2024屆一輪復習命題方向精講系列：36 直線與圓錐曲線最全歸納（十六大經(jīng)典題型）（原卷附答案）

第第②焦點在軸上的橢圓與直線的關系，雙曲線與直線的關系和上述形式類似，不在贅述．（2）拋物線與直線相交于兩點，設，聯(lián)立可得，時，特殊地，當直線過焦點的時候，即，，因為為通徑的時候也滿足該式，根據(jù)此時A、B坐標來記憶．拋物線與直線相交于兩點，設，聯(lián)立可得，時，注意：在直線與拋物線的問題中，設直線的時候選擇形式多思考分析，往往可以降低計算量．開口向上選擇正設；開口向右，選擇反設；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．總結：韋達定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們在處理例如向量問題，面積問題，三點共線問題，角度問題等?？純热莸臅r候，要把題目中的核心信息，轉化為坐標表達，轉化為可以使用韋達定理的形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞剑R點二、根的判別式和韋達定理與聯(lián)立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關于的一元二次方程，判別式為可簡單記．同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡記為，，可簡記．與C相離；與C相切；與C相交．注意：（1）由韋達定理寫出，，注意隱含條件．（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．（3）如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．（4）直線和雙曲線聯(lián)立結果類似，焦點在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用判斷根的關系，因為此情況下往往會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點橫縱坐標的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標．知識點三、弦長公式設，根據(jù)兩點距離公式．（1）若在直線上，代入化簡，得；（2）若所在直線方程為，代入化簡，得（3）構造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．注意：（1）上述表達式中，當為，時，；（2）直線上任何兩點距離都可如上計算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用．（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡得到的式子記為，判別式為，時，，利用求根公式推導也很方便，使用此方法在解題化簡的時候可以大大提高效率．（4）直線和圓相交的時候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關系求解弦長會更加簡單．（5）直線如果過焦點可以考慮焦點弦公式以及焦長公式．1、已知弦的中點，研究的斜率和方程（1）是橢圓的一條弦，中點，則的斜率為，運用點差法求的斜率；設，，，都在橢圓上，所以，兩式相減得所以即，故（2）運用類似的方法可以推出；若是雙曲線的弦，中點，則；若曲線是拋物線，則．2、定值問題解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量選擇適當?shù)牧繛樽兞浚?）函數(shù)把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．（3）定值化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．3、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．4、求最值問題常用的兩種方法（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質來解決，這是幾何法．（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調性法、導數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．5、求定值、最值等圓錐曲線綜合問題的“三重視”（1）重視定義在解題中的作用（把定義作為解題的著眼點）．（2）重視曲線的幾何特征特別是平面幾何性質與方程的代數(shù)特征在解題中的作用．（3）重視根與系數(shù)的關系在解題中的作用（涉及弦長、中點要用根與系數(shù)的關系）．6、求參數(shù)的取值范圍據(jù)已知條件及題目要求等量或不等量關系，再求參數(shù)的范圍．7、在面對有關等角、倍角、共線、垂直等幾何特征時，可設法將條件翻譯成關于斜率的關系式，然后將斜率公式代入其中，得出參數(shù)間的關系式，再根據(jù)要求做進一步的推導判斷．8、通過合理的方式，將所需要的坐標、斜率、角度、向量數(shù)量積等問題利用參數(shù)進行表達，進而構造函數(shù)，通過求函數(shù)值域解決．涉及向量的數(shù)量積，多與坐標有關，最終利用根與系數(shù)的關系進行解決．9、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．10、求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．11、證明共線的方法：（1）斜率法：若過任意兩點的直線的斜率都存在，通過計算證明過任意兩點的直線的斜率相等證明三點共線；（2）距離法：計算出任意兩點間的距離，若某兩點間的距離等于另外兩個距離之和，則這三點共線；（3）向量法：利用向量共線定理證明三點共線；（4）直線方程法：求出過其中兩點的直線方程，在證明第3點也在該直線上；（5）點到直線的距離法：求出過其中某兩點的直線方程，計算出第三點到該直線的距離，若距離為0，則三點共線．（6）面積法：通過計算求出以這三點為三角形的面積，若面積為0，則三點共線，在處理三點共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設而不求思想”．12、證明四點共圓的方法：方法一：從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，則可肯定這四點共圓．方法二：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點共圓（根據(jù)圓的性質一一同弧所對的圓周角相等證）．方法三：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其中一個外角等于其內對角時，則可肯定這四點共圓（根據(jù)圓的性質一一圓內接四邊形的對角和為，并且任何一個外角都等于它的內對角）．方法四：證明被證共圓的四點到某一定點的距離都相等，或證明被證四點連成的四邊形其中三邊中垂線有交點），則可肯定這四點共圓（根據(jù)圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡為圓）．13、（1）若點是圓上的點，則過點的切線方程為．（2）若點是圓外的點，由點向圓引兩條切線，切點分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．（3）若點是橢圓上的點，則過點的切線方程為．（4）若點是橢圓外的點，由點P向橢圓引兩條切線，切點分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．經(jīng)典題型一：直線與圓錐曲線的位置關系1．（2022·四川達州·二模（理））函數(shù)的最小值為，則直線與曲線的交點個數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））直線與雙曲線沒有公共點，則斜率k的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）若雙曲線的一個頂點為A，過點A的直線與雙曲線只有一個公共點，則該雙曲線的焦距為(

