高三文科橢圓題型全解

-.z.高三文科數學橢圓練習1．“m>n>0〞是“方程m*2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓〞的____________條件．2．橢圓eq\f(*2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1，長軸在y軸上．假設焦距為4，則m等于___________.3．假設橢圓eq\f(*2,m)＋eq\f(y2,n)＝1〔m＞n＞0〕上的點到右準線的距離是到右焦點距離的3倍，則eq\f(m,n)＝________.4．過橢圓eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a＞b＞0〕的左焦點F1作*軸的垂線交橢圓于點P，F2為右焦點，假設∠PF2F1＝30°，則橢圓的離心率為________________.5．從一塊短軸長為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值圍是[3b2,4b2]，則這一橢圓離心率e的取值圍是________________.6．橢圓C：eq\f(*2,2)＋y2＝1的右焦點為F，右準線為l，點A∈l，線段AF交C于點B.假設eq\o(FA,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，則|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝_____________.7．過橢圓eq\f(*2,6)＋eq\f(y2,5)＝1的一點P〔2，－1〕的弦，恰好被P點平分，則這條弦所在的直線方程___________.8．橢圓eq\f(*2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點為F1、F2，點P在橢圓上．假設|PF1|＝4，則|PF2|＝__________；∠F1PF2的大小為__________．9．橢圓G的中心在坐標原點，長軸在*軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為____________．10．A、B為橢圓C：eq\f(*2,m＋1)＋eq\f(y2,m)＝1的長軸的兩個端點，P是橢圓C上的動點，且∠APB的最大值是eq\f(2π,3)，則實數m的值是__________．11．A、B兩點分別是橢圓C：eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a＞b＞0〕的左頂點和上頂點，而F是橢圓C的右焦點，假設eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，則橢圓C的離心率e＝________.12．直線l：*－2y＋2＝0過橢圓左焦點F1和一個頂點B，則該橢圓的離心率為___________.13．橢圓eq\f(*2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的左、右焦點分別為F1、F2，M是橢圓上一點，N是MF1的中點，假設|ON|＝1，則MF1的長等于______________.14．過橢圓eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a＞b＞0〕的左焦點F1作*軸的垂線交橢圓于點P，F2為右焦點，假設∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率__________.15．知橢圓eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a＞b＞0〕的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BF⊥*軸，直線AB交y軸于點P.假設eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，則橢圓的離心率是_________.16．橢圓5*2－ky2＝5的一個焦點是〔0，2〕，則k＝________.17．F1、F2是橢圓eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右兩焦點，P為橢圓的一個頂點，假設△PF1F2是等邊三角形，則a2＝________.18．F1、F2為橢圓eq\f(*2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A、B兩點．假設|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________.19．〔－2，0〕，B〔2，0〕，過點A作直線l交以A、B為焦點的橢圓于M、N兩點，線段MN的中點到y軸的距離為eq\f(4,5)，且直線l與圓*2＋y2＝1相切，求該橢圓的方程．20．設A〔*1，y1〕，B〔*2，y2〕是橢圓eq\f(y2,a2)＋eq\f(*2,b2)＝1〔a＞b＞0〕上的兩點，m＝〔eq\f(*1,b)，eq\f(y1,a)〕，n＝〔eq\f(*2,b)，eq\f(y2,a)〕，且滿足m·n＝0，橢圓的離心率e＝eq\f(\r(3),2)，短軸長為2，O為坐標原點．〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕假設存在斜率為k的直線AB過橢圓的焦點F〔0，c〕〔c為半焦距〕，求直線AB的斜率k的值．21．在平面直角坐標系中，圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標原點．橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為．〔Ⅰ〕求圓的方程；〔Ⅱ〕試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點的距離等于線段的長．假設存在，請求出點的坐標；假設不存在，請說明理由．高三文科數學橢圓練習答案與解析1．解析：把橢圓方程化為eq\f(*2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1.假設m>n>0，則eq\f(1,n)>eq\f(1,m)>0.所以橢圓的焦點在y軸上．反之，假設橢圓的焦點在y軸上，則eq\f(1,n)>eq\f(1,m)>0即有m>n>0.故為充要條件。2．解析：因為橢圓eq\f(*2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的長軸在y軸上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0,10－m>0,m－2>10－m))?6<m<10，又焦距為4，所以m－2－10＋m＝4?m＝8.3．解析：由題意得該橢圓的離心率e＝eq\f(1,3)＝eq\f(\r(m－n),\r(m))，因此1－eq\f(n,m)＝eq\f(1,9)，eq\f(n,m)＝eq\f(8,9)，eq\f(m,n)＝eq\f(9,8)。4．解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，∴|PF1|＝eq\f(1,2)|PF2|，∴eq\f(3,2)|PF2|＝2a?