2021年新高考數(shù)學金榜沖刺模擬卷（江蘇專用）（解析版）

卷05-2021年新高考數(shù)學金榜沖刺模擬卷（江蘇專用）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知集合4=5|一3K2x-l<1},B=^x\2x-x1>0|,則4口8=（）

A.（0,2]B.[0,1]C.[-1,0）D.（0,1]

【答案】D

【詳解】

由題意，A={x|-l<x<l},8={x|0<x<2},所以4cB=（0,1].

2.已知復數(shù)2='+'，，其中i為虛數(shù)單位，則>z=（）

22

D.1-1/

22

【答案】A

【詳解】

故選：A

3.己知非零向量￡石滿足W=4同，且￡J_（2￡+楊，則￡與石的夾角為（）

2萬5乃

A.3B.2C.—D.

3~6

【答案】c

【詳解】

/a±(2a+B)，/.。?(2。+石尸0,2“+a?b=0,

即2口1+同忸,。5〈￡石〉=0.v|5|=4\a\,/.2\a\+4|5|2cos^a,力=0,

.?.〈〃—,—力=2子7r.

/.COS〈Q,B〉=——

4.我國的5G通信技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一是著名的香農（Shannon）公式，香農提出并嚴

格證明了“在被高斯白噪聲干擾的信道中，計算最大信息傳送速率C的公式C=W」og2（l+，），其中W

s

是信道帶寬（赫茲），S是信道內所傳信號的平均功率（瓦），N是信道內部的高斯噪聲功率（瓦），其中一

N

1

叫做信噪比.根據此公式，在不改變W的前提下，將信噪比從99提升至2,使得。大約增加了60%,則X

的值大約為（）（參考數(shù)據：10°2*1.58）

A.1559B.3943C.1579D.2512

【答案】C

【詳解】

Wlog2(l+；l)—Wlog2(1+99)

由題意得:?60%,

Wlog2(l+99)

log2（l+/l）

則"16，1+2?100,6=1032=1031002?1580，

log,100

4?1579

5.魏晉時期，我國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提出了割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，

以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣割圓術可以視為將一個圓內接正〃邊形等分成〃個等腰三角形（如

圖所示），當〃變得很大時，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術的思想，可得到sin30的

近似值為（）（乃取近似值3.14）

【答案】B

【詳解】

36001

當〃=120時，每個等腰三角形的頂角為需=3。，則其面積為SA=//Sin3。，

乂因為等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，

所以120',廠251113°2萬r2=>5皿3°2￡.故選：B

260

6.《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小

鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻.大老鼠第一天進一尺，

以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚，第〃天后大老鼠打洞的總進度是小

2

老鼠的4倍，則〃的值為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【詳解】

設大老鼠每天打洞的長度構成等比數(shù)列｛4｝，

1-2”

則4=l,q=2,所以s,=L^=2"-1.

"1-2

設小老鼠每天打洞的長度構成等比數(shù)列｛b?｝,

所以*=匚彳1=2口_（:）"］.

則4=l,g=；

1,2

2

即2"—1=81—［；］,化簡得4"—9x2"+8=0

所以S“=4加

解得：〃=3或〃=1（舍）

X

7.已知雙曲線Cj=13>0,AO）的右焦點為F,點A,B分別為雙曲線的左，右頂點，以A8為直

a-

徑的圓與雙曲線C的兩條漸近線在第一，二象限分別交于P,。兩點，若。。〃「尸（。為坐標原點），則該雙

曲線的離心率為（）

A.V5B.2C.D.V2

【答案】D

【詳解】

如圖所示，NAOQ=NOFP,

乂???雙曲線的漸近線關于>軸對稱，.,.ZFOP=NAOQ,.../0/f=/尸0「,...0尸產為等腰三角形，

作，O尸，垂足為〃，過5作BQ_Lx軸，交漸近線第一象限部分于D,

則R€OMP^R€OBD,|OB|=a,\BD\^仇|。叫=尸|=；c,

\OP\=a,\PM\=葉叫2=J/f.

