三維空間中二次曲面的旋轉(zhuǎn)與分類

三維空間中二次曲面的旋轉(zhuǎn)與分類

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，非歐幾何已經(jīng)成為一個重要的數(shù)學(xué)分支。在非歐空間中，三維最小空間是研究最廣泛的偽歐空間。因為它只有一個負(fù)指標(biāo)，所以它有一個很好的對稱性，與三維歐空間有很多相似之處。因此，歐空間的一些結(jié)論可以推廣到三維最小空間。因為它有一個負(fù)指標(biāo)，它與三維歐空間非常不同。在3d空間中，許多簡單的結(jié)論是三維空間中的一種非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。在本文中，我們主要討論了在三維空間中分類兩個單元的問題。1預(yù)備知識1.1,3記:A=(aij)3×3,其中,aij=aji;i,j=1,2,3·β=(b1b2b3)Τ;γ=c;α=(xyz)[JX*4]?[JX-*4]則二次曲面可表示為f(x,y,z)=(αΤ,1)(AβΤβγ)(α1)=0[JX*4]?[JX-*4]1.2類時軸旋轉(zhuǎn)的lorenz變換矩陣在E31空間中,Lorentz變換分為正交標(biāo)架下和偽正交標(biāo)架下的旋轉(zhuǎn)變換·在正交標(biāo)架下繞類空軸和類時軸旋轉(zhuǎn)的Lorentz變換矩陣分別為R1(θ)=(1000coshθsinhθ0sinhθcoshθ),R2(θ)=(cosθsinθ0-sinθcosθ0001),在偽正交標(biāo)架下繞類光軸旋轉(zhuǎn)的Lorentz變換矩陣為R3(t)=(100t10-t22-t1)[JX*4]?[JX-*4]1.3lorenz變換記:α1=(x′,y′,z′)Τ,在E31空間中,若有α1=Ri(θ)α,(i=1,2,3),稱f(x′,y′,z′)=0為二次曲面f(x,y,z)=0在E31空間中的Lorentz變換·經(jīng)Lorentz變換有f(x′,y′,z′)=(αΤ11)(AβΤβγ)(α11)=(αΤ1)(Ri(θ)ΤARi(θ)Ri(θ)ΤβΤβRi(θ)γ)(α1)[JX*4]?[JX-*4](1)定義1若有Lorentz變換Ri(θ)(i=1,2,3),使得α1=Ri(θ)α,則稱二次曲面f(x,y,z)和二次曲面f(x′,y′,z′)=0等價·定義2若有Lorentz變換Ri(θ)(i=1,2,3),使得B=Ri(θ)TARi(θ),則稱對稱矩陣A和對稱矩陣B關(guān)于Lorentz變換Ri等價·2旋轉(zhuǎn)變量中的不變量2.1lax3.2.3正交標(biāo)架下,對稱矩陣A繞類空軸旋轉(zhuǎn)后,R1(θ)ΤAR1(θ)=(a11B12B13B21B22B23B31B32B33)[JX*4]?[JX-*4](2)其中,B12=B21=a12coshθ+a13sinhθ,B13=B31=a12sinhθ+a13coshθ,B22=a22cosh2θ+a23sinh2θ+a33sinh2θ,B23=B32=a22coshθsinhθ+?a23cosh2θ+a33coshθsinhθ,B33=a22sinh2θ+a23sinh2θ+a33cosh2θ[JX*4]?[JX-*4]記:S1=sign(a12+a13),S2=sign(a22+a33+2a23),S3=sign(a12-a13),S4=sign(a22+a33-2a23),Ι1=a11,Ι2=a22-a33,Ι3=|a22a23a32a33|,Ι4=|A|,Ι5=|AβΤβγ|,Ι6=a212-a213,Ι7=(a22+a23)a12a13-a23(a212+a213),Ι8=a22+a23+2a23(a12+a13)2(a12≠-a13),Ι9=a22+a33-2a23(a12-a13)2(a12≠a13),Ι10=2a12a13a23-a22a213-a33a212,Ι11=2a12a13a23-a22a212-a23a213[JX*4]?[JX-*4]定理1量S1～S4,I1～I(xiàn)11為二次曲面f(x,y,z)=0在正交標(biāo)架下繞類空軸旋轉(zhuǎn)的Lorentz變換下的不變量·2.2a.2a3a3正交標(biāo)架下,對稱矩陣A繞類時軸旋轉(zhuǎn)后,R2(θ)ΤAR2(θ)=(B11B12B13B21B22B23B31B32B33)[JX*4]?