|PF2|＝eq\f(4,3)a，|PF1|＝eq\f(2,3)a，在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|F1F2|2＝|PF2|2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))2＋(2c)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a))2?e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).5．解析：設橢圓的長軸長為2a，則矩形的最大面積為2ab，∴3b2≤2ab≤4b2，即eq\f(3,2)≤eq\f(a,b)≤2，又∵b＝eq\r(a2－c2)，∴eq\r(\f(a2－c2,a2))∈[eq\f(1,2)，eq\f(2,3)]，即eq\r(1－e2)∈[eq\f(1,2)，eq\f(2,3)]，解得：e∈[eq\f(\r(5),3)，eq\f(\r(3),2)]．6．解析：如圖，BM垂直于右準線于M，右準線與*軸交于N，易求得橢圓的離心率為e＝eq\f(\r(2),2)，由橢圓的第二定義得BM＝eq\f(BF,e)，在Rt△AMB中，eq\f(BM,AB)＝eq\f(BF,e·AB)＝eq\f(1,2e)＝eq\f(\r(2),2)，它為等腰直角三角形，則△ANF也為等腰直角三角形，FN＝eq\f(b2,c)＝1，則|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\r(2).7．解析：設過點P的弦與橢圓交于A1(*1，y1)，A2(*2，y2)兩點，則，且*1＋*2＝4，y1＋y2＝－2，∴eq\f(2,3)(*1－*2)－eq\f(2,5)(y1－y2)＝0，∴kA1A2＝eq\f(y1－y2,*1－*2)＝eq\f(5,3).∴弦所在直線方程為y＋1＝eq\f(5,3)(*－2)，即5*－3y－13＝0.8．解析：依題知a＝3，b＝eq\r(2)，c＝eq\r(7).由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝6，∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.又|F1F2|＝2eq\r(7).在△F1PF2中由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝120°答案：2120°9．解析：由題意得2a＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝6，c＝3eq\r(3)，b＝3.故橢圓方程為eq\f(*2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.10．解析：由橢圓知，當點P位于短軸的端點時∠APB取得最大值，根據題意則有taneq\f(π,3)＝eq\f(\r(m＋1),\r(m))?m＝eq\f(1,2).11．解析：A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a，b)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(c，－b)∴ac＝b2，即ac＝a2－c2，∴e＝1－e2，解得e＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：eq\f(\r(5)－1,2)12．解析：選D.在l：*－2y＋2＝0上，令y＝0得F1(－2,0)，令*＝0得B(0,1)，即c＝2，b＝1.∴a＝eq\r(5)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5).13．解析：由橢圓方程知a＝4，∴|MF1|＋|MF2|＝8，∴|MF1|＝8－|MF2|＝8－2|ON|＝8－2＝6.14．解析：由題意知點P的坐標為(－c，eq\f(b2,a))或(－c，－eq\f(b2,a))，∵∠F1PF2＝60°，∴eq\f(2c,\f(b2,a))＝eq\r(3)，即2ac＝eq\r(3)b2＝eq\r(3)(a2－c2)．∴eq\r(3)e2＋2e－eq\r(3)＝0，∴e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去)．15．解析：如圖，由于BF⊥*軸，故*B＝－c，yB＝eq\f(b2,a)，設P(0，t)，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，∴(－a，t)＝2(－c，eq\f(b2,a)－t)．∴a＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).16．解析：方程可化為*2＋eq\f(y2,－\f(5,k))＝1.∵焦點(0,2)在y軸上，∴a2＝－eq\f(5,k)，b2＝1，又∵c2＝a2－b2＝4，∴a2＝5，解得k＝－1.17．解析：由題意，因為△PF1F2是等邊三角形，故2c＝a，又b＝3，所以a2＝12.答案：1218．解析：由橢圓的定義得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF1|＋|AF2|＝10，,|BF1|＋|BF2|＝10，))兩式相加得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，即|AB|＋12＝20，∴|AB|＝8.19．解：易知直線l與*軸不垂直，設直線l的方程為y＝k(*＋2)．①又設橢圓方程為eq\f(*2,a2)＋eq\f(y2,a2－4)＝1(a2>4)．②因為直線l與圓*2＋y2＝1相切，故eq\f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k2＝eq\f(1,3).將①代入②整理得，(a2k2＋a2－4)*2＋4a2k2*＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝eq\f(1,3)，即(a2－3)*2＋a2*－eq\f(3,4)a4＋4a2＝0，設M(*1，y1)，N(*2，y2)，則*1＋*2＝－eq\f(a2,a2－3)，由題意有eq\f(a2,a2－3)＝2×eq\f(4,5)(a2>3)，求得a2＝8.經檢驗，此時Δ>0.故所求的橢圓方程為eq\f(*2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.20．解：(1)2b＝2，b＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3),2)?a＝2，c＝eq\r(3).故橢圓的方程為eq\f(y2,4)＋*2＝1.(2)設AB的方程為y＝k*＋eq\r(3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k*＋\r(3),\f(y2,4)＋*2＝1))?(k2＋4)*2＋2eq\r(3)k*－1＝0.*1＋*2＝eq\f(－2\r(3)k,k2＋4)，*1*2＝eq\f(－1,k2＋4)，由0＝m·n＝eq\f(*1*2,b2)＋eq\f(y1y2,a2)＝*1*2＋eq\f(1,4)(k*1＋eq\r(3))(k*2＋eq\r(3))＝(1＋eq\f(k2,4))*1*2＋eq\f(\r(3)k,4)(*1＋*2)＋eq\f(3,4)＝eq\f(k2＋4,4)·(－eq\f(1,k2＋4))＋eq\f(\r(3)k,4)·eq\f(－2\r(3)k,k2＋4)＋eq\f(3,4)，解得k＝±eq\r(2).21．答案：(1)設圓心坐標為(m，n)〔m<0，n>0〕,則該圓的方程為(*-m)2+(y-n)2=8該圓與直線y=