3

由三角形相似的性質得MH/.即三

2

整理得c4=4/,...e=￡=血，故選：口.

a

8.如圖所示，四棱錐產一ABC。中，四邊形A3CD為矩形,平面出￡），平面ABCD若ZBPC=9Q°，

PB=j2,PC=2,則四棱錐產一A5C￡＞的體積最大值為（）

1

4B

A-nYCfD.逅

5

【答案】c

【詳解】

如圖所示，作PO_LA。，垂足為0,作OG_L3C,垂足為G,連接GP,

?.?平面P4D_L平面ABCD，平面PAD0平面ABCD=AD,

/.PO_L平面ABC。，

在ABPC中，???N8PC=90°，PB=4i，PC=2,

4

BPPC_273

BC=4BP-+PC-=V6，/.PG=

BC-亍

設AB=x，則OG=x，PO

Vp-ABCD§PO.SA4BC0=§一元2X瓜C,

3/2）.%|X（3-］）=6,當且僅當龍邛時取等號,

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，

全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.Keep是一款具有社交屬性的健身APP,致力于提供健身教學、跑步、騎行、交友及健身飲食指導、裝備

購買等一站式運動解決方案.Keep可以讓你隨時隨地進行鍛煉，記錄你每天的訓練進程.不僅如此，它還可以

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的里程（單位：十公里）數(shù)據整理并繪制了下面的折線圖.根據該折線圖，下列結論正確的是（）

5

A.月跑步里程最小值出現(xiàn)在2月

B.月跑步里程逐月增加

C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應的里程數(shù)

D.1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小

【答案】ACD

【詳解】

由折線圖可知，月跑步里程的最小值出現(xiàn)在2月，故A正確；

月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正確；

月跑步里程數(shù)從小到大排列分別是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，II月，9月，10月,

故5月份對應的里程數(shù)為中位數(shù)，故C正確；

1月到5月的月跑步平均里程相對于6月至11月波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確.

10.已知〃、b均為正實數(shù)，則下列不等式不一定成立的是（）

A.ci+b-\—23B.（a+b}\—I—|>4

瘋'b）

a1+b22abi—r

C.—i——Na+bD.―i之vab

y/ciba+b

【答案】AD

【詳解】

對于A,a+b+—j=>2y[ab+,—>2\/2<3,當且僅當〃=力=時等號同時成立；對于B,

7ab7ab2

（?+Mf-+->l=2+-4-->2+2J---=4,當且僅當a=h時取等號；

hJha\ha

對于c,吧N（a+〃）=a+b，當且僅當。=b時取等號；

>Jab2\jaba+b

2ab_3

對于D,當。=—,〃=一時,

y/a+b5

2abr-r

所以/<\!ab.

+b

6

11.如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y=Asin(Q*+e)+B(O<e<〃),

則下列說法正確的是()

B.該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線％=14

jr37r、

(—X+—1+20(6<x<14)

D.該市這一天中午12時天氣的溫度大約是27°C

【答案】ABD

【詳解】

對于A選項,III圖象?-J'為I，該函數(shù)的最小正周期為丁=2x(14—6)=16.A選項正確；

對于B選項,該函數(shù)在x=14取得最大值，所以，該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線x=14,B選項正確;

fA+B=30A=1027r27rTI

對于C選項,由圖象可得，T+5=6解得①————=—

8=2()'T168

???圖象經過點(14,30),/.30=lOsinf^xl4+^9j+20,sin

八7九7〃117rpi17"5434

0V0〈乃，?.——<——+0<---,則——+(p—,:.(p=—

444424

7

（JT34I

所以，函數(shù)解析式為y=10sin可%+彳）+20（0<》424）,C選項錯誤；

當x=12時，y=10sin（工xl2+包）+20=10x1+20^27,故D選項正確.

"184J2

12.新型冠狀病毒屬于夕屬的冠狀病毒，有包膜，顆粒常為多形性，其中包含著結構為數(shù)學模型的

y=Bcosco/3,y=k/3+b,人體肺部結構中包含y=Asin",y=ln4的結構，新型冠狀病毒肺炎是

由它們復合而成的，表現(xiàn)為/（尸）.則下列結論正確的是（）

A.若,+{/（0）_尸（r）=）（4+a）（q>0）,則/（4）為周期函數(shù)

B.對于,嗎幺的最小值為2

I2」〃7t

C.若/（/^=公^^一^^+歷夕在區(qū)間①⑴上是增函數(shù),則

D.若/（6）=sin（仍+°）-2cos（仍+夕），0<（p<7v,滿足〃4+1）=/（1-6），則sin2夕=一1

【答案】ABD

【詳解】

⑼-nom，則〃尸）一/2（0=;一〃4+同+尸（尸+同，

〃/?+“）二產（尸+“）=；—〃p+2a）+./（夕+2a）,

代換整理得到："（4+2。）+/（夕）—1]]*4+2。）—〃萬）]=0,

若/（夕+2。）=/（6），則/（分）為周期函數(shù)；

若〃尸+2a）+/（0—1=0,則/偽+4a）+/（⑶-1=0,“4+4。）=/（6+2。），則，（⑶為周

期函數(shù)，A正確；

設g（P）=號2，故g'（m=￡c°sq[sm>,設從尸）=4cos4一sin/,

故"（/7）=—，sin/7<0,Pe（0，m，故〃（尸）單調遞減，

旦〃（0）=4>0,/?（3=一1<0,故存在凡使〃（用）=0.

