三角函數(shù)綜合應(yīng)用解題方法總結(jié)(超級經(jīng)典)

精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)教案學(xué)員編號：XA0002390年級：高三課時數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：授課類型T同步：三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形T同步：三角函數(shù)周期的求法T同步：三角函數(shù)圖象變換及解三角形星級★★★★★★教學(xué)目標(biāo)三角函數(shù)整個知識是高考的重點(diǎn)，學(xué)生不僅需要掌握基本概念，也需要掌握一定的技巧方法；掌握三角函數(shù)的整體知識體系，能夠熟練運(yùn)用。授課日期及時段2013/4/2210:10-12:10教學(xué)內(nèi)容T同步：三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形T同步：三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形★★課堂引入：我們在三角函數(shù)整個知識方面不僅需要掌握所有的知識體系，在做題方面我們通常不知道如何下手，那么題目我們就沒有辦法了嗎？接下來老師和你分享一些解題的技巧方法。知識講解：基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)?；镜募记捎?一．巧變角：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如，，，，典例精講：例題1.已知，，那么的值是_____。例題2.已知，且，，求值。例題3.已知為銳角，，，則與的函數(shù)關(guān)系為______（答：1）；2）；3））二．三角函數(shù)名互化(切化弦)，例題3.求值（答：1）；例題4.已知，求的值（答：）三．公式變形使用。例題5.已知A、B為銳角，且滿足，則＝_____（答：）；例題6.設(shè)中，，，則是____三角形（答：等邊）四．三角函數(shù)次數(shù)的降升例題7.若，化簡為_____（答：）；例題8.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________（答：）五．式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)。例題9.求證：；例題10.化簡：（答：）六．常值變換主要指“1”的變換（等），例題11.已知，求（答：）.七．正余弦“三兄妹—”的內(nèi)存聯(lián)系――“知一求二”，例題12.若，則__（答：)，特別提醒：這里；例題13.若，求的值。（答：）；例題14.已知，試用表示的值（答：）。八．輔助角公式（收縮代換）的應(yīng)用：(其中角所在的象限由a,b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用。例題14.若方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是___________.（答：[－2,2]）；例題15.當(dāng)函數(shù)取得最大值時，的值是______(答：)；例題16.如果是奇函數(shù)，則= (答：－2)；例題17.求值：________(答：32)課后總結(jié)：T同步：T同步：三角函數(shù)周期及最值★★★★教學(xué)目標(biāo)：知識講解：一．三角函數(shù)周期的求法1．定義法：定義：一般地ｙ＝f(x)，對于函數(shù)，如果存在一個不為零的常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個值時，ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函數(shù)ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函數(shù)；不為零的常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期。對于一個周期函數(shù)來說，如果在所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小的正周期。下面我們談到三角函數(shù)的周期時，一般指的是三角函數(shù)折最小正周期。例1．求函數(shù)y=3sin（）的周期解：∵y=f（x）=3sin（）=3sin（+2）=3sin（）=3sin[]=f（x+3）這就是說，當(dāng)自變量由ｘ增加到x+3，且必增加到x+3時，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)?！嗪瘮?shù)y=3sin（）的周期是T=3。2．公式法：（1）如果所求周期函數(shù)可化為y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tan（）形成（其中A、、為常數(shù)，且A0、＞0、R），則可知道它們的周期分別是：、、。例2：求函數(shù)y=1-sinx+cosx的周期解：∵y=1-2（sinx-cosx）=1-2（cossinx-sincosx）=1-2sin（x-）這里=1∴周期T=2（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函數(shù)，可以把它化成sinx、cosx、tanx的形式，再確定它的周期。例3：求f（x）=sinx·cosx的周期解：∵f（x）=sinx·cosx=sin2x這里=3，∴f（x）=sinx·cosx的周期為T=3、把三角函數(shù)表達(dá)式化為一角一函數(shù)的形式，再利用公式求周期（轉(zhuǎn)化法）例4求函數(shù)的周期解：∴．例5已知函數(shù)求周期解：∵∴．4、遇到絕對值時，可利用公式,化去絕對值符號再求周期例6求函數(shù)的周期 解：∵∴．二、三角函數(shù)最值問題的幾種常見類型1.利用三角函數(shù)的有界性求最值利用正弦函數(shù)、余弦正數(shù)的有界性：∣sinx∣≤1,∣cosx∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A≠0,φ≠0)的函數(shù)最值.例1:已知函數(shù)y=EQ\F(1,2)cos2x+EQ\F(\r(,3),2)sinxcosx+1,x∈R,當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合.解：y=EQ\F(1,4)(2cos2x-1)+EQ\F(1,4)+EQ\F(\r(,3),4)(2sinxcosx)+1=EQ\F(1,4)cos2x+EQ\F(\r(,3),4)sin2x+EQ\F(5,4)=EQ\F(1,2)sin(2x+)+EQ\F(5,4)y得最大值必須且只需2x+=+2kπ，k∈Z.即x=+kπ,k∈Z.所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為 {x|x=+kπ,k∈Z.