直線和圓的位置關(guān)系+課件++【知識(shí)精講+能力提升】人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

24.2.2

直線和圓的位置關(guān)系第二十四章

圓人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上第1課時(shí)

直線和圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有幾種？d

<

rd

=

rd

>

r

用數(shù)量關(guān)系如何來判斷呢？(設(shè)

OP

=

d

)知識(shí)回顧(1)點(diǎn)在圓內(nèi)(2)點(diǎn)在圓上(3)點(diǎn)在圓外rdrrPPPOOOdd觀賞視頻點(diǎn)擊視頻開始播放問題1

如果我們把太陽看成一個(gè)圓，地平線看成一條直線，那你能根據(jù)直線和圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)想象一下，直線和圓有幾種位置關(guān)系嗎？用定義判斷直線與圓的位置關(guān)系問題2

請(qǐng)同學(xué)在紙上畫一條直線

l，把圓塊的邊緣看作圓，在紙上移動(dòng)圓塊，你能發(fā)現(xiàn)直線和圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化情況嗎？公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最少時(shí)有幾個(gè)？最多時(shí)有幾個(gè)？l02●●●圖形

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

直線與圓的位置關(guān)系

公共點(diǎn)名稱

直線名稱2個(gè)交點(diǎn)割線1個(gè)切點(diǎn)切線0個(gè)相離相切相交位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)填一填直線和圓有唯一的公共點(diǎn)（即直線和圓相切）時(shí)，這條直線叫做圓的切線（如圖中的直線

l），這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)（如圖中的點(diǎn)

A）.AlO知識(shí)要點(diǎn)

直線與圓最多有兩個(gè)公共點(diǎn).（

）②

若直線與圓相交，則直線上的點(diǎn)都在圓上.（

）③

若

A是☉O

上一點(diǎn)，則直線

AB

與☉O

相切.（

）④

若

C為☉O外一點(diǎn)，則過點(diǎn)

C的直線與☉O相交或相離.

（

）⑤

直線

a

和☉O

有公共點(diǎn)，則直線

a

與☉O

相交.（

）√××××判一判問題1

剛才同學(xué)們用圓塊移近直線的過程中，除了發(fā)現(xiàn)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)發(fā)生了變化外，還有什么量也在改變？它與圓的半徑有什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？相關(guān)知識(shí)：

點(diǎn)到直線的距離是指從直線外一點(diǎn)(A)到直線(l)的垂線段(OA)的長(zhǎng)度.lAO用數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系圓心到直線的距離在發(fā)生變化；首先距離大于半徑，而后距離等于半徑，最后距離小于半徑.

怎樣用圓心到直線的距離

d來判定直線

l與⊙O的位置關(guān)系呢？O思考：dl直線和圓相交d<r直線和圓相切d=r直線和圓相離d>rrd∟rd∟rd數(shù)形結(jié)合：位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系用圓心

O到直線的距離

d

與圓的半徑

r

的大小來判定：OOO直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)與判定的區(qū)別：位置關(guān)系

數(shù)量關(guān)系.公共點(diǎn)個(gè)數(shù)要點(diǎn)歸納1.已知圓的半徑為

6cm，設(shè)直線和圓心的距離為

d.(3)若

d=8cm，則直線與圓______，直線與圓有____個(gè)公共點(diǎn).

(2)若

d=6cm，則直線與圓______，直線與圓有____個(gè)公共點(diǎn)；(1)若

d=4cm，則直線與圓

，直線與圓有____個(gè)公共點(diǎn)；相交相切相離210練一練(3)若

AB

和⊙O

相交，則

.2.已知⊙O的半徑為

5cm，圓心

O

與直線

AB

的距離為

d，根據(jù)條件填寫

d的范圍：(1)若

AB和⊙O

相離，則

；

(2)若

AB

和⊙O

相切，則

；d＞5cmd=

5cm0cm≤d＜5cm

例1

在Rt△ABC

中，∠C

=

90°，AC

=

3cm，BC

=

4cm，以

C

為圓心，r

為半徑的圓與直線

AB

有怎樣的位置關(guān)系？為什么？(1)r

=

2cm；(2)

r

=

2.4cm；(3)

r

=

3cm．BCA43分析：要判定

AB與⊙C

的位置關(guān)系，只要知道圓心

C

到

AB

的距離

d

與

r的大小關(guān)系.已知

r，只需求出

C

到

AB

的距離

d.D典例精析解：過

C作

CD⊥AB，垂足為

D.在△ABC中，根據(jù)三角形的面積公式有即圓心

C到

AB

的距離

d

=

2.4cm.(1)當(dāng)

