第一章 狀態(tài)空間法

自動(dòng)控制原理Ⅱ

第一章狀態(tài)空間法一.問題的引出1--古典控制理論的局限性

1、僅適用于SISO的線性定常系統(tǒng)(外部描述，時(shí)不變系統(tǒng))2、古典控制理論本質(zhì)上是復(fù)頻域的方法.(理論)3、設(shè)計(jì)是建立在試探的基礎(chǔ)上的.(應(yīng)用)4、系統(tǒng)在初始條件為零,或初始松馳條件下,才能采用傳遞函數(shù).控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述而實(shí)際上大多數(shù)系統(tǒng)表現(xiàn)為:1、多輸入，多輸出.（抽象定義，系統(tǒng)具有合格性）

2、時(shí)變.（總是可找到一些參數(shù)是隨時(shí)間變化的）

3、非線性.（泛指運(yùn)動(dòng)本身的非線性特征）

4、復(fù)雜性，復(fù)雜任務(wù)和高精度.

因此古典控制理論解決問題受到限制,需要尋找新的解決方法.這種方法或理論應(yīng)要求:1、描述多輸入/輸出復(fù)雜系統(tǒng)的方法和理論基礎(chǔ).2、具有可計(jì)算的形式.3、解析式設(shè)計(jì)

4、能描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)和終端行為(內(nèi)部描述).5、系統(tǒng)t=0松馳狀態(tài),非松馳狀態(tài),或非線性時(shí)變等情況下的適用性.結(jié)論--對研究內(nèi)容的界定和限制

所以對于一個(gè)多輸入/輸出系統(tǒng)來說:1、采用在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行建模，且由于是對實(shí)際物理系統(tǒng)進(jìn)行模型描述，因而模型中的所有變量和函數(shù)均假定為實(shí)數(shù)x∈。

2、數(shù)學(xué)描述的主要手段是微分方程，并應(yīng)充分利用系統(tǒng)的內(nèi)部描述法來建立微分方程，以充分表述系統(tǒng)的內(nèi)部特性.3、適用于非初始松馳或非零初始條件的系統(tǒng)狀態(tài).4、主要研究線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng).二.問題的引出2--狀態(tài)空間分析方法通過一個(gè)實(shí)例引出狀態(tài)空間分析方法的基本概念.

例:設(shè)有如圖所示網(wǎng)絡(luò)顯然,若流經(jīng)電感的初始電流及電容兩端的初始電壓已知,則在任何電壓驅(qū)動(dòng)下,網(wǎng)絡(luò)的行為能唯一地確定。從u到y(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)求得為:(1)

故該網(wǎng)絡(luò)的脈沖響應(yīng)為:(1)現(xiàn)將輸入電壓u[,∞)施加于網(wǎng)絡(luò),且網(wǎng)絡(luò)設(shè)定為時(shí)不變的.(1)若在時(shí)刻系統(tǒng)是松馳的,則其輸出為:(2)

(2)若在時(shí)刻非松馳（前有輸入，系統(tǒng)有能量儲(chǔ)存），則系統(tǒng)輸出為:(3)

顯然在以前施加于系統(tǒng)的輸入能通過電容和電感的能量存儲(chǔ)對之后的輸出產(chǎn)生影響.

現(xiàn)在我們考慮由未知輸入u(-∞,]對y[,∞)的影響,即（4）其中:

注意到和與t無關(guān),因此如果和已知,則由未知的輸入u(-∞,]引起的在t≥之后的輸出就完全可以確定。由式（3）得到并利用式（4）的結(jié)果，得

（5）對式(3)取關(guān)于t的導(dǎo)數(shù),并利用得到:連同g(0)=0,就意味著有(6)聯(lián)立式(5)和式(6),得到

從而若網(wǎng)絡(luò)在時(shí)刻非松馳則輸出由下式給出:

結(jié)論:若和已知(時(shí)刻系統(tǒng)的一種狀態(tài)),即使網(wǎng)絡(luò)在時(shí)刻非松馳,它在t≥u[,∞)之后的輸出也能唯一的被確定.顯然是由和，u[,∞)共同唯一地確定.因此和可以作為網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài),同樣也可用和作為網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài),而這兩組數(shù)的原函數(shù)是微分方程的變量.從例子中也可以看出來,在無限區(qū)間(-∞,]上的輸入,其作用效果已綜合在{,}和{,}兩個(gè)數(shù)中,因此狀態(tài)概念非常有意義和有效.從上述例子可得到如下結(jié)論:1、系統(tǒng)狀態(tài)不是唯一的.2、狀態(tài)的選擇與物理量有關(guān),一般應(yīng)該是相互獨(dú)立的儲(chǔ)能元件的物理量.3、每一瞬時(shí)的狀態(tài)可以是僅由有限個(gè)數(shù)的集合組成.