}2.反函數(shù)法例2:求函數(shù)的值域[分析]此為型的三角函數(shù)求最值問題，分子、分母的三角函數(shù)同名、同角，先用反解法，再用三角函數(shù)的有界性去解。解法一：原函數(shù)變形為，可直接得到：或解法一：原函數(shù)變形為或3.配方法—轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值例3：求函數(shù)y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解∵f(x)=(cos2x-)2-,∴當(dāng)cos2x=1,即x=kπ,(k∈Z)時，y=min=-1,當(dāng)cos2x=-1,即x=kπ+,(k∈Z)時，y=max=5.這里將函數(shù)f(x)看成關(guān)于cos2x的二次函數(shù)，就把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在閉區(qū)間[-1，1]上的最值值問題了.4.引入輔助角法y=asinx+bcosx型處理方法：引入輔助角，化為y=sin（x+）,利用函數(shù)即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化為此類。例4：已知函數(shù)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合。[分析]此類問題為的三角函數(shù)求最值問題，它可通過降次化簡整理為型求解。解：5.利用數(shù)形結(jié)合例5：求函數(shù)的最值。解：原函數(shù)可變形為這可看作點(diǎn)的直線的斜率，而A是單位圓上的動點(diǎn)。由下圖可知，過作圓的切線時，斜率有最值。由幾何性質(zhì)，6、換元法例6：若0<x<，求函數(shù)y=(1+EQ\F(1,sinx))(1+EQ\F(1,cosx))的最小值.解y=(1+EQ\F(1,sinx))(1+EQ\F(1,cosx))=1+EQ\F(sinx+cosx+1,sinxcosx)令sinx+cosx=t(1<t≤EQ\r(,2)),則sinx·cosx=EQ\F(t2-1,2)，∴y=1+=EQ\F(t2+2t+1,t2-1)=EQ\F(t+1,t-1)=1+EQ\F(2,t-1),由1<t≤EQ\r(,2),得y≥3+2EQ\r(,2),∴函數(shù)的最小值為3+2EQ\r(,2).7.利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性例7：已知，求函數(shù)的最小值。[分析]此題為型三角函數(shù)求最值問題，當(dāng)sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，適合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來求解。設(shè)，在（0，1）上為減函數(shù)，當(dāng)t=1時，。8.利用基本不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值，要合理的拆添項，湊常數(shù)，同時要注意等號成立的條件，否則會陷入誤區(qū)。例8：求函數(shù)的最值。解：=當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，故。9.利用圖像性質(zhì)例9：求函數(shù)的最大值和最小值。分析：函數(shù)的解析式可以變換成關(guān)于的二次函數(shù)，定義域為，應(yīng)該討論二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸相對于區(qū)間的位置，才能確定其最值。解：設(shè)10.判別式法例10求函數(shù)的最值。[分析]同一變量分子、分母最高次數(shù)齊次，常用判別式法和常數(shù)分離法。解：時此時一元二次方程總有實(shí)數(shù)解由y=3，tanx=-1，由11.分類討論法 含參數(shù)的三角函數(shù)的值域問題，需要對參數(shù)進(jìn)行討論。例11：設(shè)，用a表示f(x)的最大值M(a).解：令sinx=t,則當(dāng)，即在[0，1]上遞增，當(dāng)即時，在[0，1]上先增后減，當(dāng)即在[0，1]上遞減，附：1．y=asinx+bcosx型的函數(shù)『特點(diǎn)』含有正余弦函數(shù)，并且是一次式『方法』解決此類問題的指導(dǎo)思想是把正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù)。應(yīng)用課本中現(xiàn)成的公式即可：y=sin(x+)，其中tg=.（2005年廣東高考第15題）值域2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函數(shù)。『特點(diǎn)』含有sinx,cosx的二次式『方法』處理方式是降冪，再化為型1的形式來解。2005遼寧高考18題何值時面積最大？3．y=asin2x+bcosx+c型的函數(shù)『特點(diǎn)』含有sinx,cosx，并且其中一個是二次『方法』應(yīng)用sin2x+cos2x=1,使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù)，再應(yīng)用換元法，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)來求解。（2005年浙江高考第8題）已知k<-4,則函數(shù)y=cos2x+k（cosx-1）的最小值是（）A.1B.–1C.2k+1D.–2k+14．y=型的函數(shù)『特點(diǎn)』一個分式，分子、分母分別會有正、余弦的一次式。幾乎所有的分式型都可以通過分子，分母的化簡，最后整理成這個形式『方法』多樣，可以自己任意選擇例4．求函數(shù)y=的最大值和最小值。解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y,即sin(x+)=，∵|sin(x+)|≤1,∴≤1，解出y的范圍即可。解法2：表示的是過點(diǎn)(2,2)與點(diǎn)(cosx,sinx)的斜率，而點(diǎn)(cosx,sinx)是單位圓上的點(diǎn)，觀察圖形可以得出在直線與圓相切時取極值。解法3：應(yīng)用萬能公式設(shè)t=tg()則y=即(2-3y)t2-2t+2-y=0根據(jù)Δ≥0解出y的最值即可。6．含有sinx與cosx的和與積型的函數(shù)式?！禾攸c(diǎn)』含有或經(jīng)過化簡整理后出現(xiàn)sinx+cosx與sinxcosx的式子『方法』處理方式是應(yīng)用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成二次函數(shù)的問題。例6．求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。解：令sinx+cosx=t,(-≤t≤)，則1+2sinxcosx=t2所以2sinxcosx=t2-1,所以y=t2-1+t=(t+)2-.根據(jù)二次函數(shù)的圖象，解出y的最大值是1+。課后總結(jié)：T同步：三角函數(shù)圖像變換及解三角形T同步：三角函數(shù)圖像變換及解三角形★★教學(xué)目標(biāo)：知識講解：三角函數(shù)的圖象變換函數(shù)的圖象變換涉及三種基本變換：相位變換：把的圖象上所有點(diǎn)向左（當(dāng)>0時）或向右（當(dāng)<0時）平移||個單位，得到的圖像。周期變換：把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω>1時）或伸長（當(dāng)0<ω<1時）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像。3．振幅變換：把的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A>1時）或縮短（當(dāng)0<A<1時）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到的圖像。函數(shù)y=Asin（ωx＋φ）的圖像可由y=sinx的圖像經(jīng)過如下變換而得到：其中相位變換中平移量|φ|個單位，φ＞0時，向左移，φ＜0時向右移；周期變換中的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)為原來的倍；振幅變換中，橫坐標(biāo)不變，而縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍．例1．把函數(shù)的圖像適當(dāng)變動就可以得到y(tǒng)=sin(－3x)的圖像，這種變動可以是（）A.向右平移B.向左平移C.向右平移D.向左平移解析：∵，∵按“左加右減”的規(guī)律，把函數(shù)y=sin(－3x)的圖像向右平移能得到函數(shù)的圖像，∴反過來，把函數(shù)的圖像平移成函數(shù)y=sin(－3x)的圖像只需向左平移，故選D.當(dāng)變換順序改變后，即先周期變換，后相位變換時，平移量變?yōu)閭€單位．圖象變換過程還可表述為：即例2．要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）個單位長度（A）向左平移（B）向右平移（C）向左平移（D）向右平移分析：因為，由圖象變換可知應(yīng)將函數(shù)的圖象向右平行移動，移動單位為，即有，于是選（D）。變式：要得到的圖像，只需將的圖像（）個單位長度（A）向左平移（B）向右平移（C）向左平移（D）向右平移分析：因為，即，所以選（C）。評注：進(jìn)行圖像變換時應(yīng)切記無論是哪種變換都是對字母x而言的，注意到這一點(diǎn)就無須擔(dān)心到底是先作相位變換還是先作周期變換。二．三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中的對稱１．函數(shù)的圖象既是中心對稱圖形（關(guān)于某點(diǎn)對稱），又是軸對稱圖形（關(guān)于某直線對稱），的對稱中心是，，對稱軸為．特殊地，原點(diǎn)是其一個對稱中心．的對稱中心是，，對稱軸為，．特殊地，軸是其一條對稱軸．2．函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，其對稱中心為．3．正弦函數(shù)y=sinx的對稱軸是x=k+（k∈Z），它的對稱軸總是經(jīng)過它圖象的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)。由于三角函數(shù)y=是由正弦函數(shù)y=sinx復(fù)合而成的，所以令=k+，就能得到y(tǒng)=的對稱軸方程x=（k∈Z）。通過類比可以得到三角函數(shù)y=的對稱軸方程x=（k∈Z）。１．正向應(yīng)用所謂正向應(yīng)用即直接告訴我們函數(shù)解析式，求函數(shù)的對稱軸方程或?qū)ΨQ中心坐標(biāo)，或利用對稱性解決其他問題．例１．函數(shù)的對稱軸方程是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．解：令，得．故選（Ａ）．２．逆向應(yīng)用所謂逆向應(yīng)用即知道函數(shù)的對稱性，求函數(shù)解析式中的參數(shù)的取值．例３．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，則（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解：∵函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，且，∴函數(shù)圖象過原點(diǎn)，即．，即．故選（Ｂ）．3．綜合運(yùn)用例４．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值．解：是偶函數(shù)，軸是其對稱軸，即軸經(jīng)過函數(shù)圖象的波峰或波谷，，又，．由的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，即，又，．當(dāng)時，，在上是減函數(shù)；當(dāng)時，，在上是減函數(shù)；當(dāng)時，，在上不是單調(diào)函數(shù)．綜上所述，或．說明：本題綜合考察函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及圖象的對稱性．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱亦可轉(zhuǎn)化為，再令得到，再得到．解三角形1．直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。2．斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面積公式：（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑）（5）△＝；（6）△＝；；（7）△＝r·s。4．解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內(nèi)角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對應(yīng)的三個角為A、B、C。（1）角與角關(guān)系：A+B+C=π；（2）邊與邊關(guān)系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理（R為外接圓半徑）；余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA；它們的變形形式有：a=2RsinA，，。5．三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1）角的變換因為在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。