r=2cm時(shí)，有

d>r，因此⊙C

和

AB

相離；BCA43Dd注：斜邊上的高等于兩直角邊長(zhǎng)的乘積除以斜邊長(zhǎng).(2)當(dāng)

r=2.4cm時(shí)，有

d=r，因此⊙C和

AB相切；BCA43Dd(3)當(dāng)

r

=

3cm

時(shí)，有

d<r，因此⊙C

和

AB

相交.BCA43Dd變式題：

1.Rt△ABC中，∠C

=

90°，AC

=

3

cm，BC

=

4

cm，以

C

為圓心畫圓，當(dāng)半徑

r

為何值時(shí)，圓

C與線段

AB

沒有公共點(diǎn)？當(dāng)0cm＜r＜2.4cm

或r＞4cm時(shí)，⊙C

與線段

AB

沒有公共點(diǎn).ABCD45332.Rt△ABC

中，∠C

=

90°，AC

=

3

cm，BC

=

4

cm，以

C

為圓心畫圓，當(dāng)半徑

r

為何值時(shí)，圓

C與線段

AB

有一個(gè)公共點(diǎn)？當(dāng)半徑

r

為何值時(shí)，圓

C與線段

AB

有兩個(gè)公共點(diǎn)？當(dāng)

r=2.4cm或3cm＜r≤4cm

時(shí)，⊙C

與線段

AB

有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)2.4cm＜r≤3cm時(shí)，⊙C

與線段AB

有兩公共點(diǎn).ABCD4533直線與圓的位置關(guān)系定義性質(zhì)判定相離相切相交公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)d與

r的數(shù)量關(guān)系定義法性質(zhì)法特別提醒：若圖中沒有

d要先作出該垂線段相離:0個(gè);相切:1個(gè);相交:2個(gè)相離：d>r相切：d=r相交：d<r0個(gè)：相離；1個(gè)：相切；2個(gè)：相交d>r：相離；d=r：相切；d<r：相交24.2.2

直線和圓的位置關(guān)系第二十四章

圓人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上第2課時(shí)

切線的判定與性質(zhì)知識(shí)回顧圖形

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

直線與圓的位置關(guān)系

公共點(diǎn)名稱

直線名稱2個(gè)交點(diǎn)割線1個(gè)切點(diǎn)切線0個(gè)相離相切相交位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)情境引入轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)飛出的雨滴，用砂輪磨刀時(shí)擦出的火花，都是沿著什么方向飛出的？都是沿切線方向飛出的.

生活中?？吹角芯€的實(shí)例，如何判斷一條直線是否為切線呢？學(xué)完這節(jié)課，你就都會(huì)明白.ABC問題：已知圓

O上一點(diǎn)

A，怎樣根據(jù)圓的切線定義過點(diǎn)

A

作圓

O

的切線？觀察：（1）圓心

O

到直線

AB

的距離和圓的

半徑有什么數(shù)量關(guān)系?（2）二者位置有什么關(guān)系？為什么？切線的判定定理O

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.OA為⊙O的半徑BC⊥OA于ABC為⊙O的切線ABC切線的判定定理應(yīng)用格式O要點(diǎn)歸納

在此定理中，“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線.下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請(qǐng)說明為什么？(1)不是，因?yàn)闆]有垂直.(2)(3)不是，因?yàn)闆]有經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)

A.判一判注意O.AO.ABAO(1)(2)(3)判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法：1.定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說這條直線是圓的切線；2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即

d=r)時(shí)，直線與圓相切；3.判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd要點(diǎn)歸納OO例1

如圖，線段

AB是☉O的直徑，直線

AC與

AB交于點(diǎn)

A，∠ABC=45°，且

AB=AC.求證：AC是☉O的切線.分析：直線AC經(jīng)過半徑的一端，因此只要證OA垂直于AC即可.證明：∵AB=AC，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°.

∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°，即

AB⊥AC.

∵AB是☉O的直徑，∴AC是☉O的切線.AOCB例2

已知直線

AB

經(jīng)過

⊙O

上的點(diǎn)

C，并且

OA

=

OB，

CA

=

CB.求證：直線

AB

是

⊙O

的切線.OBAC證明：連接

OC.∵OA

＝

OB，CA

＝

CB，∴OC

是等腰△OAB

底邊

AB

上的中線.

∴OC⊥AB.

∵OC

是

⊙O

的半徑，∴AB

是

⊙O

的切線.分析：由于

AB

過⊙O

上的點(diǎn)

C，所以連接

OC，只要

證明

AB⊥OC

即可.