)A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習）過點作直線l與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．無數(shù)條經(jīng)典題型二：中點弦問題之弦中點的軌跡方程問題5．（2022·全國·高三專題練習）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為_________________．6．（2022·全國·高三課時練習）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點的軌跡方程是______．7．（2022·全國·高三課時練習）已知橢圓．(1)過橢圓的左焦點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；(3)求過點且被平分的弦所在直線的方程．8．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的弦所在直線過點，求弦中點的軌跡方程.9．已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于，兩點，試求弦的中點軌跡方程.經(jīng)典題型三：中點弦問題之中點弦所在直線方程問題10．（2022·全國·高三專題練習）若橢圓的弦AB被點平分，則AB所在的直線方程為______．11．（2022·全國·高三開學考試（理））已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（

）A． B． C． D．12．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為1的直線與拋物線C交于A，B兩點，且的中點的縱坐標為2．求C的方程.經(jīng)典題型四：中點弦問題之對稱問題13．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓：（）過點，直線：與橢圓交于，兩點，且線段的中點為，為坐標原點，直線的斜率為-0.5.(1)求橢圓的標準方程；(2)當時，橢圓上是否存在，兩點，使得，關于直線對稱，若存在，求出，的坐標，若不存在，請說明理由．14．（2022·浙江·高三專題練習）已知拋物線C：的焦點為F，直線l：與拋物線C交于A，B兩點.(1)若，求的面積；(2)若拋物線C上存在兩個不同的點M，N關于直線l對稱，求a的取值范圍.15．（2022·四川內江·模擬預測（理））若雙曲線上存在兩個點關于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍為______.經(jīng)典題型五：弦長問題16．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點，則等于（

）A． B． C． D．17．（2022·陜西·安康市教學研究室三模（文））過拋物線的焦點F的直線交C于A，B兩點，若在其準線上的投影長為6，則（

）A． B． C．12 D．18．（2022·山東·汶上縣第一中學高三開學考試）已知拋物線（）的焦點為F.若直線與C交于A，B兩點，且，則（

）A．3 B．4 C．5 D．619．（2022·湖南·高三階段練習）已知橢圓為右焦點，直線與橢圓C相交于A，B兩點，取A點關于x軸的對稱點S，設線段與線段的中垂線交于點Q．(1)當時，求；(2)當時，求是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說明理由．20．（2022·四川省巴中中學模擬預測（文））已知橢圓：的左、右頂點分別為、，點在橢圓上，且直線的斜率與直線的斜率之積為．(1)求橢圓的方程；(2)若圓的切線與橢圓交于、兩點，求的最大值及此時直線的斜率．21．（2022·全國·高三專題練習）設?分別為雙曲線的左右焦點，且也為拋物線的的焦點，若點，，是等腰直角三角形的三個頂點.(1)雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點，求.經(jīng)典題型六：三角形面積問題22．（2022·陜西·安康市教學研究室三模（文））已知橢圓的上頂點E與其左、右焦點構成面積為1的直角三角形．(1)求橢圓C的方程；(2)過點的直線l交C于兩點，P是C上的動點，當時，求面積的最大值．23．（2022·廣東汕頭·高三階段練習）已知橢圓的離心率為，橢圓上一動點與左?右焦點構成的三角形面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.①求證：直線恒過定點；②設和的面積分別為，求的最大值.24．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓上一動點，直線與圓相切于Q點，且Q是線段的中點，三角形的面積為2．(1)求橢圓C的方程；(2)過點P（點P不在x軸上）作圓的兩條切線、，切點分別為M，N，直線MN交橢圓C于點D、E兩點，求三角形ODE的面積的取值范圍．25．（2022·重慶南開中學高三階段練習）已知雙曲線的右焦點為，過右焦點作斜率為正的直線，直線交雙曲線的右支于，兩點，分別交兩條漸近線于兩點，點在第一象限，為原點．(1)求直線斜率的取值范圍；(2)設，，的面積分別是，，，求的范圍．26．（2022·江蘇南通·高三階段練習）已知點在雙曲線上，直線l交C于兩點，直線的斜率之和為.(1)求l的斜率;(2)若，求的面積.27．（2022·全國·模擬預測）已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，，焦距為．點在第一象限的雙曲線上，過點作雙曲線切線與直線交于點．(1)證明：；(2)已知斜率為的直線與雙曲線左支交于兩點，若直線，的斜率互為相反數(shù)，求的面積．28．（2022·江蘇南通·高三階段練習）已知橢圓的左，右頂點分別為，右焦點為，點是橢圓上一動點（異于）點關于原點的對稱點為，連接并延長交于點連接并延長交橢圓于點，記面積分別為(1)當點坐標為時，求的值；(2)是否存在點，使得若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由.經(jīng)典題型七：四邊形面積問題29．（2022·四川·樹德中學高三階段練習（理））在平面直角坐標系xOy中，動圓P與圓：內切，且與圓：外切，記動圓P的圓心的軌跡為E．(1)求軌跡E的方程；(2)過圓心的直線交軌跡E于A，B兩個不同的點，過圓心的直線交軌跡E于D，G兩個不同的點，且，求四邊形ADBG面積的最小值．30．（2022·全國·模擬預測（文））已知A、B分別為橢圓：）的上、下頂點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，C是橢圓上異于A、B的點，點D在坐標平面內．(1)若，求橢圓的標準方程；(2)若，且，，求四邊形CADB面積S的最大值．31．（2022·山東青島·高三開學考試）在平面直角坐標系中，動圓與圓內切，且與圓外切，記動圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個不同的點，連接交軌跡于點.（i）若直線交軸于點，證明：為一個定點；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個不同的點，且，求四邊形面積的最小值.32．（2022·河南·高三階段練習（理））已知橢圓：的左焦點為，上、下頂點分別為，，．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上有三點，，滿足，證明：四邊形的面積為定值．經(jīng)典題型八：定點問題33．（2022·河南省信陽市第二高級中學高三開學考試（文））在直角坐標系中，已知定點，定直線，動點M到直線l的距離比動點M到點F的距離大2．記動點M的軌跡為曲線C．(1)求C的方程，并說明C是什么曲線？(2)設在C上，不過點P的動直線與C交于A，B兩點，若，證明：直線恒過定點．34．（2022·江蘇·鹽城中學高三開學考試）已知曲線的焦點為，曲線上有一點滿足，過原點作兩條相互垂直的直線交曲線于異于原點的兩點.