二次函數(shù)綜合題題型-教案(含詳細(xì)答案)

二次函數(shù)綜合題題型例1：（2011年廣東試題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，過的直線與拋物線交于另一點(diǎn)，過作軸，垂足為點(diǎn)（3，0）．（1）求直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）動(dòng)點(diǎn)在線段上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向移動(dòng)，過作軸，交直線于，交拋物線于，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為秒，的長度為個(gè)單位，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；yAAPNBMCxO（3）設(shè)在（2）的條件下，（不考慮點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)重合的情況），連接，，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形為平行四邊形？問對于所有值，平行四邊形是否菱形？說明理由．yAAPNBMCxO解：（1）易知（0，1），的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)時(shí)，，即(3，)，設(shè)直線的解析式是∴，，，∴；（2）的橫坐標(biāo)為，則的縱坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為，，即，，（3）當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，四邊形是菱形．當(dāng)時(shí)，，，，四邊形不是菱形．

BECFOA例2、如圖，已知拋物線()經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（6，0）和（0，4）三個(gè)點(diǎn)．BECFOA（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)（，）是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形是以為對角線的平行四邊形，求四邊形的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當(dāng)四邊形的面積為24時(shí)，請判斷四邊形是否為菱形？解：（1）依題意得，，解得，，，，∴（2），．（3）當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，四邊形是菱形；當(dāng)時(shí)，，，四邊形不是菱形．例3、（2008年海南）yDBCxEOA如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn),它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C；直線經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B(-2,m)，且與y軸、直線分別交于點(diǎn)DyDBCxEOA（1）求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）求證：,是的中點(diǎn)；（3）若P(x，y)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P,使得,若存在，試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）∵點(diǎn)B(-2,m)在直線上，∴∴B(-2,3)xBAyGCEDHF∵拋物線對稱軸為，xBAyGCEDHF∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)、，∴拋物線的解析式是.（2）∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-1)，E的坐標(biāo)為(2,-5).過點(diǎn)B作BG∥x軸，與y軸交于F，與直線交于G，則BG垂直于直線，.在Rt△BGC中,.∴過點(diǎn)E作EH∥x軸，交y軸于H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為H(0,-5).又點(diǎn)F、D的坐標(biāo)為F(0,3)、D(0,-1)，∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.∴△DFB≌△DHE，∴BD=DE.（3）存在.由于，∴點(diǎn)P在直線CD上，∴符合條件的點(diǎn)P是直線CD與該拋物線的交點(diǎn).由D(0,-1)C(2,0)，得直線CD的解析式是，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，)，則有,解得，∴，，∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，).例4、（2013?湘潭）如圖，在坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y=x2+bx﹣2的圖象過C點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當(dāng)l移動(dòng)到何處時(shí)，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．2364070專題： 壓軸題．分析： 如解答圖所示：（1）首先構(gòu)造全等三角形△AOB≌△CDA，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后利用點(diǎn)C的坐標(biāo)求出拋物線的解析式；（2）首先求出直線BC與AC的解析式，設(shè)直線l與BC、AC交于點(diǎn)E、F，則可求出EF的表達(dá)式；根據(jù)S△CEF=S△ABC，列出方程求出直線l的解析式；（3）首先作出?PACB，然后證明點(diǎn)P在拋物線上即可．解答： 解：（1）如答圖1所示，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB與△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵點(diǎn)C（3，1）在拋物線y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．∴S△ABC=AB2=．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，解得k=﹣，b=2，∴y=﹣x+2．同理求得直線AC的解析式為：y=x﹣．如答圖1所示，設(shè)直線l與BC、AC分別交于點(diǎn)E、F，則EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，EF邊上的高h(yuǎn)=OD﹣x=3﹣x．由題意得：S△CEF=S△ABC，即：EF?h=S△ABC，∴（﹣x）?（3﹣x）=×，整理得：（3﹣x）2=3，解得x=3﹣或x=3+（不合題意，舍去），∴當(dāng)直線l解析式為x=3﹣時(shí)，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分．（3）存在．如答圖2所示，過點(diǎn)C作CG⊥y軸于點(diǎn)G，則CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．過點(diǎn)A作AP∥BC，且AP=BC，連接BP，則四邊形PACB為平行四邊形．過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，則易證△PAH≌△BCG，∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P（﹣2，1）．拋物線解析式為：y=x2﹣x﹣2，當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=1，即點(diǎn)P在拋物線上．∴存在符合條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，1）．點(diǎn)評(píng)： 本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、全等三角形、平行四邊形、等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．試題難度不大，但需要仔細(xì)分析，認(rèn)真計(jì)算．例5．（2013?重慶）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．2364070專題：壓軸題．分析：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；同理，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）MN的長是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個(gè)關(guān)于MN的長和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面積S2=5，則S1=6S2=30．再設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=3，過點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．證明△EBD為等腰直角三角形，則BE=BD=6，求出E的坐標(biāo)為（﹣1，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式為y=﹣x﹣1，然后解方程組，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，所以直線BC的解析式為y=﹣x+5；將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，得，解得，所以拋物線的解析式為y=x2﹣6x+5；（2）設(shè)M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），則N（x，﹣x+5），∵M(jìn)N=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時(shí)，MN有最大值；（3）∵M(jìn)N取得最大值時(shí)，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面積S2=×4×2.5=5，∴平行四邊形CBPQ的面積S1=6S2=30．設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD．∵BC=5，∴BC?BD=30，∴BD=3．過點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD為等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），設(shè)直線PQ的解析式為y=﹣x+t，將E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直線PQ的解析式為y=﹣x﹣1．解方程組，得，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（2，﹣3）（與點(diǎn)D重合）或P2（3，﹣4）．點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生運(yùn)用方程組、數(shù)形結(jié)合的思想方法．（2）中弄清線段MN長度的函數(shù)意義是關(guān)鍵，（3）中確定P與Q的位置是關(guān)鍵．例6.如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)．（1）求過三點(diǎn)拋物線的解析式并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）試探究在直線上是否存在一點(diǎn)，使得的周長最小，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．AOxyAOxyBFC圖6由點(diǎn)都在拋物線上，拋物線的解析式為頂點(diǎn)（2）存在。（3）存在。理由：解法一：延長到點(diǎn)，使，連接交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)就是所求的點(diǎn)． 11分AOxyBFC圖6-1AOxyBFC圖6-1HBM點(diǎn)在拋物線上，在中，，，，在中，，，， 12分設(shè)直線的解析式