當(dāng)已知直線過圓上的一點(diǎn)時(shí)，連接圓心和該點(diǎn)得到圓的半徑，然后證明直線與這條半徑垂直，即可得出已知直線為圓的切線.方法總結(jié)例3

如圖，在Rt△ABC

中，∠ABC=90°，∠BAC的平分線交

BC于

D，以

D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作⊙D．求證：AC是⊙O的切線．BCDAE證明：如圖，過

D作

DE⊥AC于

E.∵∠ABC

=90°，∴DB⊥AB.又∵

AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE=DB=r.∴AC是⊙O的切線.

當(dāng)未提及直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，過圓心作直線的垂線段，證明垂線段等于半徑，即可得出已知直線為圓的切線.方法總結(jié)(1)

有交點(diǎn)，連半徑，證垂直；證切線時(shí)輔助線的添加方法要點(diǎn)歸納(2)

無交點(diǎn)，作垂直，證半徑.例3例2思考：如圖，如果直線

l是⊙O

的切線，點(diǎn)

A

為切點(diǎn)，那么

OA

與

l

垂直嗎？AlO∵直線

l是⊙O

的切線，A

是切點(diǎn)，∴直線

l⊥OA.切線的性質(zhì)定理切線的性質(zhì)

圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．應(yīng)用格式（1）假設(shè)

AB與

CD

不垂直，過點(diǎn)

O作

OM⊥CD，垂足為

M；理由是：直徑

AB與直線

CD要么垂直，要么不垂直.（2）則

OM＜OA，即圓心到直線

CD

的

距離小于⊙O

的半徑，因此，CD

與⊙O

相交.

這與已知條件“直線

與⊙O

相切”相矛盾；CDBOA（3）所以假設(shè)不成立，故

AB

與

CD

垂直.M證法：反證法性質(zhì)定理的證明例4

如圖，PA

是⊙O

的切線，切點(diǎn)為

A，PO

的延長(zhǎng)線交⊙O

于點(diǎn)

B，連接

AB.若∠B

=

25°，求∠P

的度數(shù).BOPA解：如圖，連接

OA.∵PA

是⊙O

的切線，∵∠AOP=2∠B

=50°，∴∠P

=90°

-

50°

=40°.∴∠OAP=90°.1.如圖①，在⊙O中，OA、OB為半徑，直線

MN與⊙O相切于點(diǎn)

B.若∠ABN=30°，則∠AOB=

°.

2.如圖②，AB為⊙O的直徑，D為

AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DC與⊙O相切于點(diǎn)

C，∠DAC=30°.

若⊙O的半徑長(zhǎng)1cm，則

OD=

cm.60練一練

圖①圖②

利用切線的性質(zhì)解題時(shí)，常需作輔助線，一般連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解題.方法總結(jié)例5

如圖，△ABC

為等腰三角形，O是底邊

BC的中點(diǎn)，腰

AB

與⊙O相切于點(diǎn)

D．求證：AC

是⊙O的切線．分析：判定切線，無切點(diǎn)，則作垂直(OE)，證半徑(OE=OD)；由

AB與⊙O相切于點(diǎn)

D，得

OD⊥AB；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，即可得出結(jié)論.EBOCDA證明：如圖，連接

OD，OA，過

O作

OE⊥AC于

E.∵⊙O與

AB相切于

D，∴OD⊥AB.又∵△ABC為等腰三角形，O是

BC的中點(diǎn)，∴AO平分∠BAC.∴OE=OD.∵OD是⊙O

的半徑，∴點(diǎn)

O到AC的距離等于⊙O的半徑.∴AC是⊙O的切線．EBOCDA有切線時(shí)常用輔助線添加方法見切點(diǎn)，連半徑，得垂直.切線的其他重要結(jié)論(1)

經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；(2)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.要點(diǎn)歸納切線的判定方法定義法數(shù)量關(guān)系法判定定理1個(gè)公共點(diǎn)，則相切d=r，則相切經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線切線的性質(zhì)證切線時(shí)常用輔助線添加方法：①有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直；②無公共點(diǎn)，作垂直，證半徑.有

1個(gè)公共點(diǎn)d=r性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑有切線時(shí)常用輔助線添加方法：見切線，連切點(diǎn)，得垂直.24.2.2

直線和圓的位置關(guān)系第二十四章

圓人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上第3課時(shí)

切線長(zhǎng)定理及三角形的內(nèi)切圓情境引入

同學(xué)們玩過抖空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球旋轉(zhuǎn)的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數(shù)學(xué)圖形？

問題1

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了過圓上一點(diǎn)作已知圓的切線(如下圖所示)，如果點(diǎn)