8

g(⑶在(0,月)上單調遞增，在/30,~上單調遞減，

g閨=2,當尸-0時，g(6)-1,故g(1)min=g(，)=2‘B正確;

V27TC\Zy7t

/(4)=。加(1一月)+1114在區(qū)間(0,1)上增函數(shù)，則/(0=-acos(l—m+]之0,

即黑外。5；1_/)恒成立,

設MD=/?cos(l-#),則4'(力)=cos(l-尸)+4sin(l—/?)>0,

故M4)在(0,1)上單調遞增，故P(夕)=)cos；-夕)在(°，1)上單調遞減，〃(1)=L

故aWl,。錯誤；

D.若/'(4)=sin(仍+°)_2cos(仍+同，0<0<%，滿足/(1+1)=/(1-4)，則sin2o=_|'

/(/7)=sin(仍+0)-2cos(S+o)=石sin(仍+夕一。),其中tana-2,ae(。,、)

/(4+1)=/(1—4)，即函數(shù)關于分=，對稱，故行+夕一a=]+攵乃,左eZ,

即2(p=—7t+2a+2k/r,keZ,

4

sin2^=sin+2a+2k7t)=-sin2a=-2sinacosa=--,故￡)正確；

故選：ABD.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，其中第16題分值分配為前3分、后2分，滿分共2()分)

13.在數(shù)列｛斯｝中，已知a,/=3%+|-2%，4=1,%=3,則數(shù)列｛為｝的通項公式如=.

【答案】2"-1

【詳解】

解：將4+2=3a“+i-2a“兩邊同時減去a,l+l得，

%+2-4m=2(勺+|一%),生—4=2,

4+2-4+1=2

aa

?+l~n

9

即是等比數(shù)列，其首項為2,公比為2,

所以%+i—%=(%—q)2"一|=2n,

從而當，侖時,一一

2an=(4a,—)+(a,”4-2)■1----F(4-4)+a1

,1x(1—2")

=2"-'+2"-2+.--+2+1=―------2=2n-l

1-2

又q=1=2—1,故為=2"-1

14.在四棱錐P—ABCD中，PA±^ABCD,PA^AB=AD=\，BC=CO=60=百，則四棱

錐的外接球的表面積為.

【答案】5乃

【詳解】

?.?A3=AP=1，BD=<3，由余弦定理得cos/4BO=——------------------=—.ZABD=30°，

2ABBD2

?;BC=CD=BD=6.?.NCB0=6O。，則/ABC=90同理可知NAOC=90°，

AC,

ABIBC,A。，8,二四邊形ABC。的外接圓半徑為r=-----=1,

2

FW4-

;/%_1平面ABC。，所以，該四棱錐的外接球半徑為7?=1

因此，四棱錐的外接球的表面積為4%/?2=5%.

故答案為：5n.

B

2

is.如圖，A，4分別是雙曲線c：_?一二=1（“>0）的左、右頂點，以實軸為直徑的半圓交其中一條漸

10

近線于點M，直線交另一條漸近線于點N,若M〃而,則。=，若尸2為雙曲線右

焦點，則△MF2。的周長為.

【答案】33+77

【詳解】

由已知，。4=1,漸近線方程為y=土疝，則tanNAQN=6,cosN&ON=-T=1=,

Zyj\+a

,所以ON=04cosNAON=-J—，又〃雨,。為中點，所以M4]=2NO=

y/l+a'

21

I--------,又NMQ4=NNQ4,所以cos/MO4=;——,在口加。4中，由余弦定理

>/1+。<1+?

41

可得M4：=M。2+4。2-2知。TOCOSNMQA,B|J-1+1-2x,解得

a=3,所以cosNMQ4,=；,6(2,0),*0=2,在口”。鳥中，由余弦定理可得

22

MF2=yjMO+Fp-2MO-OF2COSZMOA,=Jl+4-2x2cos(%-NMQ4,)=

5+4x1=77,所以△MF2。的周長為l+2+J7=3+J7.

