中考數(shù)學(xué)-數(shù)形結(jié)合專(zhuān)題

-.z.第九講數(shù)形結(jié)合思想【中考熱點(diǎn)分析】數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，它根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的條件和結(jié)論之間的在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又提醒其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙的結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種結(jié)合，探求解決問(wèn)題的思路，使問(wèn)題得以解決的思考方法。幾何圖形的形象直觀，便于理解；代數(shù)方法的一般性，解題過(guò)程的操作性強(qiáng)，便于把握。【經(jīng)典考題講練】例1.〔2015〕如圖，直線分別交*軸、y軸于點(diǎn)A、B，P是拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為a，過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線交直線于點(diǎn)Q，則當(dāng)PQ=BQ時(shí)，a的值是．例2.〔2014?〕平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A〔-1，0〕，B〔4，0〕，拋物線〔〕過(guò)點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C．點(diǎn)P〔m，n〕〔n<0〕為拋物線上一點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．〔2〕當(dāng)∠APB為鈍角時(shí)，求m的取值圍．〔3〕假設(shè)，當(dāng)∠APB為直角時(shí)，將該拋物線向左或向右平移t〔〕個(gè)單位，點(diǎn)P、C移動(dòng)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別記為、，是否存在t，使得首尾依次連接A、B、、所構(gòu)成的多邊形的周長(zhǎng)最短？假設(shè)存在，求t值并說(shuō)明拋物線平移的方向；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：〔1〕待定系數(shù)法求解析式即可，求得解析式后轉(zhuǎn)換成頂點(diǎn)式即可．

〔2〕因?yàn)锳B為直徑，所以當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在⊙C的部時(shí)，滿足∠APB為鈍角，所以-1＜m＜0，或3＜m＜4．

