《數(shù)值分析》課程設(shè)計(jì)報(bào)告

課程設(shè)計(jì)報(bào)告課程設(shè)計(jì)題目：牛頓迭代法求解非線性方程組學(xué)生姓名：專業(yè)：班級(jí)：指導(dǎo)教師：題目：在化學(xué)工程中常常研究在一個(gè)封閉系統(tǒng)中同時(shí)進(jìn)行的兩種可逆反應(yīng)其中A，B，C和D代表不同的物質(zhì)。反應(yīng)達(dá)到平衡是有如下的平衡關(guān)系：其中稱為平衡常數(shù)，代表平衡狀態(tài)時(shí)該物質(zhì)的濃度。假定反應(yīng)開始時(shí)各種物質(zhì)的濃度為：而且反應(yīng)達(dá)到平衡時(shí)，由第一和第二種反應(yīng)生成的C物質(zhì)濃度分別為，于是平衡時(shí)滿足的方程為：用數(shù)值方法求解上述方程。所涉及的知識(shí)——非線性方程組解法。一、摘要在matlab環(huán)境下運(yùn)用編程語(yǔ)言通過(guò)牛頓迭代法求解非線性方程組的理論基礎(chǔ)對(duì)非線性方程組求根，編寫牛頓迭代法的程序，在運(yùn)行完程序后對(duì)運(yùn)行結(jié)果做出各方面的分析和比較，最后對(duì)此方法做出評(píng)估。二、設(shè)計(jì)目的用Matlab7.1軟件求出二元非線性方程組；了解如何用牛頓迭代法求解非線性方程組；掌握牛頓迭代法求解非線性方程組的原理；提高我們運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件編程解決問(wèn)題的能力。三、理論基礎(chǔ)牛頓迭代法：非線性方程組寫成向量形式F（x）=0,這里，。求解問(wèn)題，即是求，使?jié)M足F()=0，為了求F(x)=0的解，等價(jià)形式為，其中，的不動(dòng)點(diǎn)，就是F(x)=0的解。適當(dāng)選取初始向量，作迭代，若的每個(gè)分量對(duì)變量是連續(xù)的，則當(dāng)｛｝收斂時(shí)，其極限就是的不動(dòng)點(diǎn)。取，那么當(dāng)為非奇異矩陣，則與F(x)=0等價(jià)。當(dāng)取A(x)=A，detA0時(shí)，迭代。若充分接近，則迭代收斂于。取，其中為F(x)的Jacobi矩陣。此時(shí)，F(xiàn)(x)=0的等價(jià)形式為，而在F(x)=0的解x=處，有=0，只要充分接近，迭代收斂于，上述迭代式稱為牛頓迭代法。四、程序代碼及運(yùn)算結(jié)果程序代碼：Jacobi矩陣：symsx1x2;y1=0.0004*(50-2*x1)^2*(20-x1)-5-x1-x2;y2=0.037*(50-x2)*(10-x2)-5-x2-x1;y=[diff(y1,x1)diff(y1,x2);diff(y2,x1)diff(y2,x2)]運(yùn)行結(jié)果：y=[-1/625*(50-2*x1)*(20-x1)-1/2500*(50-2*x1)^2-1,-1][-1,-161/50+37/500*x2]主程序代碼：functiony=fc(x)y(1)=0.0004*(50-2*x(1))^2*(20-x(1))-5-x(1)-x(2);y(2)=0.037*(50-x(2))*(10-x(2))-5-x(2)-x(1);y=[y(1)y(2)];functiony=df2(x)y=[-1/625*(50-2*x(1))*(20-x(1))-1/2500*(50-2*x(1))^2-1-1;-1-161/50+37/500*x(2)];symsx1;x0=[12]x1=x0-fc(x0)*inv(df2(x0));n=1;while(norm(x1-x0)>=1.0e-4)&&(n<=1000)x0=x1;x1=x0-fc(x0)*inv(df2(x0));n=n+1;endx1n運(yùn)行結(jié)果：x1=3.68973.1615n=1x0=33x1=3.68973.1615n=3x0=12x1=3.68973.1615n=4用Matlab內(nèi)部函數(shù)編寫程序：functionf=group(x)f=[0.0016*x(1)^3-0.112*x(1)^2+3.6*x(1)+x(2)-15;0.037*x(2)^2-3.22*x(2)-x(1)+13.5];[x,fval]=fsolve('group',[22])運(yùn)行結(jié)果：x=3.68973.1615fval=1.0e-009*-0.12190.0045用Matlab畫出非線性方程組解的圖形：ezplot('0.0004*(50-2*x1)^2*(20-x1)-5-x1-x2')holdonezplot('0.037*(50-x2)*(10-x2)-5-x2-x1')text(0,-2,'0.0004*(50-2*x1)^2*(20-x1)-5-x1-x2')text(-4,4,'0.037*(50-x2)*(10-x2)-5-x2-x1')title('非線性方程組的解')運(yùn)行結(jié)果：圖1非線性方程組解的圖形五、結(jié)果分析根據(jù)牛頓迭代法求非線性方程組的原理將所求的非線性方程組先化為一般的標(biāo)準(zhǔn)形式，求出它的Jacobi矩陣，然后再用牛頓迭代公式計(jì)算出我們所要求的函數(shù)值。牛頓迭代法是求解非線性方程組的一個(gè)重要的方法之一，其最大的有點(diǎn)是收斂速度快，具有平方收斂，常常能快速的求出其他方法求不出或很難求出的解。根據(jù)本文的分析，利用牛頓迭代法求解非線性方程組，代入接近精確解的初值，其每次收斂到精確解的次數(shù)都很少，可見其收斂速度較快。使用牛頓迭代法時(shí)要計(jì)算它的Jacobi矩陣，顯然有時(shí)候工作量會(huì)很大，并且要求它的Jacobi矩陣非奇異，如果奇異或者病態(tài)，會(huì)導(dǎo)致解非線性方程組失敗或產(chǎn)生的數(shù)值不穩(wěn)定。對(duì)于本文用的牛頓迭代法求解非線性方程組的過(guò)程，其迭代次數(shù)少，所求出的結(jié)果誤差也比較小。六、設(shè)計(jì)心得七、參考文獻(xiàn)[1]孫祥，徐流美，吳清.Matlabl7.0基礎(chǔ)教程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.[2]奚梅成.數(shù)值分析方法.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2003.[3]丁麗娟，程杞元.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京：北