定義1.狀態(tài)

系統(tǒng)在時(shí)刻的狀態(tài)乃是時(shí)刻的一種信息量,它與輸入u[,∞)唯一地確定系統(tǒng)t≥時(shí)的行為。注：系統(tǒng)行為指包括狀態(tài)在內(nèi)的系統(tǒng)的所有響應(yīng)。狀態(tài)即指某一時(shí)刻的,可以表征系統(tǒng)特征或行為的數(shù)。而該數(shù)的原函數(shù)則可稱為狀態(tài)變量,而這種函數(shù)不但可以描述某一時(shí)刻的行為，并可在[,∞)內(nèi)描述行為,為此定義狀態(tài)變量是:

定義2.狀態(tài)變量

狀態(tài)變量是確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量,如果以最少的n個(gè)變量可以完全描述系統(tǒng)的行為(即當(dāng)t≥時(shí)輸入和在t=初始狀態(tài)給定后,系統(tǒng)的狀態(tài)完全可以確定),那么是一組狀態(tài)變量.

定義3.狀態(tài)向量（有限個(gè)數(shù)的狀態(tài)變量的集合）如果將狀態(tài)變量作為向量x(t)的各個(gè)分量,則稱x(t)為狀態(tài)向量,一旦給定時(shí)刻的狀態(tài)向量,則它與輸入u[,∞)唯一地確定系統(tǒng)在t≥時(shí)的狀態(tài)x(t)。

定義4.狀態(tài)空間若狀態(tài)向量x(t),可唯一地由空間中一組規(guī)范正交基底(單位坐標(biāo)向量)線性組合表示,則狀態(tài)向量x(t)是n維狀態(tài)空間(,n)中的一個(gè)向量,所有狀態(tài)向量x(t)集合組成n維的狀態(tài)空間(,n)

或定義為:通常狀態(tài)變量均為有實(shí)際意義的實(shí)數(shù)值,因此狀態(tài)向量的取值空間是有限維實(shí)向量空間,稱為狀態(tài)空間?？偨Y(jié):

(1)根據(jù)狀態(tài)變量的定義,狀態(tài)變量應(yīng)選取系統(tǒng)中相互獨(dú)立儲(chǔ)能元件的物理量,獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)即為狀態(tài)變量個(gè)數(shù).(2)狀態(tài)變量選取不唯一,有時(shí)選取狀態(tài)變量僅為數(shù)學(xué)描述所需,而非明確的物理意義。

(3)狀態(tài)變量是系統(tǒng)的內(nèi)部變量,一般情況下輸出是狀態(tài)的函數(shù),但輸出總是希望可量測的。

(4)僅討論有限個(gè)狀態(tài)變量的系統(tǒng)。

(5)有限個(gè)數(shù)的狀態(tài)變量的集合,稱為狀態(tài)向量。

(6)狀態(tài)向量的取值空間稱為狀態(tài)空間。例2,設(shè)下圖的RLC網(wǎng)絡(luò),如果電流i(),電容電壓()的初始值和t≥時(shí)的輸入電壓均已知,則t≥時(shí)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)完全由i(t),(t)確定.因此可將i(t)和(t)作為這個(gè)系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量.

(注意:這個(gè)系統(tǒng),也可將(t)和R*i(t)選為一組狀態(tài)變量)

設(shè)i(t)和(t)作為一組狀態(tài)向量,則描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程:用向量矩陣形式表示,則上述方程可表示為:(1)若設(shè),則上式可簡化為:

,當(dāng)輸出選定后,則可以量測的輸出,總是可以通過狀態(tài)變量和輸入的線性組合得到.y=Cx+Du(2)

此例中D=0,,即由此，我們可以得出，現(xiàn)代控制理論或狀態(tài)空間分析方法是建立在系統(tǒng)采用有限個(gè)一階微分方程描述的基礎(chǔ)上，而有限個(gè)一階微分方程組成了向量—矩陣方程，因而從本質(zhì)上來說，現(xiàn)代控制理論的分析方法是時(shí)域分析方法.控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述---線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式是描述系統(tǒng)行為的數(shù)學(xué)模型,它包括輸出方程和狀態(tài)方程,狀態(tài)方程由有限個(gè)一階微分方程組成,而輸出方程則是狀態(tài)向量和輸入的函數(shù).1.狀態(tài)方程x(t)是n*1維向量,A(t)是n*n維向量,B(t)是n*r維向量,u(t)是r*1維向量,(1)如果是線性定常系統(tǒng),則是常系數(shù)矩陣,則狀態(tài)方程可寫為:(2)如果是單輸入系統(tǒng),則狀態(tài)方程描述了時(shí)刻和狀態(tài)和輸入所決定的系統(tǒng)在的行為.2.輸出方程輸出方程是在指定輸出變量情況下,(輸出變量往往是選取可以量測的物理量)其輸出變量與狀態(tài)變量以及輸入變量之間的關(guān)系.用其中:

是m*1維向量,,

是m*n維向量,,

是m*r維向量,,

3.狀態(tài)空間表達(dá)式

1)線性時(shí)變系統(tǒng):