〔3〕左右平移時(shí)，使A′D+DB″最短即可，則作出點(diǎn)C′關(guān)于*軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為C″，得到直線P″C″的解析式，然后把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可．答案：(1)解:依題意把的坐標(biāo)代入得:;解得:拋物線解析式為頂點(diǎn)橫坐標(biāo),將代入拋物線得(2)如圖,當(dāng)時(shí),設(shè),則過(guò)作直線軸,(注意用整體代入法)解得,當(dāng)在之間時(shí)，或時(shí)，為鈍角.(3)依題意，且設(shè)移動(dòng)〔向右，向左〕連接則又的長(zhǎng)度不變四邊形周長(zhǎng)最小，只需最小即可將沿軸向右平移5各單位到處沿軸對(duì)稱為∴當(dāng)且僅當(dāng)、B、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小為，此時(shí)，設(shè)過(guò)的直線為，代入∴即將代入，得：，解得：∴當(dāng)，P、C向左移動(dòng)單位時(shí)，此時(shí)四邊形ABP’C’周長(zhǎng)最小。例3.〔2012〕如圖，AE切⊙O于點(diǎn)E，AT交⊙O于點(diǎn)M，N，線段OE交AT于點(diǎn)C，OB⊥AT于點(diǎn)B，∠EAT＝30°，，．〔1〕求∠COB的度數(shù)；〔2〕求⊙O的半徑R；〔3〕點(diǎn)F在⊙O上〔是劣弧〕，且EF＝5，把△OBC經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E，F(xiàn)重合．在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個(gè)？你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上的三角形嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出這個(gè)三角形，并求出這個(gè)三角形與△OBC的周長(zhǎng)之比．解：(1)∵AE切⊙O于點(diǎn)E，∴OE⊥AE，∵OB⊥AT，∴在△CAE和△COB中，∠AEC＝∠CBO＝90°，而∠BCO＝∠ACE，∴∠COB＝∠A＝30°.(3分)圖(1)(2)在Rt△ACE中，AE＝3，∠A＝30°，∴EC＝AE·tan30°＝3.如圖(1)，連接OM，在Rt△MOB中，OM＝R，MB＝＝，∴OB＝＝.在Rt△COB中，∠COB＝30°，∴OC＝.∵OC＋EC＝R，∴·＋3＝R整理得R2＋18R－115＝0，即(R＋23)(R－5)＝0，∴R＝－23(不符合題意，舍去)，或R＝5，∴R＝5.(8分)(3)在EF的同一側(cè)，滿足題意的三角形共有6個(gè)，如圖(2)(3)(4)，每個(gè)圖有2個(gè)滿足題意的三角形．能找出另一個(gè)頂點(diǎn)也在⊙O上的三角形，如圖(1)，延長(zhǎng)EO交⊙O于D，連接DF，則△DFE為符合條件的三角形．圖(2)圖(3)圖(4)由題意得，△DFE∽△OBC.由(2)得，DE＝2R＝10，OC＝＝2，∴＝＝＝5.(14分)【解答策略提煉】解題策略，數(shù)形結(jié)合思想包含“以形助教〞和“以數(shù)助形〞兩個(gè)方面，即用數(shù)形結(jié)合思想解題可分兩類(lèi)：一是依形判教，用形解決數(shù)的問(wèn)題，常見(jiàn)于借助數(shù)軸、函數(shù)圖像、幾何圖形來(lái)求解代數(shù)問(wèn)題；二十就數(shù)論形，用數(shù)解決形的問(wèn)題，常見(jiàn)于運(yùn)用恒等變形、建立方程〔組〕、面積轉(zhuǎn)換等求解幾何問(wèn)題?！緦?zhuān)項(xiàng)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】填空題如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，點(diǎn)M是線段BC上一定點(diǎn)，且MC=8，動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿C→D→A→B的路線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停頓，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使△PMC為等腰三角形的點(diǎn)P有〔〕個(gè)。拋物線y=a*2-2a*-1+a(a>0)與直線*=2,*=3,y=1圍成的正方形有公共點(diǎn)，則a的取值圍是。如圖，拋物線y=*2+b*-2與*軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A〔-1,0〕，點(diǎn)M〔m,0〕是*軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC+MD的值最小時(shí)，m的值是24/41。拋物線y=a*2+b*+c(a≠0)與*軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，假設(shè)△ABC是直角三角形，則ac=.5.如圖，半徑為r1的圓切于半徑為r2的圓，切點(diǎn)為P，過(guò)圓心O1的直線與⊙O2交于A、B，與⊙O1交于C、D，AC：CD：DB=3：4：2，則=．解答題〔1〕如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，求∠AMN+∠ANM的度數(shù)。如圖，直線y=+b與雙曲線y=交于A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為1和5，求不等式<+b的解集。7.如圖，AC為⊥AC于F點(diǎn)，交AD于M點(diǎn)?！?〕求證：BC是⊙O的切線?！?〕EM=FM.8.〔2015?〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，直線y=*+2與*軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=a*2+b*+c的對(duì)稱軸是*=﹣且經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與*軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．〔1〕①直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式．〔2〕假設(shè)點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．〔3〕拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直*軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？假設(shè)存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【根底重點(diǎn)輪動(dòng)】選擇題〔-〕-1+〔π-〕0+√〔-2〕2的值為〔〕-1B.-3C.1D.0要使分式有意義，則*的取值圍是〔〕*1B.*<1C.*>1D.*≠-1對(duì)于函數(shù)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A.它的圖象分布在一、三象限B.它的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形C.當(dāng)*＞0時(shí)，y的值隨*的增大而增大D.當(dāng)*＜0時(shí)，y的值隨*的增大而減小如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)是A、B，∠P=60°，OA=3，則∠AOB所對(duì)弧的長(zhǎng)度為〔〕。A.6πB.5πC.3πD.2π拋物線y=*2+b*+c〔a≠0〕圖像向右平移2個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位，所得的圖像解析式為=*2-2*-3，則b，c的值為〔〕。b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=2如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D。以下條件中，不能證明△ABC是直角三角形的是〔〕A.∠A+∠B=90°

B.AB2=AC2+BC2

C.

