA1⊥AB.連接AC1,則A1C⊥AC1,又BC1⊥A1C,AC1∩BC1=C1,所以A1C⊥平面ABC1,又AB?平面ABC1,則A1C⊥AB.又A1C∩AA1=A1,所以AB⊥平面AA1C1C.方法總結(jié)利用空間向量求直線與平面的夾角的基本步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(3)求平面的法向量n;[針對訓(xùn)練](2021·山東莒縣期中)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=AA1=2.(1)求異面直線A1C和AB所成角的大小;[針對訓(xùn)練](2021·山東莒縣期中)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=AA1=2.(2)求直線A1C和平面ABB1A1所成角的大小.探究點(diǎn)三直線與平面所成的角方法總結(jié)向量法求二面角(或其某個(gè)三角函數(shù)值)的四個(gè)步驟當(dāng)堂檢測ACD解析:正方體ABCD-A1B1C1D1的棱上到直線A1B與CC1的距離相等的點(diǎn)分別為:D1,BC的中點(diǎn),B1C1的四等分點(diǎn)(靠近B1),假設(shè)D1與G重合,BC的中點(diǎn)為E,B1C1的四等分點(diǎn)(靠近B1)為F,如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,C解析:如圖所示,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.備用例題[例1]