【課件】等比數(shù)列的概念第2課時(shí)+課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修二4.3.1等比數(shù)列的概念

第一課時(shí)一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)理解等比數(shù)列的概念會(huì)應(yīng)用定義及通項(xiàng)公式解決一些實(shí)際問題學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式特殊數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列概念通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式應(yīng)用數(shù)列概念表示表格、圖像、通項(xiàng)公式、遞推公式特殊化類比單元結(jié)構(gòu)

1、等差數(shù)列:

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）.

數(shù)學(xué)表達(dá)式:

2、等差中項(xiàng)：如果三個(gè)數(shù)a，A，b

成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).

3、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:(n≥2，n∈N*)（2A=a+b

）復(fù)習(xí)回顧新課導(dǎo)入

我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)”。

類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運(yùn)算的角度出發(fā)，你覺得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？

先從哪些方面研究呢？新知探究一：等比數(shù)列的相關(guān)概念

新知探究一：等比數(shù)列的相關(guān)概念實(shí)例2

《莊子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長(zhǎng)度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長(zhǎng)度依次是：

細(xì)菌個(gè)數(shù)第一次第二次第三次24第n次……分裂次數(shù)82n實(shí)例3

在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個(gè)這種細(xì)菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個(gè)數(shù)依次是：

新知探究一：等比數(shù)列的相關(guān)概念新知探究一：等比數(shù)列的相關(guān)概念實(shí)例4某人存入銀行ɑ元錢，存期為5年，年利率是r，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是

復(fù)利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息.

問題1請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察以下六個(gè)數(shù)列，類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以下數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

①②③④⑤⑥取值規(guī)律從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于9．如果用表示數(shù)列①，那么有

新知探究一：等比數(shù)列的相關(guān)概念共同特點(diǎn):從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù).

如果一個(gè)數(shù)列從第____項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的___都等于___一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做___________常數(shù)叫做等

數(shù)列的_____公比通常用字母

q

表示二比同等比數(shù)列.公比如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.公差通常用字母d表示比

an-an-1=d(n≥2,n∈N*)an+1-an=d(n∈N*)

等差數(shù)列的概念等比數(shù)列的概念問題2類比等差數(shù)列的概念，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？概念生成符號(hào)(1)(3)5，5，5，5，5，5，…(6)

(2)

思考：觀察并判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，是的話，指出公比，不是的話請(qǐng)說明理由:(4)

0，1，2，4，8，…(5)

2，0，2，0，2，…是,公比是2是,公比是-2是,公比是1不一定,分類討論不是,分母不能為0不是,公比不能是0概念辨析1.判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列.如果是，寫出它的公差.課本P31追問1：等差數(shù)列的項(xiàng)、公差均可以是0嗎？等比數(shù)列呢？追問2：常數(shù)列是等差數(shù)列嗎？是等比數(shù)列嗎？追問3：是否存在既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列？常數(shù)列一定是等差數(shù)列，公差為0；非零常數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1.非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，公差為0，公比為1.等差數(shù)列的項(xiàng)、公差均可以是0，但等比數(shù)列的項(xiàng)和公比均不可以是0概念辨析等差中項(xiàng)

等比中項(xiàng)

如果三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，那么A叫做a和b的等差中項(xiàng).如果三個(gè)數(shù)a，G，b組成等比數(shù)列，那么G叫做a和b的等比中項(xiàng)定義a，A，b成等差數(shù)列a，G，b成等比數(shù)列關(guān)系追問：任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b都有等比中項(xiàng)嗎？若a，b同號(hào)則有兩個(gè)等比中項(xiàng)；若a，b異號(hào)則無等比中項(xiàng).新知探究二：等比中項(xiàng)問題3類比等差中項(xiàng)的概念，你能抽象出等比中項(xiàng)的概念嗎？∴a,G,b成等比數(shù)列

(ab>0)新知探究三：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問題4

你能類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)，根據(jù)等比數(shù)列的定義及遞推公式推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？怎么推？等差數(shù)列類比法一：不完全歸納法……由此歸納等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：等比數(shù)列新知探究三：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問題4

你能類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)，根據(jù)等比數(shù)列的定義及遞推公式推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？怎么推？法二：累加法……+）等差數(shù)列類比……

n-1個(gè)又a1=a1q0=a1q1-1，即當(dāng)n=1時(shí)上式也成立.