（3）在△ABC中，熟記并會證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。典例解析：題型1：正、余弦定理（2009岳陽一中第四次月考）.已知△中，，，，，，則 （）A.．B．C．D．或答案C例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，（2）根據(jù)正弦定理， 因為＜＜，所以，或①當(dāng)時，，②當(dāng)時，，點(diǎn)評：應(yīng)用正弦定理時（1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；（2）對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計算器例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A；（2）在ABC中，已知，，，解三角形解析：（1）∵=cos==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos ∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴（2）由余弦定理的推論得：cos；cos ；點(diǎn)評：應(yīng)用余弦定理時解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。題型2：三角形面積例3．在中，，，，求的值和的面積。解法一：先解三角方程，求出角A的值。又,,。解法二：由計算它的對偶關(guān)系式的值。=1\*GB3①,=2\*GB3②=1\*GB3①+=2\*GB3②得：。=1\*GB3①－=2\*GB3②得：。從而。以下解法略去。點(diǎn)評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學(xué)考查運(yùn)算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來，你認(rèn)為哪一種解法比較簡單呢？例4．（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于，的取值范圍為答案

2解析設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，例5．（2009浙江理）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足，．（I）求的面積；（II）若，求的值．解（1）因為，，又由得，（2）對于，又，或，由余弦定理得，例6．（2009全國卷Ⅰ理）在中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為、、，已知，且求b分析：:此題事實(shí)上比較簡單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2)過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分.解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得:.又,.所以 ①又，，即由正弦定理得，故 ②由①，②解得.評析:從08年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運(yùn)用能力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行，不必強(qiáng)化訓(xùn)練題型4：三角形中求值問題例7．的三個內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。解析：由A+B+C=π，得eq\f(B+C,2)=eq\f(π,2)－eq\f(A,2)，所以有coseq\f(B+C,2)=sineq\f(A,2)。cosA+2coseq\f(B+C,2)=cosA+2sineq\f(A,2)=1－2sin2eq\f(A,2)+2sineq\f(A,2)=－2(sineq\f(A,2)－eq\f(1,2))2+eq\f(3,2)；當(dāng)sineq\f(A,2)=eq\f(1,2)，即A=eq\f(π,3)時,cosA+2coseq\f(B+C,2)取得最大值為eq\f(3,2)。點(diǎn)評：運(yùn)用三角恒等式簡化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。例8．（2009浙江文）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足，．（I）求的面積；（II）若，求的值．解（Ⅰ）又，，而，所以，所以的面積為：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以所以點(diǎn)評：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計算能力題型5：三角形中的三角恒等變換問題例9．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac。又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=。解法二：在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB?！遙2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB?！?sinA=。評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求的值。解析：因為A、B、C成等差數(shù)列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，從而＝60°，故tan.由兩角和的正切公式，得。所以。點(diǎn)評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運(yùn)用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結(jié)合三角變換公式的逆用。題型6：正、余弦定理判斷三角形形狀例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B點(diǎn)評：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑例12．（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。解（I）∵為銳角，∴∵∴（II）由（I）知，∴由得，即又∵∴∴北2010A北2010AB??C題型7：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例13．（2009遼寧卷理）如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離（計算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.