X"XWQ

16.設函數(shù)/(X)=〈3'一?

x,x>a

(1)若a=0,則f(x)的最小值為；

⑵若mbeR,使方程/(x)=。有3個不相等的實根，則實數(shù)a的取值范圍是

11

【答案】0（0,1）

【詳解】

“、x2,x＜0

（1）若a=0，則/（幻=｛：，

x',x＞0

當x=0時，/（無）的最小值為"0）=0；

（2）當時，/（X）的圖象與直線y=b最多只有2個交點，如圖（1）；

當0＜。＜1時，由于“3＜。2,故存在人€（/,〃），

使得/（x）的圖象與直線y=b有3個交點，如圖（2）：

當“N1時，/（%）的圖象與直線y=8最多也只有2個交點，如圖（3）.

綜上可知，所求實數(shù)。的取值范圍是（0,1）.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

JT

17.在①AA5C面積50叱=2,②/AOC=-這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，求AC.

6

3萬

如圖，在平面四邊形A8CD中，ZABC=—，ABAC=ADAC,，CD=2AB=4,求AC.

4

【答案】見解析

12

【詳解】

解：選擇①：

I[。

S^=--AB-BC-sinZABC=--2-BC-sin—=2

AABRCr224

所以BC=2jL

由余弦定理可得

AC1=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC

=4+8-2X2X2A/2X=20

2

所以AC=05=2后

選擇②

4TT

設N84C=NCW=e，則0<e<上，ZBCA^--0,

4"4

AC2

ArAB

在機。中一^即.3萬

sinsin--0

sinZABCsinZBCA414

V2

所以“0

sinR-^

AC4

ACCD

在澳。。中,，即〃sin。

sinZADCsinZCADsin一

6

所以AC=—J

sin。

2V2

所以而萬=.（兀八）解得2sin6=cos。，

sin——0

（4）

又0<e<￡,所以Sin8=且，

45

所以AC=，一=2右.

sin。

13

18.己知等比數(shù)列｛凡｝滿足q,a2,%-4成等差數(shù)列，且44=%；等差數(shù)列也,｝的前〃項和

S“二^^求

⑴%，%；

(2)數(shù)列｛。也,｝的前項和，.

【詳解】

(1)設｛%｝的公比為0

因為％,a2,成等差數(shù)列，

所以2%=4+(%—%)，即2a2=a3.

因為a,NO,所以4=5=2.

a2

因為卬q=。4，所以

因此%=2〃.

由題意，s.=(〃+D陲1婦”

"22

所以4=S]=1,4+&=§2=3,從而b2=2.

所以｛〃,｝的公差d==2-1=1.

所以2=4+—l)d=1+(〃-1)、=〃.

(2)令%=。也,則c.=n-2".

因此筌=G+。2+…+c”=1x21+2x2?+3x23+...+(〃-l>2"T+n-2"

X27；=lx22+2x23+3x24+...+(n-l)-2n+n-2n+1

兩式相減得一=2+2?+23+…+2"-〃？e4n+'

=2,,+l-2-n-2,,+l=(l-n)-2,,+1-2.

14

所以7；=(〃-lX2向+2.

19.紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農作物造成嚴重傷害.每只紅鈴蟲的平均產卵數(shù)y和平均溫度x有關.

現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

平均溫度x/℃21232527293235

平均產卵數(shù)％個711212466115325

力一)2

XyZ)

/=!i=l

27.42981.2863.61240.182147.714

_17

表中4=Iny,z=/￡zj

7j=i

產卵4tA

350-

300-

250-

200-

ISO?

100-,

50-..,

0Le-JhiJ___L-?-II>_■I-I---------?

202224262830323436口修

（1）根據散點圖判斷，y=a+反與y=ce"（其中e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平

均產卵數(shù)V關于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可不必說明理由）并由判斷結果及表中數(shù)據，求

出y關于x的回歸方程.（計算結果精確到小數(shù)點后第三位）

（2）根據以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到28℃以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況

均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到28℃以上的概率為p（O</?<l）.

（i）記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為了（〃），求./?（〃）的最大值，并求出相應的概率

Po-

15

(ii)當/(.)取最大值時，記該地今后5年中，需要人工防治的次數(shù)為X，求X的數(shù)學期望和方差.