D.CD2=AD?BD7.以下命題是真命題的是〔〕A.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B．有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形D．兩邊相等的平行四邊形是菱形8.如下圖，正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)。A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則C點(diǎn)的個(gè)數(shù)是〔C〕A．6B．7C．8D．9填空題如圖，直線l1∥l2∥l3,點(diǎn)A、B、C分別在在直線l1、l2、l3上，假設(shè)∠1=70°,∠2=50°，則∠ABC=度。第9題圖第10題圖10.如圖*水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，則迎水坡面AB的長(zhǎng)度是。11.*課外小組的同學(xué)們?cè)谏鐣?huì)實(shí)踐活動(dòng)中調(diào)查了20戶家庭*月的用電量，如下表所示：

用電量〔度〕120140160180200戶數(shù)23672則這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是。菱形ABCD的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E在直線AD上，假設(shè)DE=3，連接BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)M，則S△ABM：S△CBM的值為。第10講綜合性解答問(wèn)題【中考熱點(diǎn)分析】代數(shù)型綜合題是指以代數(shù)知識(shí)為主的或以代數(shù)變形技巧為主的一類(lèi)綜合題，涉及知識(shí)：主要包括方程、函數(shù)、不等式等容。解題策略：用到的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想以及代入法、待定系數(shù)法、配方法等。幾何型綜合題是指以幾何知識(shí)為主或者以幾何變換為主的一類(lèi)綜合題。涉及知識(shí)：主要包括幾何的定義、公理、定理、幾何變換等容。解題策略：解決幾何型綜合題的關(guān)鍵是把代數(shù)知識(shí)與幾何圖形的性質(zhì)以及計(jì)算與證明有機(jī)融合起來(lái)，進(jìn)展分析、推理，從而到達(dá)解決問(wèn)題的目的。代數(shù)和幾何型綜合題是指以代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)綜合運(yùn)用的一類(lèi)綜合題。涉及知識(shí)：代數(shù)與幾何的重要知識(shí)點(diǎn)和多種數(shù)學(xué)思想方法?！窘?jīng)典考題講練】例1.如圖，矩形OABC中，OA＝2，AB＝4，雙曲線〔k＞0〕與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F?！?〕假設(shè)E是AB的中點(diǎn)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)；例1題圖〔2〕假設(shè)將△BEF沿直線EF對(duì)折，B點(diǎn)落在*軸上的D點(diǎn)，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值。例1題圖例2.〔2014?〕拋物線C1：y=a〔*+1〕2﹣2的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B〔﹣2，﹣1〕．〔1〕求A點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線C1的解析式.〔2〕如圖1，將拋物線C1向下平移2個(gè)單位后得到拋物線C2，且拋物線C2與直線AB相交于C，D兩點(diǎn)，求S△OAC：S△OAD的值.〔3〕如圖2，假設(shè)過(guò)P〔﹣4，0〕，Q〔0，2〕的直線為l，點(diǎn)E在〔2〕中拋物線C2對(duì)稱軸右側(cè)局部〔含頂點(diǎn)〕運(yùn)動(dòng)，直線m過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)E．問(wèn)：是否存在直線m，使直線l，m與*軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形相似？假設(shè)存在，求出直線m的解析式；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．分析：〔1〕由拋物線的頂點(diǎn)式易得頂點(diǎn)A坐標(biāo)，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可解決問(wèn)題．〔2〕根據(jù)平移法則求出拋物線C2的解析式，用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再通過(guò)解方程組求出拋物線C2與直線AB的交點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，就可以求出S△OAC：S△OAD的值．〔3〕設(shè)直線m與y軸交于點(diǎn)G，直線l，m與*軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形形狀、位置隨著點(diǎn)G的變化而變化，故需對(duì)點(diǎn)G的位置進(jìn)展討論，借助于相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的增減性等知識(shí)求出符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而求出相應(yīng)的直線m的解析式．例3.〔10分〕〔2015?〕如圖，四邊形ABCD是⊙O的接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的兩條切線，C、D為切點(diǎn)．〔1〕如圖1，求⊙O的半徑；〔2〕如圖1，假設(shè)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接PE，求PE的長(zhǎng)度；〔3〕如圖2，假設(shè)點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)〔不含B、C〕，以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，在BC的上方作∠AMN=90°，交直線CP于點(diǎn)N，求證：AM=MN．分析：〔1〕利用切線的性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)得出⊙O的半徑即可；〔2〕利用垂徑定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，進(jìn)而利用勾股定理得出即可；〔3〕在AB上截取BF=BM，利用〔1〕中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可．【解答策略提煉】代數(shù)綜合題是以代數(shù)知識(shí)及代數(shù)變形為主的綜合題。主要包括方程、函數(shù)、不等式等容。解題策略：用到的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、分類(lèi)思想、數(shù)形結(jié)合思想以及代入法、待定系數(shù)法、配方法等。解代數(shù)綜合題要注意方程、不等式和函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)點(diǎn)之間的橫向聯(lián)系和數(shù)學(xué)思想方法、解題技巧的靈活運(yùn)用，要抓住題意，化整為零，層層深入，各個(gè)擊破，從而解決問(wèn)題。幾何綜合題考察的圖形種類(lèi)多、條件隱晦，在觀察方法上要注意從三角形、四邊形、圓的定義、性質(zhì)、判定來(lái)觀察分析圖形，通過(guò)尋找、分解、構(gòu)造根本圖形以發(fā)現(xiàn)圖形特征；在思考方法上分析挖掘題目的隱含條件，注意結(jié)合代數(shù)知識(shí)與幾何圖形的性質(zhì)思考，不斷的由想未知，為解決問(wèn)題創(chuàng)造條件?！緦?zhuān)項(xiàng)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】一、填空題如圖，在四邊形ABCD中，AB=4,BC=7，CD=2，AD=*,則*的取值圍是。如圖，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，BD=AB，則∠A的取值圍是。ADADBCA*DBC742第1題圖第2題圖在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.假設(shè)以C點(diǎn)為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，則r的取值圍是。如圖，矩形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，AD：AB=：2，CP：BP=1：2，連接EP并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AP、BE相交于點(diǎn)O．以下結(jié)論：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AO?AP=OB2．其中正確的序號(hào)是．〔把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上〕