(1)求證：直線與軸相交于定點；(2)試探究軸上是否存在定點滿足恒成立.若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由.35．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓經(jīng)過點，且離心率.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線與橢圓交于兩點，為橢圓上頂點，直線交直線于兩點，已知兩點縱坐標之和為.求證：直線過定點，并求此定點坐標.36．（2022·河南·高三階段練習（文））已知拋物線：，直線，都經(jīng)過點．當兩條直線與拋物線相切時，兩切點間的距離為4．(1)求拋物線的標準方程；(2)若直線，分別與拋物線依次交于點E，F(xiàn)和G，H，直線EH，F(xiàn)G相交于點．若直線，關于軸對稱，則點是否為定點？請說明理由．經(jīng)典題型九：定值問題37．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知定點，動點滿足.記點的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)經(jīng)過且不垂直于坐標軸的直線與交于兩點，軸上點滿足，證明：為定值，并求出該值.38．（2022·全國·高三專題練習）已知，平面內一動點滿足．(1)求點運動軌跡的軌跡方程；(2)已知直線與曲線交于，兩點，當點坐標為時，恒成立，試探究直線的斜率是否為定值？若為定值請求出該定值，若不是定值請說明理由．39．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，為橢圓上的動點．當點與橢圓的上頂點重合時，．(1)求的方程；(2)當點為橢圓的左頂點時，過點的直線（斜率不為0）與橢圓的另外一個交點為，的中點為，過點且平行于的直線與直線交于點．試問：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明理由．40．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓過點，且點到其兩個焦點距離之和為4.(1)求橢圓的方程；(2)設為原點，點為橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓交于兩點，且直線與軸不重合，直線分別與軸交于兩點.求證：為定值.41．（2022·河北·邢臺市第二中學高三階段練習）如圖所示：已知橢圓：的長軸長為4，離心率．是橢圓的右頂點，直線過點交橢圓于，兩點，交軸于點，，．記的面積為．(1)求橢圓的標準方程；(2)求的取值范圍；(3)求證：為定值．42．（2022·江蘇省響水中學高三開學考試）已知橢圓：，，過點的動直線與橢圓交于、兩點.(1)求線段的中點的軌跡方程；(2)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.經(jīng)典題型十：向量與共線問題43．（2022·全國·高三專題練習）已知點分別為橢圓的左?右焦點，直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線，垂足分別為點.(1)求證：；(2)求證：為定值，并求出該定值；(3)求的最大值.44．（2022·北京·人大附中高三開學考試）已知橢圓：的焦距為，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的右焦點作直線，與橢圓交于，兩點，與軸交于點.若，，求證：為定值.45．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓方程為，直線與軸的交點記為，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點.（1）設若且交直線于，線段中點為，求證：，，三點共線；（2）設點的坐標為，直線與直線交于點，試問是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，請說明理由.46．（2022·湖北十堰·三模）在平面直角坐標系中，，，，，點P是平面內的動點，且以AB為直徑的圓O與以PM為直徑的圓內切.(1)證明為定值，并求點P的軌跡的方程.(2)過點A的直線與軌跡交于另一點Q（異于點B），與直線交于一點G，∠QNB的角平分線與直線交于點H，是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.47．（2022·山東·青島二中高三開學考試）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，且，是C上一點．(1)求C的方程；(2)過點的直線與C交于兩點A，B，與直線交于點N．設，，求證：為定值．48．（2022·全國·高三專題練習）雙曲線：的頂點與橢圓：長軸的兩個端點重合，且一條漸近線的方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線右焦點作直線與分別交于左右兩支上的點，，又過原點作直線，使，且與雙曲線分別交于左右兩支上的點，．是否存在定值，使得？若存在，請求的值；若不存在，請說明理由．49．（2022·安徽省定遠縣第三中學高三階段練習）設直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點，且三角形的面積為．(1)求m的值；(2)已知直線l與x軸不垂直且斜率不為0，l與C交于兩個不同的點M，N，M關于x軸的對稱點為，F(xiàn)為C的右焦點，若，F(xiàn)，N三點共線，證明：直線l經(jīng)過x軸上的一個定點．50．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)已知、分別是橢圓的左、右頂點，是直線上不與點重合的任意一點，是坐標原點，與直線垂直的直線與的另一個交點為.求證：、、三點共線.51．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，、分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于，兩點，其中點在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，設直線的斜率為．(1)若直線平分線段，求的值；(2)求面積的最大值，并指出對應的點的坐標；(3)對任意的，過點作的垂線交橢圓于，求證：，，三點共線．經(jīng)典題型十一：設點設線問題52．（2022·天津·耀華中學高三階段練習）已知曲線的方程為，曲線是以、為焦點的橢圓，點為曲線與曲線在第一象限的交點，且．(1)求曲線的標準方程；(2)直線與橢圓相交于A、B兩點，若AB的中點在曲線上，求直線的斜率的取值范圍．53．（2022·江蘇·海安高級中學高三階段練習）在一張紙上有一個圓：，定點，折疊紙片使圓上某一點好與點重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕，設折痕與直線的交點為．(1)求證：為定值，并求出點的軌跡方程；(2)設，為曲線上一點，為圓上一點（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過定點，并求出此定點的坐標．54．（2022·全國·模擬預測）已知橢圓，過點作橢圓的兩條切線，且兩切線垂直.(1)求；(2)已知點，若存在過點的直線與橢圓交于，且以為直徑的圓過點（不與重合），求直線斜率的取值范圍.55．（2022·福建泉州·模擬預測）已知橢圓過點．右焦點為，縱坐標為的點在上，且．(1)求的方程：(2)設過與軸垂直的直線為，縱坐標不為的點為上一動點，過作直線的垂線交于點，證明：直線過定點．經(jīng)典題型十二：四點共圓問題56．（2022·四川瀘州·三模（文））已知拋物線上的點到其焦點的距離為．(1)求和的值；(2)若直線交拋物線于、兩點，線段的垂直平分線交拋物線于、兩點，求證：、、、四點共圓．57．（2022·河北衡水·高三階段練習）在平面直角坐標系中，已知，，動點P滿足，且.