2021人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下勾股定理習(xí)題含答案

勾股定理

1.下列說(shuō)法正確的是（D）

A.若4,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則/+/=,2

B.若a,b,c是RtZ\A8C的三邊長(zhǎng)，則/+廿=修

C.若a,b,c是RtZXABC的三邊長(zhǎng)，NA=90°,則/+/=。2

D.若a,b,c是RtaABC的三邊長(zhǎng)，ZC=90°,則廿+/=/

2.已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊長(zhǎng)為（C）

A.5B.yflC.巾或5D.不確定

【點(diǎn)撥】本題中斜邊未定，故需分類討論.當(dāng)斜邊長(zhǎng)為4時(shí)，第三邊長(zhǎng)為后手=由；

當(dāng)斜邊為第三邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為嚴(yán)工=5.

3.如圖，點(diǎn)￡在正方形A8C。的邊A8上，若EB=1,EC=2,則正方形A8CO的面積為（B）

【點(diǎn)撥】???四邊形ABC。是正方形，

/.ZB=90°.

.,?BC2=￡C2-EB2=22-12=3.

二正方形ABCD的面積為81=3.

4.如圖，在RtZXA6c中，ZACB=90°,C￡>為48邊上的高，CE=BE,A￡>=2,CE=5,則8等于（C）

5.（2020?陜西）如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，若8。是△ABC

的高，則8。的長(zhǎng)為（D）

1

A

A.B.^\/13C.D.J^\/T3

【點(diǎn)撥】由勾股定理得西學(xué)

1117

*/S^ABC=3X3—2X1X2-1X1X3—/X2X3=1,

i7

：.^ACBD=y:.#BD=7,

，8O=今用.【答案】D

6.如圖，直線1上有三個(gè)正方形a,b,c,若a,c的面積分別為3和4,則b的面積為（D）

7.直角三角形的兩條直角邊為a,b,斜邊為C,斜邊上的高為/?,下列結(jié)論：①〃2+廿=°2；②ab=ch；③點(diǎn)

+:=去其中正確的是（B）

A.①B.①②③C.①②D.①③

8.勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中早有記載，如圖①，以直角三角形

的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖②的方式放置在最大正方形內(nèi).若知道圖中

陰影部分的面積，則一定能求出（C）

①

2

A.直角三角形的面積

B.最大正方形的面積

C.較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積

D.最大正方形與直角三角形的面積和

【點(diǎn)撥】設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)是a,b,c(c>a>b),則陰影部分的面積是(c—a)(c+a—b),較小兩個(gè)正方形

重疊部分的面積是b(b+a—c),(c—a)(c+a—b)=(c—a)(c+a)—b(c—a)=c2—a2+b(a—c)=b2+b(a—c)=b(b

+a—c).故選C

9.【中考?漳州】如圖，在aABC中，AB=AC=5,BC=8,D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B,C),若

線段AD長(zhǎng)為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有(C)

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【點(diǎn)撥】由題易知△ABC的邊8c上的高二了=3,所以當(dāng)線段AO長(zhǎng)為3時(shí)，點(diǎn)。有1個(gè)，當(dāng)線段

長(zhǎng)為4時(shí)，點(diǎn)。有2個(gè)，則點(diǎn)。的個(gè)數(shù)共有3個(gè).【答案】C

10.(202().金華)如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形A3C。與正方形EFGH.連接EG,

BO相交于點(diǎn)O,8。與”C相交于點(diǎn)尸，若GO=GP,則的值是(B)

SiE方形EFGH

A.1+^2B.2+V2

-15

C.5-V2D-T

【點(diǎn)撥】?.?四邊形EFG”為正方形,

二NEGH=45°,NFGH=9Q°.

?：OG=GP,：.ZGOP=ZOPG=67.5°,；.NPBG=22.5。.

又?.,NO6C=45°,AZGBC=22.5°,:.NPBG=NGBC.

又,：NBGP=NBGC=9G。,BG=BG,：./\BPG^/\BCG(ASA),

3

設(shè)OG=PG=CG=x,易知EG=2x,FG=g.

V四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，

:?BF=CG=x,-**BG=x~]

：.8c2=8G2+CG2=f（/+1y=（4+2pM，

.Sd：力般ABC'。（4+2也）X2r-

【答案】

,?Sit方聰EFG“'B

11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（—3,4）到原點(diǎn)的距離是5.

12.（2020?黑龍江）在RtZ\ABC中，ZC=90°,若A8—AC=2,BC=8,則AB的長(zhǎng)是_17

13.在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=8,則BC的長(zhǎng)為—4小—.

14.在RtZSABC中，a:b=2：3,c=嬌，貝Ua=—2小或2vB.

15.（2020?孝感）如圖①，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢

代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.在此圖形中連接四條線段得到如圖②的圖案，

記陰影部分的面積為S”空白部分的面積為S2,大正方形的邊長(zhǎng)為相，小正方形的邊長(zhǎng)為〃，若S=S2,則

加值為—痔1一.