〔2015〕關(guān)于*的一元二次方程a*2-3*-1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都在-1和0之間〔不包括-1和0〕，則a的取值圍是。二、解答題6.〔2014〕(2014年)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停頓．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．〔1〕求線段CD的長(zhǎng)；〔2〕設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在*一時(shí)刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．〔3〕當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ為等腰三角形？備用圖1備用圖2〔2013?〕如圖，一次函數(shù)y=2*+2的圖像與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=k1/*的圖像的一個(gè)交點(diǎn)為A〔1，m〕，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線BD，與反比例函數(shù)y=k2/*交于點(diǎn)D〔n,-2〕.

〔1〕求k1和k2的值；

〔2〕假設(shè)直線AB、BD分別交*軸于點(diǎn)C、E，試問(wèn)在y軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)F，使得△BDF∽△ACE？假設(shè)存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8.(2015)如圖，AB是半圓O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)C，交半圓于點(diǎn)E，DF切半圓于點(diǎn)F.∠AEF=135°.〔1〕求證：DF∥AB；〔2〕假設(shè)OC=CE，BF=，求DE的長(zhǎng).9.〔2015?〕如圖，二次函數(shù)y=a*2+b*+3的圖象與*軸相交于點(diǎn)A〔﹣3，0〕、B〔1，0〕，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)G是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，直線GC交*軸于點(diǎn)H〔3，0〕，AD平行GC交y軸于點(diǎn)D．〔1〕求該二次函數(shù)的表達(dá)式；〔2〕求證：四邊形ACHD是正方形；〔3〕如圖2，點(diǎn)M〔t，p〕是該