附：對于一組數(shù)據(士,4),(馬,Z2…七,z7)，其回歸直線z^a+bx的斜率和截距的最小二乘法估計分

7

_可(Z1—可

別為：b=~~~-,a=z-bx-

￡(苦—可2

1=1

【詳解】

(1)根據散點圖可以判斷y=c*更適宜作為平均產卵數(shù)y關于平均溫度X的回歸方程類型.

對丁=。6”兩邊取自然對數(shù)得111)，=山。+於，令z=lny,a=Inc,b=d,^z=a+bx.

7

因為$=上、.....-_40.182八””“一

~=147.714"0'72°，所以。=三一標=3.612-0.272x27.429?—3.849'

￡(西-耳

i=l

所以z關于x的線性回歸方程為2=0.272X-3.849,所以V關于x的回歸方程為y=e0272^3-849

(2)(i)由/(p)=C；p3(l_p『，得/'(p)=《p2(l_p)(3_50,因為0<”1,

,、33

令/"(〃)>。得3-5，>0,解得0cpe《：令/'(〃)<()得3-5/?<0,解得w<P<l，

所以/(p)在(0,13』)上單調遞減，所以/(〃)有唯一極大值也為最大值.

上單調遞增，在

所以當p=W時，/(°),皿=頭，此時響應的概率

3O2JJ

3(3、

(ii)由(i)知，當/(p)取最大值時，p三，所以工口。5,-1,

5

所以E(X)=5x：=3,￡>(X)=5x|x|=1

20.如圖，在四棱錐P—ABC￡)中，底面ABCD為梯形，AB//CD,AB1AD,AB=AD=2CD=2,AADP

為等邊三角形.

16

p

R

AB

⑴當PB長為多少時，平面平面ABCD?并說明理由；

(2)若二面角尸―AD—6大小為150°,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

【詳解】

解：(1)當P3=2夜時，平面?平面ABC。，

證明如下：在AEAB中，因為43=24=2,28=2收，所以43LP4，

又43LA3，ADr>PA=A,所以45J_平面PAO，

又AB1平面ABC￡>，所以平面尸ADJ_平面ABC。；

(2)分別取線段AD,BC的中點O,E,連接PO,OE,因為AM)尸為等邊三角形，。為AD的中點，

所以POJ.AO，O,E為AD,BC的中點，所以OE//AB.

又所以OELA。，故NPOE為二面角「一45一6的平面角，所以NPOE=150°，

如圖，分別以C43E的方向以及垂直于平面A5CD向上的方向作為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐

因為。尸=石，NPQE=150。，所以P(0,—',?)，A(l,0,0),8(1,2,0),C(-l,l,0).

可得通=(0,2,0),=(1,1,-^-),PC=，

2222

設力=(x,y,z)為平面PBC的一個法向量，則有而不=0,而不=0,

17

7

x+—y-回z=0

22

即<令x=l,

5GA

—x+—y-——z=0

22

可得3=(1,-2,-4百),

設AB與平面PBC所成角為6,則有sin3=

\AB\\n\

---4-------2-

2#+(—2)2+1揚2-屈

所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為撞3.

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21.己知函數(shù)/(x)=xlnx-'|■x2-X+”.

(1)若f(x)在其定義域內不是單調函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(X)存在兩個極值點玉，%，且玉</，設4>0,不等式為?芯>/”恒成立，求實數(shù)X的

取值范圍.

【詳解】

(1)函數(shù)f(x)的定義域為(O,+8)，f'(x)=\nx-ax,

考慮函數(shù)y=lnx的圖象與直線丁=口的位置關系：

當時，直線丁=辦與函數(shù)y=lnx的圖象有唯一交點，設為

則.f(x)在(0,〃)上單調遞減，在(〃,TS)上單調遞增，符合題意.

當a>0時，設過原點且與函數(shù)y=ln尤的圖象相切的直線的斜率為k,

設切點為A(m,\nm),則Z=/lx=?,=—,

m

「.Inm1Inm1

乂Z=----,即r1rl—=----,解得m=e,所以左二一.

mmme

當時，/'(x)<0恒成立，

e

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/(x)在(0,+8)上單調遞減，不合題意，所以0＜。＜:,

綜上所述，實數(shù)”的取值范圍為

(2)由X]?尤；＞,得In玉+2In々＞4+L

由(1)可知再，9是方程lnx-af=0的兩根，

即InXy-ax},lnx2-ax2,

所以原不等式等價于＞1+2.