【點(diǎn)撥】設(shè)直角三角形較短的一條直角邊長(zhǎng)為X,由S=S2可得"=品2,解得產(chǎn)品負(fù)值舍去）.由勾股

22

定理得+（〃+；相）=m2,化簡(jiǎn)得加2—2加?一2k2=0,解得〃力=（1一（舍去），〃22=（1+?。ǎ瑒t'的

｛古、］小-1

值2,

【答案】與1

16.12020?雅安】對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做''垂美"四邊形，現(xiàn)有如圖所示的''垂美"四邊形A8C。，對(duì)角

線4C,30交于點(diǎn)O,若AD=2,BC=4,則A82+C￡>2=_20.

4

B

【點(diǎn)撥】'：AC±BD,.?.NAO￡>=NAO8=NBOC=NCOZ)=90°.由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+

CCP+DO2,

AD2+BC2=AO1+DO2+BO2+CO1,

^AEr+CI^^ACr+BC1.

"：AD=2,8c=4,：.AB2+CD2=22+42=20.

【答案】20

17.12020?婁底】由4個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為小〃的直角三角形圍成的''趙爽弦圖”如圖所示，根據(jù)大正方形的

面積c?等于小正方形的面積(“一與4個(gè)直角三角形的面積2ah的和證明了勾股定理a2+h2^c2,還可以用

來(lái)證明結(jié)論：若a>0,b>0且/+/為定值，則當(dāng)。_=力時(shí)，ab取得最大值.

【點(diǎn)撥】如圖，在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)為a,b,

斜邊長(zhǎng)為c,則有a2+b2—c2.

作直角三角形斜邊上的高力，易知5即而=c/z.：(a—?22：o,.?./+/-.又?.?(/2+〃=C2,

,2,2,2

+方為定值，.5q,的最大值為，.當(dāng)〃取最大值時(shí),ab=2=ch,^h=^.

要想使直角三角形中斜邊上的高等于斜邊的一半，則此直角三角形為等腰直角三角形，即a=b.

18.在RtZ\A8C中，ZC=90°,NA=60°,AC+BC=3+y[3,求BC的長(zhǎng).

解：設(shè)AC=x.

;在RtZSABC中，ZC=90°,ZA=60°,

AZB=30°,.?.A8=2AC=2x.

???BC=7AB2—AC2=G.

5

由題意，得x+^x=3+小，

解得犬=小，BC—y/3x—3.

19.如圖，在四邊形A8C。中，AB=AD,ZA=90°,ZCBD=30°,NC=45°.如果求CD的

長(zhǎng).

解：如答圖，過(guò)點(diǎn)￡＞作OE_L8c于點(diǎn)￡

"：AB=AD,NA=90°,：.AD=AB=yf2,

工由勾股定理，得BD=、AB2+AU=2.

VZCBD=30°,.,.DE=1BD=|X2=1.

?.,在RtZ\CQ￡中，ZDEC=90°,NC=45°,

：.CE=DE=\,

由勾股定理，得CD=\!DE2+CE2=@

20.如圖，在四邊形A8C。中，NB=ND=90°,AB=20m,8c=15如CD=1m,求四邊形ABC。的面積.

【點(diǎn)撥】將不規(guī)則四邊形分割成特殊的三角形，再利用特殊的三角形性質(zhì)求面積.

解：如圖，連接AC.因?yàn)镹B=/D=90°,

所以4ABC與4ACD都是直角三角形.

在RtZSABC中，根據(jù)勾股定理，

得AC2=AB2+BC2=202+152=625,則AC=25m.

在RtAACD中，

根據(jù)勾股定理，得A￡)2=AC2—5=252-72=576,貝ijAZ)=24m.

故S四邊彩ABC0=SA4BC+SAACD=；A88C+%Z>C￡>=￡X2OX15+TX24X7=234(〃?2).

6

21.如圖,將長(zhǎng)方形紙片ABCD的一邊AD向下折疊，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處.已知AB=8cm,BC=10cm,

求EC的長(zhǎng).

解：根據(jù)題意，得

所以AF=A￡)=8C=10cm,EF=ED.

所以EF+EC=DC=AB=Scm.

在Rt/\ABF中，根據(jù)勾股定理得8產(chǎn)=A戶一A^2=1()2-82=36,

所以BF=6cm.

所以FC=BC~BF=\0-6=4(cm).

設(shè)EC=xcm,貝1JE尸=QC-EC=(8-x)cm.

在RtZSEFC中，根據(jù)勾股定理得EC2+FC2=EF2,

即^+42=(8—%)2.

解這個(gè)方程，得x=3,

即EC的長(zhǎng)為3cm.

22.如圖，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°，AB=4,AC=3,DE垂直平分AB,分別交AB,BC于點(diǎn)D,E,

AP平分NBAC,與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.

⑴求PD的長(zhǎng)度；

⑵連接PC,求PC的長(zhǎng)度.

【點(diǎn)撥】求線段的長(zhǎng)時(shí)，若沒(méi)有直角三角形，常作三角形一邊上的高，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解.

(1)解：垂直平分4B,

：.AD=^AB=2,ZADP=90°.

平分/BAC,/.ZB4D=|ZBAC=45°.

NAPD=ZPAD=45°.：.PD=AD^2