浙江諸暨市牌頭中學(xué)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題試卷解析_第1頁
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浙江諸暨市牌頭中學(xué)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題試卷解析注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知曲線的一條對(duì)稱軸方程為,曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B. C. D.2.已知命題,那么為()A. B.C. D.3.在中,,,分別為角,,的對(duì)邊,若的面為,且,則()A.1 B. C. D.4.已知數(shù)列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.335.已知點(diǎn)P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點(diǎn)P在第一象限,點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A,點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,設(shè),直線AD與橢圓τ的另一個(gè)交點(diǎn)為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.6.已知,則()A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B. C.1 D.8.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的整數(shù)的最大值為()A.7 B.15 C.31 D.6310.下列命題中,真命題的個(gè)數(shù)為()①命題“若,則”的否命題;②命題“若,則或”;③命題“若,則直線與直線平行”的逆命題.A.0 B.1 C.2 D.311.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的).類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形,它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大等邊三角形.設(shè),若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小等邊三角形(陰影部分)的概率是()A. B. C. D.12.已知函數(shù),下列結(jié)論不正確的是()A.的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 B.既是奇函數(shù),又是周期函數(shù)C.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D.的最大值是二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為,、為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,若,且直線的斜率為,則__________,雙曲線的離心率為__________.14.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓及點(diǎn),設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),在中,若的角平分線與相交于點(diǎn),則的取值范圍是_______.15.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),記為的前n項(xiàng)和,若,,則________.16.已知函數(shù),在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),則使得≥0的概率為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷,規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客,均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).摸獎(jiǎng)規(guī)則如下:獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球則摸獎(jiǎng)停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元,摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元,摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).(1)求1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率;(2)記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)已知函數(shù)的圖象向左平移后與函數(shù)圖象重合.(1)求和的值;(2)若函數(shù),求的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對(duì)稱軸方程.19.(12分)已知函數(shù)(I)當(dāng)時(shí),解不等式.(II)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍20.(12分)已知.(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為.(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線上的點(diǎn)到距離的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時(shí),若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

在對(duì)稱軸處取得最值有,結(jié)合,可得,易得曲線的解析式為,結(jié)合其對(duì)稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對(duì)稱軸.,又..∴平移后曲線為.曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為..,注意到故的最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,涉及到函數(shù)的平移、函數(shù)的對(duì)稱性,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,是一道中檔題.2、B【解析】

利用特稱命題的否定分析解答得解.【詳解】已知命題,,那么是.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查特稱命題的否定,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求出的值,然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解:由,得,∵,∴,即即,則,∵,∴,∴,即,則,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用,結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.4、C【解析】

依次遞推求出得解.【詳解】n=1時(shí),,n=2時(shí),,n=3時(shí),,n=4時(shí),,n=5時(shí),.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5、C【解析】

設(shè),則,,,設(shè),根據(jù)化簡(jiǎn)得到,得到答案.【詳解】設(shè),則,,,則,設(shè),則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.6、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式得,,再利用倍角公式,即可得答案.【詳解】由可得,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意三角函數(shù)的符號(hào).7、A【解析】

由降冪公式,兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值.【詳解】,時(shí),,,∴,由題意,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式,考查兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)性質(zhì),掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8、A【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足,的基本量,根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列,若成立,有,因?yàn)楹愠闪ⅲ士梢酝瞥銮?,若成立,?dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有,因?yàn)楹愠闪?,所以有,故可以推出,,所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解,充分必要條件的集合關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】試題分析:由程序框圖可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后輸出,此時(shí),則的最大值為15,故選B.考點(diǎn):程序框圖.10、C【解析】

否命題與逆命題是等價(jià)命題,寫出①的逆命題,舉反例排除;原命題與逆否命題是等價(jià)命題,寫出②的逆否命題后,利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗(yàn)證正確;寫出③的逆命題判,利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若,則”,令,可知該命題為假命題,故否命題也為假命題;②的逆否命題為“若且,則”,該命題為真命題,故②為真命題;③的逆命題為“若直線與直線平行,則”,該命題為真命題.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路:(1)判斷一個(gè)命題的真假時(shí),首先要弄清命題的結(jié)構(gòu),即它的條件和結(jié)論分別是什么,然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行判斷.(2)當(dāng)一個(gè)命題改寫成“若,則”的形式之后,判斷這個(gè)命題真假的方法:①若由“”經(jīng)過邏輯推理,得出“”,則可判定“若,則”是真命題;②判定“若,則”是假命題,只需舉一反例即可.11、A【解析】