設動點P形成的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的標準方程；(2)過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，試判斷是否存在直線l，使得A，B，M，N四點共圓.若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.58．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（文））已知橢圓的左、右焦點分別為，，左頂點為，且過點．(1)求C的方程；(2)過原點O且與x軸不重合的直線交C于E，F(xiàn)兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N，求證：M，，N，四點共圓．59．（2022·河南洛陽·三模（理））已知拋物線：，是上位于第一象限內的動點，它到點距離的最小值為，直線與交于另一點，線段AD的垂直平分線交于E，F(xiàn)兩點.(1)求的值；(2)若，證明A，D，E，F(xiàn)四點共圓，并求該圓的方程.60．（2022·廣東·三模）已知橢圓E：的離心率為，且經(jīng)過點(-1，).(1)求橢圓E的標準方程；(2)設橢圓E的右頂點為A，點O為坐標原點，點B為橢圓E上異于左?右頂點的動點，直線l：交x軸于點P，直線PB交橢圓E于另一點C，直線BA和CA分別交直線l于點M和N，若O?A?M?N四點共圓，求t的值.經(jīng)典題型十三：極點極線問題61．（2022?江西）如圖，已知雙曲線的右焦點為，點，分別在的兩條漸近線上，軸，，為坐標原點）．（1）求雙曲線的方程；（2）過上一點，的直線與直線相交于點，與直線相交于點．證明：當點在上移動時，恒為定值，并求此定值．62．（2022?青浦區(qū)三模）曲線．（1）若曲線表示雙曲線，求的范圍；（2）若曲線是焦點在軸上的橢圓，求的范圍；（3）設，曲線與軸交點為，在上方），與曲線交于不同兩點，，與交于，求證：，，三點共線．63．（2022春?紹興校級期末）設橢圓過點，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當過點的動直線與橢圓相交于兩不同點，時，在線段上取點，滿足，證明：點的軌跡與無關．64．（2022?株洲一模）如圖，點、分別是橢圓的左、右焦點，過點作軸的垂線，交橢圓的上半部分于點，過點作的垂線交直線于點．（1）如果點的坐標為，求橢圓的方程；（2）試判斷直線與橢圓的公共點個數(shù)，并證明你的結論．經(jīng)典題型十四：斜率和差商積問題65．（2022·四川省南充高級中學模擬預測（理））在平面直角坐標系中，橢圓：的左，右頂點分別為、，點是橢圓的右焦點，，．(1)求橢圓的方程；(2)不過點的直線交橢圓于、兩點，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點，并求出定點的坐標．66．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高三階段練習（文））已知橢圓的長軸為雙曲線的實軸，且橢圓過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)設點是橢圓上異于點的兩個不同的點，直線與的斜率均存在，分別記為，若，試問直線是否經(jīng)過定點，若經(jīng)過，求出定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由.67．（2022·陜西·漢中市龍崗學校高三階段練習（理））已知橢圓的離心率為，橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合．(1)求橢圓的方程；(2)如圖，、是橢圓的左、右頂點，過點且斜率不為的直線交橢圓于點、，直線與直線交于點．記、、的斜率分別為、、，是否存在實數(shù)，使得？68．（2022·江蘇·南京市秦淮中學高三階段練習）橢圓的左右焦點分別為，焦距為，點M為橢圓上位于x軸上方的一點，，且的面積為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.求證：直線恒過定點.69．（2022·北京市第四十四中學高三階段練習）已知橢圓的一個焦點為，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點.(1)若線段中點的橫坐標為，求直線的方程；(2)設直線與直線交于點，點滿足軸，軸，試求直線的斜率與直線的斜率的比值.經(jīng)典題型十五：范圍與最值問題70．（2022·上?！とA東師范大學第一附屬中學高三階段練習）已知橢圓：的左焦點為，下頂點為，斜率為的直線經(jīng)過點．(1)若與直線垂直，求的方程；(2)若直線與橢圓相交于不同的，，直線，分別與直線交于，且，求的取值范圍．71．（2022·上海市洋涇中學高三階段練習）已知、分別是橢圓的左右頂點，為坐標原點，，點在橢圓上．過點，且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于、兩個不同的點．(1)求橢圓的標準方程；(2)若點落在以線段為直徑的圓的外部，求直線的斜率的取值范圍；(3)當直線的傾斜角為銳角時，設直線、分別交軸于點、，記，，求的取值范圍．72．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，橢圓C與y軸交于A，B兩點，且．(1)求橢圓C的方程．(2)設點P是橢圓C上的一個動點，且點P在y軸的右側．直線PA，PB與直線分別交于M，N兩點．若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點E，F(xiàn)，求點P橫坐標的取值范圍及的最大值．73．（2022·全國·高三專題練習）設雙曲線，其右焦點為F，過F的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點．(1)求直線l傾斜角的取值范圍；(2)直線AO（O為坐標原點）與曲線C的另一個交點為D，求面積的最小值，并求此時l的方程．74．（2022·全國·模擬預測）已知，是雙曲線的左、右焦點，且雙曲線過點，．(1)求雙曲線的方程；(2)已知過點的直線交雙曲線左、右兩支于，兩點，交雙曲線的漸近線于，（點位于軸的右側）兩點，求的取值范圍．75．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線C經(jīng)過點，它的兩條漸近線分別為和.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)設雙曲線C的左?右焦點分別為?，過左焦點作直線l交雙曲線的左支于A?B兩點，求周長的取值范圍.經(jīng)典題型十六：切線問題76．（2022·全國·高三專題練習）已知：如圖，拋物線，為其焦點，是過拋物線上一點的切線，是直線上的兩點（不同于點），直線平行于軸．求證：．（入射角等于反射角）77．（2022·廣東廣州·高三階段練習）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最大值為6．(1)求的方程；(2)若點在圓上，，是的兩條切線，，是切點，求面積的最小值．78．（2022·全國·高三專題練習）如圖，為橢圓上的動點，過作橢圓的切線交圓于、，過、作切線交于，求的軌跡方程．79．（2022·全國·高三專題練習）拋物線焦點為，過斜率為的直線交拋物線于，兩點，且(1)求拋物線的標準方程；(2)過直線上一點作拋物線兩條切線，切點為，猜想直線與直線位置關系，并證明猜想.80．（2022·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的四個頂點圍成的四邊形面積為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知點P是直線上的動點，過點P做橢圓C的兩條切線，切點分別為M，N，問直線MN是否過定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由．1．（2022·全國·高考真題（文））設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．2．（2022·全國·高考真題（文））已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．3．（多選題）（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（