累乘法等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：?jiǎn)栴}5

已知等比數(shù)列的第m項(xiàng)am,公比為q,求通項(xiàng)公式an.等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示.兩式相除得

因此

新知探究三：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式新知探究四：等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系問題6

在等差數(shù)列中，公差d≠0的等差數(shù)列可以與相應(yīng)的一次函數(shù)建立聯(lián)系，那么對(duì)于等比數(shù)列，公比q滿足什么條件的數(shù)列可以與相應(yīng)的函數(shù)建立類似的聯(lián)系?指數(shù)型函數(shù)●●●●●ll

指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

等比數(shù)列的單調(diào)性不變等比數(shù)列的單調(diào)性不變不變單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增例1若等比數(shù)列{an}的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求{an}的第5項(xiàng).典例分析①②②的兩邊分別除以①的兩邊，得

解得

例1若等比數(shù)列{an}的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求{an}的第5項(xiàng).典例分析解法2：

所以例2已知等比數(shù)列{an}的公比為q，試用{an}的第m項(xiàng)am表示an.等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：典例分析例3

數(shù)列{an}共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80,第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132.求這個(gè)數(shù)列.典例分析注意設(shè)法(1)如果是三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為

，a，aq【歸納總結(jié)】對(duì)稱設(shè)元法(2)如果是四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為

，，aq，aq31.與等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)的設(shè)元技巧：2.與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)的設(shè)元技巧：(1)如果是三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d，a，a+d(2)如果是四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a+2d，a-d，a+d，a+2d例題小結(jié)a1a3a5a7q2820.22.已知{an}是一個(gè)公比為q等比數(shù)列，請(qǐng)?jiān)谙卤碇械目崭裉幪钊脒m當(dāng)?shù)臄?shù).3.在等比數(shù)列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝60.求a1和公比q.416500.080.0032課本P31課堂小結(jié)等比數(shù)列名稱等差數(shù)列概念常數(shù)通項(xiàng)公式1通項(xiàng)公式2中項(xiàng)從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)公差(d)d可正、可負(fù)、可零從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)公比(q)q可正、可負(fù)、不可零人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修二4.3.1等比數(shù)列的概念

第二課時(shí)一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.能根據(jù)等比數(shù)列的定義推出等比數(shù)列的性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算通過利用等比數(shù)列的相關(guān)公式解決實(shí)際應(yīng)用問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧1.等比數(shù)列2.通項(xiàng)公式4.等比數(shù)列的判斷3.等比中項(xiàng)(an)2=an-1.an+1a,G,b成等比數(shù)列(1)1，2，4，8，16，…觀察下列數(shù)列，他們的單調(diào)性與公比有什么關(guān)系？(3)4，4，4，4，4，4，4，…(4)1，-1，1，-1，1，-1，1，…公比q=2公比q=公比q=1公比q=-1問題1

可以從函數(shù)的角度，研究等比數(shù)列的單調(diào)性嗎？新知探究一：等比數(shù)列的單調(diào)性等比數(shù)列的圖象1數(shù)列：1，2，4，8，16，…123456789102468101214161820O●●●●●遞增數(shù)列接下來我們?cè)偻ㄟ^圖象觀察單調(diào)性新知探究一：等比數(shù)列的單調(diào)性那數(shù)列：-1，-2，-4，-8，-16，…呢？等比數(shù)列的圖象212345678910O數(shù)列：●●●●●●●12345678910遞減數(shù)列新知探究一：等比數(shù)列的單調(diào)性

等比數(shù)列的圖象3123456789102468101214161820O數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，…●●●●●●●●●●常數(shù)列新知探究一：等比數(shù)列的單調(diào)性等比數(shù)列的圖象412345678910O12345678910●●●●●●●●●●數(shù)列：1，-1，1，-1，1，-1，1，擺動(dòng)數(shù)列-1新知探究一：等比數(shù)列的單調(diào)性新知探究一：等比數(shù)列的單調(diào)性4.對(duì)于數(shù)列{an},若點(diǎn)(n,an)(n∈N*)都在函數(shù)y=cqx的圖象上，其中c,q為常數(shù)，且c≠0,q≠0,q≠1，試判斷數(shù)列{an}是否是等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.課本P31新知探究二：等比數(shù)列的性質(zhì)問題2