P是圓外一點(diǎn)，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點(diǎn)作圓的切線，可以作幾條？切線長(zhǎng)定理及應(yīng)用互動(dòng)探究POBAO.PABP1.切線長(zhǎng)的定義：

經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．AO①

切線是直線，不能度量；②

切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是

圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．2.切線長(zhǎng)與切線的區(qū)別在哪里？知識(shí)要點(diǎn)問題2PA

為☉O的一條切線，沿著直線

PO

對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)

A

重合的點(diǎn)為

B．

OB

是☉O的一條半徑嗎？PB

是☉O的切線嗎？（利用圖形軸對(duì)稱性解釋）

PA、PB

有何關(guān)系？∠APO

和∠BPO

有何關(guān)系？OPAB切線長(zhǎng)定理：

過圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等.這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.PA、PB分別切

☉O于

A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言：切線長(zhǎng)定理為證明線段相等、角相等提供了新

的方法.注意要點(diǎn)歸納BPOAO.P已知：如圖，PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點(diǎn).求證：PA=PB，∠APO=∠BPO.證明：∵PA、PB

是☉O

的兩條切線，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).∴PA=PB，∠APO=∠BPO.推理驗(yàn)證AB∴OA⊥PA，OB⊥PB.

若連接兩切點(diǎn)

A、B，AB交

OP于點(diǎn)

M.你又能得出

什么新的結(jié)論?請(qǐng)給出證明.解：OP垂直平分

AB.證明：∵

PA，PB是

⊙O的切線，點(diǎn)

A，B是切點(diǎn)，∴

PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線.∴

OP垂直平分

AB.M想一想：OPAB例1

已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切于點(diǎn)E、F、G、H.求證：AB+CD=AD

+BC.證明：∵AB、BC、CD、DA與

⊙O分別相切于點(diǎn)E、F、G、H，·ABCDOEFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，即

AB+CD=AD+BC.典例精析變式訓(xùn)練如圖，四邊形

ABCD

是☉O的外切四邊形，且

AB

=

10，CD

=

15，則四邊形

ABCD

的周長(zhǎng)為______．50·ABCDO例4

為了測(cè)量一個(gè)圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為

30°

的三角板和一個(gè)刻度尺，按如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可求得鐵環(huán)的半徑.若三角板與圓相切且測(cè)得

PA

=

5

cm，求鐵環(huán)的半徑．OBC解析：取圓的圓心為O，連接

OA，OP，由切線性質(zhì)知△OPA為直角三角形，從而在

Rt△OPA

中由勾股定理易求得半徑．在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°.即鐵環(huán)的半徑為∴OA=2PA=10.解：設(shè)鐵環(huán)的圓心為O，連接

OP、OA.∴OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO.OBC5

∵AP、AB為

⊙O的切線，∴OP=∴∠POA＝30°.

切線長(zhǎng)定理包括線段相等和角相等兩個(gè)結(jié)論，解題時(shí)應(yīng)有選擇地應(yīng)用，它是證明線段相等、角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù).方法歸納BPOA

PA、PB是

☉O的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，OA=3.（1）若

AP=4，則

OP=

；（2）若∠BPA=60°，則

OP=

.56練一練

小明在一家木料廠上班，工作之余想對(duì)廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？三角形的內(nèi)切圓及作法互動(dòng)探究問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系？

OOOO最大的圓與三角形三邊都相切問題2如何求作一個(gè)圓，使它與三角形的三邊都相切？

(1)如果半徑為

r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么

圓心

I應(yīng)滿足什么條件？(2)在△ABC的內(nèi)部，如何找到滿足條件的圓心

I呢？

圓心

I到三角形三邊的距離相等，都等于

r.為什么呢？三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.三角形角平分線的這個(gè)性質(zhì)，你還記得嗎？圓心

I應(yīng)是三角形的三條角平分線的交點(diǎn).已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓

O.做一做MND作法：1.作∠ABC和∠ACB的平分線

BM和

CN，交點(diǎn)為

O.2.過點(diǎn)

O作OD⊥BC，垂足為

D.3.以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.ABCO1.與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心.3.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形.BACI☉I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)

I是△ABC的內(nèi)心，△ABC是☉I的外切三角形.知識(shí)要點(diǎn)三角形的內(nèi)心的性質(zhì)問題1如圖，☉O是△ABC的內(nèi)切圓，那么

AO、BO、CO有什么特點(diǎn)？互動(dòng)探究AO、BO、CO分別平分∠CAB、∠ABC、∠BCA.BACOBACO問題2如圖，☉O是△ABC的內(nèi)切圓，過點(diǎn)

O分別作

AB、AC、BC的垂線，垂足分別為

E、F、G，那么線段

OE、OF、OG之間有什么數(shù)