）A．C的準線為 B．直線AB與C相切C． D．4．（多選題）（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．5．（2022·全國·高考真題）設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．6．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．7．（2022·全國·高考真題（理））若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．8．（2022·全國·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為___________．9．（2022·全國·高考真題（文））記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值______________．10．（2022·全國·高考真題（文））已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．11．（2022·全國·高考真題（理））設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．

經(jīng)典題型一：直線與圓錐曲線的位置關系1．【答案】B【解析】當時，（當且僅當時取等號），，即，曲線方程為：；當，時，曲線為：，由得：或，即交點為，；當，時，曲線為：；由得：，即交點為；當，時，曲線為：，曲線不存在；當，時，曲線為：；由得：，即交點為；綜上所述：直線與曲線的交點為，，共個.故選：B.2．【答案】A【解析】聯(lián)立直線和雙曲線：，消去得，當，即時，此時方程為，解得，此時直線與雙曲線有且只有一個交點；當，此時，解得或，所以時直線與雙曲線無交點；故選：A3．【答案】D【解析】斜率為，過點A的直線與雙曲線只有一個公共點，則該直線與雙曲線的漸近線平行，且過雙曲線右頂點(a，0)，故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距為2c=．故選：D．4．【答案】B【解析】由題意，拋物線方程，點恰好再拋物線上，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線與拋物線有兩個交點，不滿足題意；當直線與軸平行時，此時直線與拋物線只有一個公共點，滿足題意；因為點在拋物線上，過點有且僅有一條切線，滿足與拋物線只有一個公共點，所以與拋物線只有一個公共點的直線只有2條.故選：B.經(jīng)典題型二：中點弦問題之弦中點的軌跡方程問題5．【答案】【解析】設斜率為的直線方程為，與橢圓的交點為，設中點坐標為，則，所以，兩式相減可得，，即，由于在橢圓內部，由得，所以時，即直線與橢圓相切，此時由解得或，所以，所求得軌跡方程為．故答案為：．6．【答案】(或).【解析】設直線為，與雙曲線交點為，聯(lián)立雙曲線可得：，則，即或，所以，故，則弦中點為，所以弦的中點的軌跡方程為(或).故答案為：(或)7．【解析】（1）設弦與橢圓兩交點坐標分別為、，設，當時，．當時，，兩式相減得，即(*)，因為，，，所以，代入上式并化簡得，顯然滿足方程.所以點P的軌跡方程為（在橢圓內部分）．（2）設，在（1）中式子里，將，，代入上式并化簡得點Q的軌跡方程為（在橢圓內部分）．所以，點的軌跡方程（在橢圓內部分）.（3）在（1）中式子里，將，，代入上式可求得．所以直線方程為．8．【解析】設，弦的中點，則，將代入橢圓方程得，兩式相減得，所以，當時，，因為，所以，則，整理得；當時，則直線方程為，代入橢圓方程解得所以滿足上述方程，故點的軌跡方程.9．【解析】方法1：設，，弦的中點為，則，當直線的斜率存在時，.因為兩式相減，得.所以，即，即.當直線斜率不存在，即軸時，的中點為，適合上式，故所求軌跡方程為.方法2：當直線的斜率存在時，設直線的方程為（），由得.所以所以.設，，的中點為，則，.所以.所以消去參數(shù)，得.當直線的斜率不存在時，即軸時，的中點為，適合上式，故所求軌跡方程為.經(jīng)典題型三：中點弦問題之中點弦所在直線方程問題10．【答案】【解析】設直線與橢圓的交點為為的中點，；兩點在橢圓上，則兩式相減得；則；；故所求直線的方程為，即；故答案為：11．【答案】C【解析】法一：設，則，所以，又AB的中點為，所以，所以，由題意知，所以，即，則C的離心率.故A，B，D錯誤.故選：C.法二：直線AB過點，斜率為1，所以其方程為，即，代入并整理得，因為為線段AB的中點，所以，整理得，所以C的離心率.故A，B，D錯誤.故選：C.12．【解析】設點，則，所以，又因為直線AB的斜率為1，所以，將A、B兩點代入拋物線方程中得：，將上述兩式相減得，，即，所以，即，所以，因此，拋物線的方程為.經(jīng)典題型四：中點弦問題之對稱問題13．【解析】（1）設，，則，即．因為，在橢圓上，所以，，兩式相減得，即，又，所以，即．又因為橢圓過點，所以，解得，，所以橢圓的標準方程為；（2）由題意可知，直線的方程為．假設橢圓上存在，兩點，使得，關于直線對稱，設，，的中點為，所以，，因為，關于直線對稱，所以且點在直線上，即．又因為，在橢圓上，所以，，兩式相減得，即，所以，即．聯(lián)立，解得，即．又因為，即點在橢圓外，這與是弦的中點矛盾，所以橢圓上不存在點，兩點，使得，關于直線對稱．14．【解析】（1）拋物線的焦點為，時，直線，聯(lián)立，可得，設，，，，則，．，點到直線的距離距離，的面積．（2）∵點，關于直線對稱，∴直線的斜率為，∴可設直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，由，可得，設，，，，則，故的中點為，∵點，關于直線對稱，∴的中點，在直線上，∴，得，∵，∴．綜上，的取值范圍為．15．【答案】【解析】依題意，雙曲線上兩點，，，，若點A、B關于直線對稱，則設直線的方程是，代入雙曲線方程化簡得：，則，且，解得，且又，設的中點是，，所以，．因為的中點在直線上，所以，所以，又所以，即，所以所以，整理得，所以或，實數(shù)的取值范圍為：故答案為：.經(jīng)典題型五：弦長問題16．【答案】A【解析】設直線AB方程為，聯(lián)立橢圓方程整理可得：，設，則，，根據(jù)弦長公式有：=．故B，C，D錯誤.故選：A.17．【答案】C【解析】，當直線的斜率不存在時，不滿足題意，所以直線的斜率存在，設，將代入直線方程整理得，所以，，所以，所以，故選：C18．【答案】C【解析】將代入，解得，則、，所以，解得，則.故選：C.19．【解析】（1）設，線段的中點M坐標為，聯(lián)立得消去y可得：，所以所以，代入直線方程，求得，因為Q為三條中垂線的交點，所以，有，直線方程為.令，所以.由橢圓可得右焦點，故．（2）設，中點M坐標為．相減得，.又Q為的外心，故，所以，直線方程為，令，所以而,所以，，同理，，，所以當t變化時，為定值．20．【解析】（1）由橢圓可得，所以，解得，因為橢圓經(jīng)過點，故得到，解得，所以橢圓的方程為（2）當切線垂直軸時，的橫坐標為1或-1，由于橢圓的對稱性，不妨設的橫坐標為1，代入橢圓得解得，所以；當切線不垂直軸時，設切線方程為即，所以圓心到切線的距離，得，把代入橢圓方程，整理得設，則，設，則，則，所以，綜上所述，，此時，因為，所以直線的斜率為21．【解析】（1）拋物線的焦點為，所以，即，，又點，，是等腰直角三角形的三個頂點，所以，即，又，所以，所以雙曲線方程為.（2）依題意設，，由消去整理得，由，所以，，所以.經(jīng)典題型六：三角形面積問題22．【解析】（1）由題意得，解得，橢圓C的方程為．（2）顯然斜率不存在時不滿足條件，當斜率存在時，，設，代入C方程整理得，，，解得，顯然時面積最大值相同，，當P為與平行的切線的切點時，面積最大，不妨設與平行的切線方程為，代入C方程整理得，，解得，顯然時取得最大值，，．23．【解析】（1）由題意，解得，所以橢圓C的方程為．（2）①依題意，設，若直線的斜率為0則P，Q關于y軸對稱，必有，不合題意．