[JX-*4](3)其中,B23=B32=a13sinθ+a23cosθ,B13=B31=a13cosθ-a23sinθ,B11=a11cos2θ-a12sin2θ+a22sin2θ,B12=B21=(a21-a22)sinθcosθ+a12cos2θ,B22=a11sin2θ+a12sin2θ+a22cos2θ·記Ιˉ1=a33,Ιˉ2=a11+a22,Ιˉ3=|a11a12a21a22|,Ιˉ4=|A|,Ιˉ5=|AβΤβγ|,Ιˉ6=a132+a232,Ιˉ7=(a11-a22)a13a23+a12(a132-a232),Ιˉ8=a11-a22+2ia12(a13+ia23)2(a132+a232≠0),Ιˉ9=a11-a22-2ia12(a13-ia23)2(a132+a232≠0),Ιˉ10=2a12a13a23-a11+a232-a22a132,Ιˉ11=2a12a13a23+a11a132+a22a232·定理2量Ιˉ1～Ιˉ11為二次曲面f(x,y,z)=0在正交標(biāo)架下繞類時軸旋轉(zhuǎn)的Lorentz變換下的不變量·2.3lorenz變換下的不變量偽正交標(biāo)架下,對稱矩陣A經(jīng)繞類光軸旋轉(zhuǎn)的Lorentz變換后的矩陣為R3(t)ΤAR3(t)=(B11B12B13B21a22-2a23t+a23t2a23-a33tB31a23-a33ta33)[JX*4]?[JX-*4](4)其中,B11=a11+2a12t+(a22-a13)t2-a23t3+a33t44,B12=B21=a12+(a22-a13)t-3a23t22+a33t32,B13=B31=a13+a23t-a23t22[JX*4]?[JX-*4]記:Ι?1=a33,Ι?2=a33+a13+a232,Ι?3=|a22a23a32a33|,Ι?4=|A|,Ι?5=|AβΤβγ|,Ι?6=a33|a12a13a31a33|+a23|a22a23a32a33|,Ι?7=a332|a11a13a31a33|+2a23a33|a12a13a32a33|+a232|a22a23a32a33|[JX*4]?[JX-*4]定理3量Ι?1～Ι?7為二次曲面f(x,y,z)=0在偽正交標(biāo)架下繞類光軸旋轉(zhuǎn)的Lorentz變換下的不變量·2.4旋轉(zhuǎn)變換相關(guān)的不變量記:α1=α+Δα,稱f(x′,y′,z′)=0為二次曲面f(x,y,z)=0的平移變換·定理4二次曲面f(x,y,z)=0在3維Minkowski空間中旋轉(zhuǎn)變換下的不變量S1～S4,I1～I(xiàn)11,Ιˉ1～Ιˉ11,Ι?1～Ι?7也是平移變換下的不變量·3lorenz變換s1等價的材料定理5對稱矩陣A與對稱矩陣B關(guān)于Lorentz變換R1等價的充分必要條件是對稱矩陣A與對稱矩陣B對應(yīng)的I1,I2,I3,I4,I6,I7,I8,I9,S1,S2,S3,S4相等·其中對I8要滿足a12≠-a13,對I9要滿足a12≠a13·定理6對稱矩陣A與對稱矩陣B關(guān)于Lorentz變換R2等價的充要條件是兩矩陣對應(yīng)的Ιˉ1,Ιˉ2,Ιˉ3,Ιˉ4,Ιˉ6,Ιˉ7相等·定理7對稱矩陣A與對稱矩陣B關(guān)于Lorentz變換R3等價的充要條件是兩矩陣對應(yīng)的Ι?1,Ι?2,Ι?3,Ι?4,Ι?6,Ι?7相等且Ι?1≠0·42次曲的分類4.1隱藏軸變換的分類(1)關(guān)于“i1”,把伊里里各起事單元2.2.2.2.2.3+0;b3>0;b30,54e,54e,54e;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0;b3:0,5.2.3,53.2.3,53.2.3.2.3.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.2.3.3.3.3,5.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.3.3.2.3.2.2.2.3.2.3.2.3.3.2.3.2.3.2.3.3.3.3.3.2.3.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.2.3.3.3.3.2.3.3.3.