根據(jù)幾何概率計(jì)算公式,求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.【詳解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問題,是基礎(chǔ)題.12、D【解析】

通過三角函數(shù)的對(duì)稱性以及周期性,函數(shù)的最值判斷選項(xiàng)的正誤即可得到結(jié)果.【詳解】解:,正確;,為奇函數(shù),周期函數(shù),正確;,正確;D:,令,則,,,,則時(shí),或時(shí),即在上單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減;且,,,故D錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)周期性和對(duì)稱性的判斷,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)最值,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè),,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得坐標(biāo),利用可得到點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程,結(jié)合直線斜率可求得,進(jìn)而求得;將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程,結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得,進(jìn)而得到離心率.【詳解】左焦點(diǎn)為,雙曲線的半焦距.設(shè),,,,,,即,,即,又直線斜率為,即,,,,在雙曲線上,,即,結(jié)合可解得:,,離心率.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用問題,涉及到直線截雙曲線所得線段長(zhǎng)度的求解、雙曲線離心率的求解問題;關(guān)鍵是能夠通過設(shè)點(diǎn)的方式,結(jié)合直線斜率、垂直關(guān)系、點(diǎn)在雙曲線上來構(gòu)造方程組求得所需變量的值.14、【解析】

由角平分線成比例定理推理可得,進(jìn)而設(shè)點(diǎn)表示向量構(gòu)建方程組表示點(diǎn)P坐標(biāo),代入圓C方程即可表示動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程,再由將所求視為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離,所以其最值為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑.【詳解】由題可構(gòu)建如圖所示的圖形,因?yàn)锳Q是的角平分線,由角平分線成比例定理可知,所以.設(shè)點(diǎn),點(diǎn),即,則,所以.又因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),則,故點(diǎn)Q的運(yùn)功軌跡是以為圓心為半徑的圓,又即為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離,因?yàn)?,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問題,常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑,還考查了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,屬于中檔題.15、127【解析】

已知條件化簡(jiǎn)可化為,等式兩邊同時(shí)除以,則有,通過求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查通過遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.16、【解析】試題分析:可以得出,所以在區(qū)間上使的范圍為,所以使得≥0的概率為考點(diǎn):本小題主要考查與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的概率計(jì)算.點(diǎn)評(píng):幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題,包括“長(zhǎng)度”、“角度”、“面積”、“體積”等,但要注意求概率時(shí)做比的上下“測(cè)度”要一致.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)20.【解析】

(1)1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止,說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,即求概率;(2)的可能取值為:0,10,20,30,1.分別求出取各個(gè)值時(shí)的概率,即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止,說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,所以1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率.(2)的可能取值為:0,10,20,30,1.,∴隨機(jī)變量X的分布列為:X01020301P數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.18、(1),;(2),,.【解析】

(1)直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.(2)首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)由題意得,,(2)由,解得,所以對(duì)稱軸為,.由,解得,所以單調(diào)遞增區(qū)間為.,【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題型.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間法,去掉絕對(duì)值解不等式;(2)根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得,因此將問題轉(zhuǎn)化為恒成立,借此不等式即可.試題解析:(Ⅰ)由得,,或,或解得:所以原不等式的解集為.(Ⅱ)由不等式的性質(zhì)得:,要使不等式恒成立,則當(dāng)時(shí),不等式恒成立;當(dāng)時(shí),解不等式得.綜上.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20、(1)答案不唯一,具體見解析(2)【解析】

(1)分類討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)分離出參數(shù)后,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決,注意函數(shù)定義域.【詳解】(1)由得或①當(dāng)時(shí),由,得.由,得或此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為和.②當(dāng)時(shí),由,得由,得或此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為和綜上:當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為和當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為和.(2)依題意,不等式恒成立等價(jià)于在上恒成立,可得,在上恒成立,設(shè),則令,得,(舍)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),當(dāng)變化時(shí),,變化情況如下表:10單調(diào)遞增單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí),取得最大值,,∴.∴的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題,屬于中檔題.21、(1),.(2)【解析】

(1)根據(jù)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),即可求得的的普通方程,曲線的極坐標(biāo)方程為,利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式:,即可求得答案;(2)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,根據(jù)點(diǎn)到直

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