所以直線斜率必不為0，設其方程為，與橢圓C聯(lián)立，整理得：，所以，且因為是橢圓上一點，即，所以，則，即因為，所以，此時，故直線恒過x軸上一定點．②由①得：，所以，而，當時的最大值為．24．【解析】（1）連接OQ，由，且所以OQ為的中位線，所以且，所以根據(jù)橢圓的定義可得：，所以，解得，所以，所以，解得，所以，故橢圓C的方程為：．（2）設，，則，由幾何性質可知P、M、O、N四點共圓，且PO為該圓直徑，則以線段OP為直徑的圓的方程為，又圓O的方程為，兩式相減得直線MN的方程為．由消去y整理得．因為直線MN交橢圓C于D、E兩點，設，所以，，，則．又原點到直線DE的距離為，所以三角形ODE的面積為．設，因為所以，因為在單調遞增，所以所以．25．【解析】（1）因為雙曲線的右焦點為，故，由得，所以雙曲線的方程為，，設直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程得，，解得，即直線的斜率范圍為；（2）設，漸近線方程為，則到兩條漸近線的距離，滿足，而，，，所以由，，所以，，∵，∴.26．【解析】（1）將點代入中，得，即，解得，故雙曲線方程為；由題意知直線l的斜率存在，設，設，，則聯(lián)立直線與雙曲線得：，需滿足，故，，，化簡得：，故，即，即，由題意可知直線l不過A點，即，故l的斜率（2）設直線AP的傾斜角為，由，，得，（負值舍去），由直線的斜率之和為,可知，即，則，得，即，聯(lián)立，及得，，將，代入中，得，故，，而，，由，得，故.27．【解析】（1）因為雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，，焦距為，所以，，解得，所以，雙曲線的標準方程為，因為過點作雙曲線切線與直線交于點，故切線的斜率存在，所以，設，在點的切線方程為，聯(lián)立方程得所以，，即①因為，代入①式得，解得所以，在點的切線方程為，所以點的坐標為，即，因為，所以所以，（2）由題，設直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立得，設，所以因為直線，的斜率互為相反數(shù)，所以，所以，整理得：②將代入②整理得：③結合可知時，③式恒成立，所以，由（1）可知，，，所以，所以的面積.28．【解析】（1）當時，，，垂直于x軸，，設左焦點,則軸，∴，，，方程：.由消去x得，∴，∴；（2）設，則，∴直線方程：，方程：，由得，方程：，由消去x得，∴，∴，假設滿足題設條件的存在，則，解得（，與橢圓的范圍不符，舍去),將代入橢圓方程解得，∴存在滿足條件的點，此時.經(jīng)典題型七：四邊形面積問題29．【解析】（1）設動圓P的半徑為R，圓心P的坐標為，由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為，動圓P與圓內切，且與圓外切，，則動圓P的圓心的軌跡E是以，為焦點的橢圓，設其方程為：，其中，，，，即軌跡E的方程為：.（2）當直線AB的斜率不存在，或為0時，四邊形ADBG面積長軸長通徑長，當斜率存在且不為0時，設直線AB的方程為，，，由可得：，，，，．，，同理可得：，，四邊形ADBG面積，則等號當且僅當時取，即時，.30．【解析】（1）由已知是等邊三角形，因為，，所以，得橢圓的標準方程為．（2）設，，因為，，所以，則,所以，，所以，，兩式相減得，帶回原式得，因為，所以，（當時取等）所以四邊形CADB面積S的最大值為．31．【解析】（1）設動圓的半徑為，圓心的坐標為由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.動圓與圓內切，且與圓外切，動圓的圓心的軌跡是以為焦點的橢圓，設其方程為：，其中從而軌跡的方程為：（2）（i）設直線的方程為，則由可得：直線的方程為，令可得點的橫坐標為：為一個定點，其坐標為（ii）根據(jù)（i）可進一步求得：.，則，四邊形面積（法一）等號當且僅當時取，即時，（法二）令，則當，即時，32．【解析】（1）依題意，又，所以，所以，所以橢圓方程為.（2）證明：設，，，因為，所以四邊形為平行四邊形，且，所以，即，又，，所以，若直線的斜率不存在，與左頂點或右頂點重合，則，所以，所以，若直線的斜率存在，設直線的方程為，代入橢圓方程整理得，所以，，，所以所以，整理得，又，又原點到的距離，所以，將代入得，所以，綜上可得，四邊形的面積為定值.經(jīng)典題型八：定點問題33．【解析】（1）因為動點M到直線l的距離比到F的距離大2，故M到F的距離與M到直線的距離相等，所以M的軌跡C是以F為焦點m為準線的拋物線，因此,C是頂點為原點開口向上的拋物線.（2）因為P在C上故，設，聯(lián)立方程，可得，，，將(2)代入化簡得：或，以上均可滿足(1)式，所以直線方程為：或，直線分別過定點或，又，所以直線恒過定點.34．【解析】（1）在，即，解得，所以，故拋物線為，易知直線的斜率不為，故設，，，聯(lián)立，故，，所以，因為，則，則或（舍，故．（2）假設存在設，其中，因為，那么，則軸為的角平分線，若，則垂直于軸，軸平分，則垂直于軸，則直線的方程為，此時，而，相異，故，同理故與的斜率互為相反數(shù)，即為定值．故當時，恒成立．35．【解析】（1）因為橢圓經(jīng)過點，所以，因為離心率，所以，即，因為，所以解得所以方程為（2）設，則，得，由，得，則，直線為，則，直線為，則，所以，化簡得：，所以化簡得當，與點重合，不滿足條件當，代入直線方程可得：，所以過定點.36．【解析】（1）設經(jīng)過點的直線為：，由消去y，得，，當直線與拋物線相切時，，∵，∴，所以，解得，∴切點為，又∵兩切點間的距離為4，∴，即，∴拋物線的標準方程為；（2）設點，，：，則，，聯(lián)立，消去得，則，，∵直線，關于軸對稱，∴直線也關于軸對稱，∴交點在軸上，∴直線的方程為，令，得，∴，∴，∴點的坐標為定點．經(jīng)典題型九：定值問題37．【解析】（1）由橢圓的定義可知：的軌跡為以為焦點的橢圓，且則可得，，所以，所以的方程為（2）設直線為：，則聯(lián)立得：，設，則，，，則，中點坐標為，所以的垂直平分線為，令得：，所以，，38．【答案】(1)(2)是定值；【分析】對于小問1，設點，代入，整理化簡得點軌跡方程；對于小問2，設出直線：，聯(lián)立曲線的方程，結合韋達定理，代入，整理得到和的關系，進而判斷直線是否過定點．（1）設，則，所以點軌跡方程為：．（2）顯然直線不垂直于軸，故設：，，代入并整理得：，∴，整理得：，若，此時過，不合題意；若，即符合題意，故直線的斜率為．39．【解析】（1）設橢圓E的半焦距為c，點，而，則，即有，解得，又離心率，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，顯然直線不垂直于坐標軸，設直線：，，由消去x并整理得：，解得點，則點，直線，則直線方程為：，點，直線的斜率，直線的斜率，因此，，所以是定值.40．【解析】（1）依題意，解得，所以橢圓方程為；（2）由（1）可知，當直線斜率不存在時，直線的方程為，代入橢圓方程得，解得，不妨設此時，，所以直線的方程為，即，直線的方程為，即，所以；當直線斜率存在時，設直線的方程為，由得，依題意，，設，，則，，又直線的方程為，令，得點的縱坐標為，即，同理，得，所以，綜上可得，為定值，定值為．41．【解析】（1）令橢圓E的半焦距為c，依題意，，，解得，則，所以橢圓的標準方程為.（2）依題意，直線不垂直于坐標軸，設直線：，，設，由消去x并整理得：，則，，，由（1）知，則有，令，顯然函數(shù)在上單調遞增，，則，所以的取值范圍是.（3）由（2）知，，由得，即，而，同理，因此，，所以為定值.42．【解析】（1）①當直線存在斜率時，設、、，，則應用點差法：，兩式聯(lián)立作差得：，∴，又∵，∴，化簡得（），②當直線不存在斜率時，，綜上，無論直線是否有斜率，的軌跡方程為；（2）①當直線存在斜率時，設直線的方程為：，聯(lián)立并化簡得：，∴恒成立，∴，，又，，，，∴，，若使為定值，只需，即，其定值為，②當直線不存在斜率時，直線的方程為：，則有、，又，，，，∴，當時，也為定值，綜上，無論直線是否有斜率，一定存在一個常數(shù)，使為定值.經(jīng)典題型十：向量與共線問題43．【解析】（1）聯(lián)立與得：，由直線與橢圓有一個公共點可知：，化簡得：；（2）由題意得：，因為，所以∥，故，其中，，所以，為定值，該定值為1；（3），由題意得：點在直線的同側，所以，，（其中為的夾角），由此可知：，當且僅當即時，等號成立，所以的最大值為4.44．【解析】（1）因為橢圓的焦距，所以.又因為橢圓過點，所以.又因為，所以，.所以橢圓的標準方程為：.（2）設點，，，.由題意可知，直線的斜率存在，可設直線的方程為.聯(lián)立，得.由于點在橢圓的內部，直線與橢圓必有兩個交點，必有.由韋達定理可得，.因為，，得，.依題意，，，所以，.所以.所以為定值.45．【解析】（1）由橢圓方程為知，右焦點坐標，橢圓的右準線方程為，點坐標.由知，直線的斜率不為0，故設直線的方程為，從而，直線的方程為，令得，點坐標為，故直線的方程為.聯(lián)立方程組，消去得：，設，即，，從而，線段的中點，.又線段的中點的坐標滿足直線方程，所以點在直線上，綜上可知，，，三點共線；（2）當直線的斜率為0時，點即為點，從而，故.直線的斜率不為0時，由（1）知，，，所以，則，直線的方程為，又，令，得，所以點的坐標為，即，所以.綜上可知，為定值0.46．【解析】(1)如圖，以為直徑的圓與以為直徑的圓內切，則.連接，因為點O和分別是和的中點，所以.故有，即，又，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓.因為，，所以，故的方程為.(2)存在滿足題意.理由如下：設，，.顯然.依題意，直線AQ不與坐標軸垂直，設直線AQ的方程為，因為點G在這條直線上，所以，.聯(lián)立得的兩根分別為和0，則，，所以，.設，則，則，，所以，整理得，因為，所以，即.故存在常數(shù)，使得.47．【解析】(1)設C的焦距為，則，即，，；由雙曲線的定義，得，即，所以，故C的方程為．(2)設，，，顯然直線AB的斜率存在，可設直線AB的方程為，代入，得．由過點的直線與C交于兩點A，B，得，由韋達定理，得，；

①由在直線上，得，即；

②由在直線AB上，得．

③由，得，即解得．同理，由，得，結合①②③，得．故是定值．48．【解析】（1）由橢圓：得到：，雙曲線的漸近線方程為，得到：，解得：.則雙曲線的方程．（2）若存在定值，使得，∵與同向，∴，∵，設：，由消去整理得：，∴，由交左右兩支于、兩點，有，即，則，，由于，可設：，由消去整理得：，∴，由此，∴，故存在定值，使得．49．【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，則不妨令點，，而點O到直線AB的距離為m，因此，解得，所以．（2）由（1）知，雙曲線C的方程為，右焦點，因直線l與x軸不垂直且斜率不為0，設直線l與x軸交于點，直線l的方程為，設，則，由消去y并整理得，顯然有且，化簡得且，則，，而，F(xiàn)，N三點共線，即，則，因此，又，有，整理得，于是得，化簡得，即直線：，過定點，所以直線l經(jīng)過x軸上的一個定點．50．【解析】（1）由題意可得，解得，因此，橢圓的方程為.（2）證明：設點的坐標為，其中，易知點、，，則直線的方程為，聯(lián)立，可得，即點，，，則，因此，、、三點共線.51．【解析】（1）由題設知，，，故，，線段中點坐標為．由于直線平分線段，故直線過線段的中點，又直線過原點，；（2），，，設與平行的直線方程為，聯(lián)立，得．由，解得：．由題意可知，當時，直線與直線的距離最大，最大值．即面積有最大值，等于．由，解得，，點坐標為；（3）設，，，，中點，，則，，兩式作差可得：，，即．，，即，．，，，即．，，故，，三點共線．經(jīng)典題型十一：設點設線問題52．【解析】（1）設橢圓方程為，依題意，，，利用拋物線的定義可得，解得，點的坐標為，所以，由橢圓定義，得．，所以曲線的標準方程為；（2）設直線與橢圓的交點，，，，，的中點的坐標為，，設直線的方程為，(當時,弦中點為原點,但原點并不在上,同樣弦中點為原點，不適合題意)與聯(lián)立，得，由得①，由韋達定理得，，，則，，將中點，代入曲線的方程為，整理，得，②將②代入①得，令，則，解得，．所以直線的斜率的取值范圍為且．53．【解析】（1）由題意得，所以，即的軌跡是以，為焦點，實軸長為的雙曲線，又，，所以，所以的方程為；（2）由已知得：，：，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去整理得，由韋達定理得，所以，即，所以，聯(lián)立直線方程與圓方程，消去整理得，由韋達定理得，所以，即，因為，即，所以，若直線所過定點，則由對稱性得定點在軸上，設定點，由三點共線得，即，所以直線過定點．54．【解析】（1）由題可知，切線斜率存在，則設切線，聯(lián)立得，即，相切得：，即，所以由兩切線垂直得：（2）由（1）得，橢圓方程為由題可知，直線的斜率存在，設，聯(lián)立得設，由韋達定理得：由題意為直徑的圓過點，①又代入①式得：或（舍去），所以過定點，，，即直線斜率范圍55．【解析】（1）設點，其中，則，因為橢圓過點，則，將點的坐標代入橢圓的方程，可得可得，解得，因此，橢圓的標準方程為.（2）證明：由對稱性可知，若直線過定點，則點必在軸上，設點，設點，則，所以，直線的垂線的斜率為，故直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點，所以，直線的方程為，因為點在直線上，所以，，即，①又因為，所以，，②將②代入①可得，即，，則，所以，直線過定點.經(jīng)典題型十二：四點共圓問題56．【解析】（1）拋物線的焦點為，準線方程為，點到其焦點的距離為，則，可得，故拋物線的方程為．將點的坐標代入拋物線方程可得，解得.（2）由中垂線的性質可得，，，，所以，，設、，聯(lián)立消去并整理，得，則，，且，即，則．設線段的中點為，則點的縱坐標為，所以，點的橫坐標為，則．直線為線段的垂直平分線，所以，直線的方程為．設、，聯(lián)立，消去并整理得，，可得，則，，故．設線段的中點為，則．，，，故，所以，，，故，故，所以，點、都在以為直徑的圓上，故、、、四點共圓．57．【解析】（1）設，則，，，因為，所以，所以，，所以，，又，整理得，即曲線C的標準方程為；（2）易知當l的斜率不存在時，直線l與曲線C沒有兩個交點，所以直線l的斜率存在，設l：，將直線l與曲線C聯(lián)立，得，消去y，整理得，因為且，所以且，設，，則，，所以MN的中點，且，將，代入上式，整理得，當時，線段MN的中垂線方程為：，令y＝0，解得，即與x軸的交點坐標為，當k＝0時，線段MN的中垂線為y軸，與x軸交于原點，符合Q點坐標，因為AB的中垂線為x軸，所以若A，B，M，N共圓，則圓心為，所以，所以，整理得，即，因為且，所以上述方程無解，即不存在直線l符合題意.58．【解析】(1)由題意知解得，，所以C的方程為．(2)證明：當直線EF的斜率不存在時，E，F(xiàn)為短軸的兩個端點，則，或，所以，，則以MN為直徑的圓恒過焦點，即M、，N，四點共圓．當EF的斜率存在且不為零時，設直線EF的方程為，設點（不妨設，則點．由消去y得，所以，，所以直線AE的方程為．因為直線AE與y軸交于點M，令得，即點，同理可得點．所以，，所以，所以，同理．則以MN為直徑的圓恒過焦點，，即M，，N，四點共圓．綜上所述，M，，N，四點共圓．59．【解析】(1)設，則，令，則，對于二次函數(shù)，其對稱軸為，當時，，在上單調遞增，其最小值為9，即的最小值為3，不滿足題意，當時，，所以當時取得最小值，即所以，解得或（舍）所以(2)由（1）可得，當時，，點，所以，直線的方程為，由可得，解得或，所以，所以的中點為，所以直線的方程為，即，設，由可得，所以所以線段的中點為，因為，所以A，D，E，F(xiàn)四點共圓，圓心為，半徑為8，所以該圓的方程為.60．【解析】(1)依題意：，解得：，，故橢圓C的方程為；(2)設B(，)，C(，)，∵點B為橢圓E上異于左?右頂點的動點，則直線BC不與x軸重合，則可設BC為，與橢圓方程聯(lián)立得，則，可得，由韋達定理可得．直線BA的方程為，令得點M縱坐標同理可得，點N縱坐標當O?A?M?N四點共圓時，由割線定理可得，即，∵．由，故，解得．經(jīng)典題型十三：極點極線問題61．【解析】（1）解：依題意知，，設，，，，，整理得：，，雙曲線的方程為；（2）證明：由（1）知，的方程為：，又，直線與直線相交于點，與直線相交于點．于是可得，，，又因為，在上，所以有，．62．【解析】解：（1）若曲線表示雙曲線，則：，解得：，，；（2）若曲線是焦點在軸上的橢圓，則：．解得：，（8分）證明：（3）當，曲線可化為：，當時，，故點坐標為：，將直線代入橢圓方程得：，若與曲線交于不同兩點，，則△，解得：，（10分）由韋達定理得：①，②（12分）設，，，，，，方程為：，則，，（14分），，，，欲證，，三點共線，只需證，共線，即，將①②代入可得等式成立，則，，三點共線得證．63．【解析】解（Ⅰ）由題意解得，，所求橢圓方程為．（Ⅱ）設點，，，，，由題設．又，，，四點共線，可得，于是（1）（2）由于，，，在橢圓上，將（1），（2）分別代入的方程，整理得（3）（4）（4）（3）得，，，點總在定直線上．即點的軌跡與無關．64．【解析】解：（1）解方程組得點的坐標為，，，，將代入上式解得，；點的坐標為，，，，，；（2），點的坐標為，，，即將的方程代入橢圓的方程得，①方程①可化為解得直線與橢圓只有一個公共點．經(jīng)典題型十四：斜率和差商積問題65．【解析】（1）由題意知，，，，∵，，∴，解得，從而，∴橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，，．直線不過點，因此．由，得，時，，，∴，由，可得，即，故的方程為，恒過定點．66．【解析】（1）因為橢圓的長軸為雙曲線的實軸，所以，因為橢圓過點，所以，，得，所以橢圓方程為，（2）①當直線的斜率存在時，設其方程為，由，得，，所以，所以，，因為，所以，所以，所以，所以，化簡得，即，所以或，當時，直線的方程為，則直線過定點（舍去），當時，直線的方程為，所以直線過定點，②當直線的斜率不存在時，設直線為（），由，得所以，所以，解得（舍去），或，所以直線也過定點，綜上，直線恒過定點.67．【解析】（1）拋物線的焦點為，由題意可得，，，故，因此，橢圓的方程為.（2）設、，設直線的方程為，其中，聯(lián)立，得，，由韋達定理可得，，所以，易知點、，，所以，直線的方程為，將代入直線的方程可得，即點，，，所以，，所以，.68．【解析】（1）因為，所以，即，所以，所以又，，，所以，即，所以，所以，所以橢圓方程為.（2）依題意，設，若直線的斜率為0則關于軸對稱，必有，不合題意．所以直線斜率必不為0，設其方程為，與橢圓C聯(lián)立，整理得：，所以，且，因為是橢圓上一點，即所，則，即，因為，得即因為，，整理得解得，所以直線恒過定點.69．【解析】（1）若直線的斜率不存在時，線段中點的橫坐標為，與已知矛盾；設，，則，，，所以，記線段中點為，設的縱坐標為，由已知可得點的坐標為，所以，，所以，因為直線過點，，所以，所以，所以，當時，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，因為直線：與的交點坐標為，點在橢圓內，故直線與橢圓相交，滿足條件，當時，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，因為直線：與的交點坐標為，點在橢圓內，故直線與橢圓相交，滿足條件，所以直線的方程為或；（2）設直線的方程為，聯(lián)立，化簡可得，所以，方程的判別式，所以或，設，，則，，聯(lián)立，化簡可得，所以點的坐標為，因為軸，軸，所以點的坐標為，所以直線的斜率，直線的斜率，所以，又，所以，經(jīng)典題型十五：范圍與最值問題70．【解析】（1）橢圓的左焦點為，下頂點為，所以直線，若與直線垂直，則直線的斜率為1，又直線經(jīng)過點，所以直線的方程為，即；（2）由題意知直線的斜率存在，設，由得，由得或，，，所以，直線的方程為，直線的方程為，令，可得，，可得，因為，所以同號，且，所以，即，解得，又或，所以或.71．【解析】（1）因為，所以；又點在圖像上即，所以，所以橢圓的方程為；（2）由（1）可得設直線，設、，由得，解得或①∵點在以線段為直徑的圓的外部，則，又②解得或

由①②得（3）設直線，又直線的傾斜角為銳角，由（2）可知，記、，所以直線的方程是：，直線的方程是：.令，解得，所以點S坐標為；同理點T為.所以，，.由，，可得：，，所以，由（2）得，，所以

，因為，所以，，故的范圍是.72．【解析】（1）由題意，可得，，得，解得：．橢圓C的標準方程為．（2）解法1：設點P的坐標為，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為．∴，直線PA的方程為，同理：直線PB的方程為．直線PA與直線的交點為；直線PB與直線的交點為．∵線段MN的中點坐標為，∴圓的方程為．令，則．∵，∴，∴．∵這個圓與x軸相交，該方程有兩個不同的實數(shù)解，∴，解得．設交點坐標分別為，，則．∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．解法2：設點P的坐標為，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為．∴，直線PA的方程為，同理：直線PB的方程為．直線PA與直線的交點為；直線PB與直線的交點為．若以MN為直徑的圓與x軸相交，則，即，即．∵，∴，代入得到，解得．該圓的直徑為；圓心到x軸的距離為；該圓在x軸上截得的弦長為．∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．解法3：設點P的坐標為，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為．∴，直線PA的方程為同理：直線PB的方程為．直線PA與直線的交點為；直線PB與直線的交點為．∴．圓心到x軸的距離為．若該圓與x軸相交，則，即．∵，∴，∴，解得．該圓在x軸上截得的弦長為．∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．解法4：記點D的坐標為（2，0），點H的坐標為（4，0），設點P的坐標為，點M的坐標為，點N的坐標為．由已知可得點A的坐標為（0，1），點B的坐標為．∴AP的直線方程為，BP的直線方程為．令，分別可得，．∴點M的坐標為，點N的坐標為．若以MN為直徑的圓與x軸相交于點E，F(xiàn)，∵，∴．．∵，∴，代入得到，∴．∴．∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．解法5：設直線OP與交于點T．∵軸，∴有，．∴，，即T是MN的中點．又設點P的坐標為，則直線OP方程為．令，得，∴點T的坐標為．而，若以MN為直徑的圓與x軸相交于點E，F(xiàn)，則，即．∵，∴，∴，解得或．∵，∴，∴．∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．73．【解析】（1）由雙曲線得，則右焦點，顯然直線l的斜率不為0，設直線l的方程為，由得，因為直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，設，則，解得，當時，直線l傾斜角，當時，直線l的斜率或，綜上，直線l傾斜角的取值范圍為（2）因為O是AB中點，所以，令，則，其中，且又在單調減，所以，當，即時求得，此時直線l的方程為74．【解析】(1)設雙曲線的半焦距為，∵，∴．又，，解得，，∴雙曲線的方程為．(2)由題意可設直線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立得，聯(lián)立得，∴．聯(lián)立得，設，，則，，由即，∴，∴．又，∴，∴，∴的取值范圍為．75．【解析】（1）設雙曲線C的方程為，代入點，得，所以雙曲線C的標準方程為.（2）雙曲線C的左焦點為，設?，①若直線l的斜率不存在，則，得A?B的坐標分別為和，此時的周長為.②若直線l的斜率存在，設直線l的方程為，由得，因為直線l交雙曲線的左支于A?B兩點，所以，得設的周長為z，，設，由，得，，，所以，綜上，由①②可得的周長的取值范圍.經(jīng)典題型十六：切線問題76．【解析】作拋物線的準線，延長交于點，則；由得，因此，當時直線的斜率，直線的斜率，兩條直線斜率乘積為，所以直線垂直平分線段，則．當時，點,此時直線為軸，結論顯然成立．綜上所述，結論成立．77．【解析】（1）拋物線的焦點為，圓，圓心，半徑，所以，與圓上點的距離的最大值為，解得；所以拋物線的方程為.（2）拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導得，設點，，，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線的公共點，則，所以，點、的坐標滿足方程，所以，直線的方程為