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.根據(jù)前面討論知道方程能變換為a*11+a*22y2+a*33z2+c*=0,a*11a*22a*33≠0的二次曲面,必須有a12=a13=0,即a11x2+a22y2+a33z2+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0[JX*4]?[JX-*4]現(xiàn)在只討論I1=a11>0的情形,對于I1=a11<0,兩邊同乘以-1·①I3>0(即I4>0),S2<0,變換為最簡方程:λ1x2-λ2y2-λ3z2+Ι5Ι4=0,其中,λ1=Ι1=0,λ2=Ι22+4Ι3-Ι22＞0,λ3=Ι22+4Ι3+Ι22＞0·②I3>0(即I4>0),S2>0,變換為最簡方程:λ1x2+λ2y2+λ3z2+Ι5Ι4=0,其中,λ1=Ι1＞0,λ2=Ι22+4Ι3+Ι22＞0,λ3=Ι22+4Ι3-Ι22＞0·③I3<0(即I4<0),I2<0,同時I22+4I3≥0,變換為最簡方程:λ1x2-λ2y2+λ3z2+Ι5Ι4=0,其中,λ1=I1>0,λ2>0,λ3>0是方程x2+I2x-I3=0的兩根·④I3<0(即I4<0),I2>0,同時I22+4I3≥0,變換為最簡方程:λ1x2+λ2y2-λ3z2+Ι5Ι4=0,其中,λ1=I1>0,λ2>0,λ3>0是方程x2-I2x-I3=0的兩根·以上4種情況還可以進(jìn)一步對I5>0,I5=0,I5<0三種情況討論分類·(2)s12y2+3z2,3z3z3根據(jù)前面討論知道方程能變換為a*22y2+a*33z2+2b*1x=0,b*1a*22a*33≠0的二次曲面,必須有a11=a12=a13=0,且I3I5<0,即a22y2+a33z2+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0[JX*4]?[JX-*4]①I3>0且I5<0,S2<0,變換為最簡方程:λ1x-λ2y2-λ3z2=0,其中,λ1=±2-Ι5Ι3,λ2=Ι22+4Ι3-Ι22＞0,λ3=Ι22+4Ι3+Ι22＞0[JX*4]?[JX-*4]②I3<0且I5>0,I2>0,同時I22+4I3≥0,變換為最簡方程:λ1x+λ2y2-λ3z2=0,其中,λ1=±2-Ι5Ι3,λ2＞0,λ3＞0是方程x2-I2x-I3=0的兩根·4.2軸變換時間的分類(1)x.4[jx-3][1.2.3]由前面的討論可知能變換為最簡方程為a*11x2+a*22y2+a*33z2+c*=0,a*11a*22a*33≠0的二次曲面有a12=a23=0,即a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2b1x+2b2y+2b3z+c=0[JX*4]?[JX-*4]現(xiàn)在只討論Ιˉ1=a33＞0的情形,對于Ιˉ1=a33＜0兩邊同時乘以-1·①Ιˉ3>0(即Ιˉ4>0,Ιˉ2>0,變換為最簡方程:λ1x2+λ2y2+λ3z2+Ιˉ5Ιˉ4=0,其中,λ3=Ιˉ1＞0,λ1＞0,λ2＞0是方程x2-Ιˉ2x+Ιˉ3=0的兩根·②Ιˉ3>0(即Ιˉ4>0,Ιˉ2<0,變換為最簡方程:-λ1x2-λ2y2+λ3z2+Ιˉ5Ιˉ4=0,其中,λ3=Ιˉ1,λ1＞0,λ2＞0是方程x2+Ιˉ2x+Ιˉ3的兩根·③Ιˉ3<0(即Ιˉ4<0)變換為最簡方程:λ1x2+λ2y2+λ3z2+Ιˉ5Ιˉ4=0,其中,λ3=Ιˉ1＞0,λ1＞0,λ2＞0是方程x2-Ιˉ2x+Ιˉ3的兩根·以上3種情況還可以再進(jìn)一步對Ιˉ5＞0,Ιˉ5=0,Ιˉ5＜0三種情況討論分類·(2)b出合理的b3規(guī)則a*11a*22b*3≠0的二次曲面·由前面討論可知變換為最簡方程為a*11x2+a*22y2+2b*3z=0,a*11a*22b*3≠0的二次曲面有a13=a23=a33=0,且Ιˉ3Ιˉ5<0,即a11x2+a22y2+2a12xy+2b1x+2b2y+2b3z+c=0[JX*4]?[JX-*4]①Ιˉ3>0且Ιˉ5<0,Ιˉ2>0,變換為最簡方程:λ1x2+λ2y2+λ3z=0,其中,λ3=±2-Ιˉ5Ιˉ3,λ1＞0,λ2＞0是方程x2-Ιˉ2x+Ιˉ3=0的兩根·②Ιˉ3>0且Ιˉ5<0,Ιˉ2<0,變換為最簡方程:-λ1x2-λ2y2+λ3z=0,其中,λ3=±2-Ιˉ