觀察等比數(shù)列:2，4，8，16，32，64，128，256,……說出16是那兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)？并找到它們滿足的規(guī)律？

思考：觀察項(xiàng)的角標(biāo)滿足什么關(guān)系？由此你能得到什么固定的結(jié)論嗎？2

，4

，8，16

，32，64，128證明：

猜想：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，正整數(shù)m，n，p，q滿足m＋n＝s＋t，則aman＝asat.特別地：當(dāng)m＋n＝2k時(shí)，aman＝akak=ak2新知探究二：等比數(shù)列的性質(zhì)又m＋n＝s＋t即：下標(biāo)和相等，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積相等（2）在有窮數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積在等比數(shù)列{an}，中公比為q注意：等號(hào)兩側(cè)的項(xiàng)數(shù)必須相同新知探究二：等比數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)應(yīng)用∴a3a7＝a2a8＝9.

B例2.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a3＝3，a11＝27，求a7.相除得q8＝9.所以q4＝3，所以a7＝a3·q4

＝3·3=9.練習(xí)2.等比數(shù)列{an}中，若a9＝－2，則此數(shù)列前17項(xiàng)之積為________．練習(xí)1.在等比數(shù)列{an}中，an＞0，a2

a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_______.【解析】由題意知：a2a4＝a32，a4a6＝a52∴a32＋2a3a5＋a52＝36，即(a3＋a5)2＝36，an＞0∴a3＋a5＝6解：由題意得

a1a2a3…a15a16a17＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9＝(－2)17＝－217.5.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

(1)a3,a5,a7是否成等比數(shù)列?為什么?a1,a5,

a9呢?(2)當(dāng)n>1時(shí),an-1,an,an+1是否成等比數(shù)列?為什么?

當(dāng)n>k>0時(shí),an-k,an,

an+k是等比數(shù)列嗎?課本P31新知探究三：等比數(shù)列的判斷例題小結(jié)

分析：如何證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列或者等比數(shù)列等差數(shù)列：

等比數(shù)列：

利用定義先求通項(xiàng)公式新知探究三：等比數(shù)列的判斷

證明：

區(qū)分兩問的求法有何不同新知探究三：等比數(shù)列的判斷

兩邊取以3為底的對(duì)數(shù),得

新知探究三：等比數(shù)列的判斷思考已知b>0且b≠1，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，那么數(shù)列

是否一定是等比數(shù)列?如果數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，那么數(shù)列{logban}是否一定是等差數(shù)列??數(shù)列{an}是等差數(shù)列?數(shù)列

是等比數(shù)列.思考已知b>0且b≠1，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，那么數(shù)列

是否一定是等比數(shù)列?如果數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，那么數(shù)列{logban}是否一定是等差數(shù)列??數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列?數(shù)列{logban}是等差數(shù)列.2.設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等比數(shù)列，分別研究下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，若是，證明結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由.課本P34新知探究三：等比數(shù)列的判斷應(yīng)用小結(jié)

月初本金月末本利和1個(gè)月2個(gè)月3個(gè)月12個(gè)月

新知探究四：等比數(shù)列的應(yīng)用例5

用10000元購(gòu)買某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年.(1)若以月利率0.400%的復(fù)利計(jì)息,12個(gè)月能獲利多少利息(精確到1元)？解：

利息=本利和-本金新知探究四：等比數(shù)列的應(yīng)用

解：

新知探究四：等比數(shù)列的應(yīng)用3.某汽車集團(tuán)計(jì)劃大力發(fā)展新能源汽車，2017年全年生產(chǎn)新能源汽車5000輛，如果在后續(xù)的幾年中，后一年新能源汽車的產(chǎn)量都是前一年的150%，那么2025年全年約生產(chǎn)新能源汽車多少輛(精確到1)?4.某城市今年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)為105，力爭(zhēng)2年后使空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)達(dá)到240.這個(gè)城市空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)達(dá)到多少(精確到0.01)?課本P34例6

某工廠去年12月試產(chǎn)1050個(gè)高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%.從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品。1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高5%，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加0.4%，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能否控制在100個(gè)以內(nèi)？產(chǎn)量不合格率

等比數(shù)列等差數(shù)列分析：不合格品產(chǎn)量×不合格率等差數(shù)列×等比數(shù)列

新知探究四：等比數(shù)列的應(yīng)用新知探究四：等