2)線性時(shí)不變系統(tǒng):

在通常情況下，大多數(shù)還是研究線性是不變系統(tǒng)，即線性定常系統(tǒng)，因此本課程的主要研究對象是線性定常系統(tǒng)。4.狀態(tài)空間描述的結(jié)構(gòu)圖(或稱狀態(tài)變量圖)例:根據(jù)上例畫出結(jié)構(gòu)圖.解:先將例子寫成下述形式

則結(jié)構(gòu)圖為:畫法:

1)根據(jù)狀態(tài)方程從方程右邊開始畫起.2)通過∫積分環(huán)節(jié)得到狀態(tài).3)通過狀態(tài)反饋的組合得到狀態(tài)的微分

4)通過狀態(tài)的組合得到輸出.5.輸入/輸出描述和狀態(tài)變量描述的比較

(1)系統(tǒng)的輸入/輸出描述僅揭示系統(tǒng)在初始松馳的假定下輸入—輸出間的關(guān)系.因此對非松馳系統(tǒng)不能采用這種描述.尤為重要的問題,此描述不能揭示非初始松馳時(shí)系統(tǒng)將發(fā)生的行為,也不能揭示系統(tǒng)的內(nèi)部行為.(2)對于甚為復(fù)雜的線性系統(tǒng),求其動(dòng)態(tài)方程描述是很繁的,在此情況下,借助于直接測量求取輸入/輸出描述可能稍容易一些.

(3)狀態(tài)變量法中的各種結(jié)果均能以傳遞函數(shù)法得到.(4)狀態(tài)空間表達(dá)式能夠推廣到時(shí)變情形,且這種狀態(tài)空間描述方程可適用于多種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法.(5)在非線性系統(tǒng)的研究中,可以根據(jù)不同的方法,而采用上述兩種描述方法中的一種.(6)采用狀態(tài)空間描述的形式,可方便地進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真.

三.狀態(tài)空間表達(dá)式的建立根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理,直接寫出狀態(tài)空間表達(dá)式,如例2.方法:依據(jù)有關(guān)物理定律,或直接建立所選擇狀態(tài)變量的一階微分方程組.或?qū)⒌玫降奈⒎址匠袒癁樗x狀態(tài)變量的一階微分方程組.討論:

(1)這種方法要求系統(tǒng)是完全可數(shù)學(xué)描述的,即結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須是確定的物理系統(tǒng).(2)系統(tǒng)是能描述的簡單物理系統(tǒng).在一般情況下,只有簡單的物理系統(tǒng)才能直接建立按所選擇狀態(tài)變量的一階微分方程.(3)復(fù)雜物理系統(tǒng),在這種情況下,對系統(tǒng)的描述可能是n階的線性微分方程,故而需將高階微分方程轉(zhuǎn)成一階微分方程形式.根據(jù)系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式.1.輸入項(xiàng)中不含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的線性系統(tǒng)空間狀態(tài)表達(dá)式系統(tǒng)描述為:(1)

討論:狀態(tài)如何選擇對方程(1),若已知和則可完全確定系統(tǒng)在的行為,故而可選取

n個(gè)狀態(tài)作為狀態(tài)變量.注意到,從數(shù)學(xué)上講,這種方法是方便的,但在實(shí)際情況下,輸出中可能存在噪聲效應(yīng),因而高階微分是不準(zhǔn)確的,這是需要注意的.解:設(shè)則方程(1)可寫成:(2)

或?qū)懗删仃囆问?其中輸出方程:顯然這種結(jié)果很容易地推廣到r個(gè)輸入(但不含輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng))的情形中,以一個(gè)例子說明.例:設(shè)為系統(tǒng)的微分方程其中y為輸出,為輸入,試求狀態(tài)空間表達(dá)式.解:設(shè)則及即:其中2.輸入中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的n階線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式.系統(tǒng)方程:

(3)討論:1)選擇狀態(tài)變量顯然以及和就可唯一確定時(shí)的行為.2)不能單純將輸入,輸出作為狀態(tài)變量,必須用輸入/輸出的線性組合作為狀態(tài)變量,且為了得到狀態(tài)空間的簡約形式,狀態(tài)變量的選擇必須能消去狀態(tài)方程中輸入u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng).用兩個(gè)方法來解決問題:(1)將方程(3)寫成微分算子的形式,即令為微分算子,則原方程可寫成（4）y(t)亦可表示為:

（5）

設(shè)一新變量v(t),并令

(6)

將上式寫成微分形式,則為:(7)取狀態(tài)變量則上式又可寫成狀態(tài)方程

(8)

將式(6)代入式(5)得到輸出方程即或

(9)式(8)和式(9)組成狀態(tài)空間表達(dá)式顯然,上述結(jié)果亦可方便地推廣到多輸入,多輸出的情形.(2)選取合適的狀態(tài)變量以消去輸入項(xiàng)中的導(dǎo)數(shù)形式.設(shè)狀態(tài)變量為: