《函數(shù)的奇偶性》教學設計

《函數(shù)的奇偶性》教學設計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容函數(shù)的奇偶性．2．內(nèi)容解析函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，從“形”的角度，函數(shù)的奇偶性揭示了函數(shù)的整體圖象與函數(shù)在y軸右側(cè)的局部圖象之間的關系；從“數(shù)”的角度，函數(shù)的奇偶性刻畫了函數(shù)自變量與函數(shù)值之間存在的一種特殊的數(shù)量規(guī)律．用數(shù)量關系刻畫函數(shù)圖象的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．從研究方法上看，它延續(xù)了函數(shù)單調(diào)性的研究思想和方法：用數(shù)量關系刻畫函數(shù)的圖象性質(zhì)，這也為后續(xù)進一步研究具體函數(shù)的性質(zhì)提供研究的方法與角度．從知識結(jié)構(gòu)看，它既是函數(shù)概念的拓展和深化，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的基礎．因此，本節(jié)課起著承上啟下的重要作用．這一節(jié)利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于我們整個高中數(shù)學的學習中．從方法論的角度來看，本節(jié)教學過程中還滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想方法．奇偶性的教學無論是在知識還是在能力方面對學生的教育起著非常重要的作用，因此本節(jié)課充滿著數(shù)學方法論的滲透教育，同時又是數(shù)學美的集中體現(xiàn)．奇偶性是函數(shù)的“整體性質(zhì)”，是某些函數(shù)的特殊性質(zhì)．奇偶性是把函數(shù)圖象的對稱性（幾何特性）轉(zhuǎn)化為代數(shù)關系，并用嚴格的符號語言表示，溝通了形與數(shù)，實現(xiàn)了從定性到定量的轉(zhuǎn)化．基于以上分析，本單元的教學重點：函數(shù)奇偶性概念的形成和函數(shù)奇偶性的判斷．二、目標和目標解析1．目標（1）借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)奇偶性的概念及幾何意義；（2）會運用概念判斷函數(shù)的奇偶性；（3）在抽象函數(shù)奇偶性的過程中感悟數(shù)學概念的抽象過程及符號表示的作用．2．目標解析達成上述目標的標志是：（1）知道函數(shù)奇偶性是把函數(shù)圖象的對稱性（幾何特性）轉(zhuǎn)化為代數(shù)關系，并用嚴格的符號語言表示，溝通了形與數(shù)，實現(xiàn)了從定性到定量的轉(zhuǎn)化．（2）會用函數(shù)奇偶性的定義，按一定的步驟證明函數(shù)的奇偶性．（3）初中階段學生對于函數(shù)的學習側(cè)重于直觀形象和定性討論，而高中階段研究函數(shù)，側(cè)重于數(shù)形結(jié)合和符號邏輯語言結(jié)合，用精確的量化（符號）語言、形式推理來刻畫變量之間關系和規(guī)律，即通過形式化、符號化來使函數(shù)性質(zhì)數(shù)學化，在數(shù)學化的過程中培養(yǎng)學生的直觀想象、抽象概況等思維能力和素養(yǎng)，感受數(shù)學符號語言的魅力．三、教學問題診斷分析學生在初中階段已經(jīng)學習了軸對稱圖形，中心對稱圖形以及它們的性質(zhì)，對二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的對稱性也非常熟悉．對于具體函數(shù)，能夠觀察函數(shù)圖象，描述圖象的對稱性，能從數(shù)量關系上對函數(shù)的對稱性進行初步刻畫，但學生并不明確數(shù)與形轉(zhuǎn)化的過程，即為什么對于定義域內(nèi)任意，當滿足時，函數(shù)圖象關于y軸對稱．通過函數(shù)單調(diào)性的理解和學習，學生初步積累了研究函數(shù)的基本方法與初步經(jīng)驗，學生接觸到了由形象到具體，然后再由具體到一般的科學處理方法，這些對本節(jié)內(nèi)容剛開始的引入和概念形成起到了很好的鋪墊作用．但是學生的分析歸納能力和用數(shù)學規(guī)范語言表達的能力還比較弱，我們必須引導學生從“數(shù)”與“形”兩個方面來加深對函數(shù)奇偶性本質(zhì)的認識．從學生的思維發(fā)展看，高一學生思維能力正在由形象經(jīng)驗型向抽象理論型轉(zhuǎn)變，能夠用假設、推理來思考和解決問題．但分析、歸納、抽象的思維能力還是比較薄弱，通過恰當?shù)呐囵B(yǎng)和引導能夠使得學生的分析歸納能力得到提高．根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的教學難點：對關系式（或）的理解．四、教學過程設計(一)情景導入我們知道函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學模型，函數(shù)性質(zhì)是“變化中的規(guī)律性，變化中的不變性”．上一節(jié)課，我們共同學習了函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲担梅栒Z言準確地描述了函數(shù)圖象在定義域的某個區(qū)間上“上升”（或“下降”）的性質(zhì)，本節(jié)課，我們繼續(xù)研究函數(shù)的其他性質(zhì)．（二）概念的形成問題1：平面直角坐標系中的任意一點關于x軸、y軸、坐標原點的對稱點Q、R、S的坐標．追問：一般地，若兩點關于x軸對稱，它們的坐標之間有何關系？若關于y軸對稱呢？關于原點中心對稱呢？設計意圖：從學生已學知識復習導入，通過具體的點引導學生感受對稱與坐標的關系，為后續(xù)奇偶性定義中的任意性做一些鋪墊．問題2：畫出并觀察函數(shù)和的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？師生活動：先由學生獨立思考，教師利用PPT展示函數(shù)圖象．學生觀察后，不難發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)的圖象都關于y軸對稱．那么，如何使用符號語言精準地描述“函數(shù)圖象關于y軸對稱”這一特征？所以，教師繼續(xù)追問．追問：對于上述兩個函數(shù)，與，與，與，與有什么關系？師生活動：先由學生獨立思考，教師積極地引導學生發(fā)現(xiàn)，當自變量取一對相反數(shù)時，相應的兩個函數(shù)值相等．追問：對于定義域內(nèi)任意的一個x，都有成立嗎？如何驗證我們的猜想呢？師生活動：以為例，其定義域為R．對于定義域R內(nèi)任意的一個x，都有，與均有意義．因為，所以是成立的．同樣的，驗證函數(shù)，結(jié)論依然成立．設計意圖：通過觀察函數(shù)的圖象，思考問題，提高學生分析問題、總結(jié)問題的能力．從多個具體的實例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數(shù)學語言，讓學生體會數(shù)學語言的嚴謹性和簡潔性，教師給出嚴格的定義表述．定義：一般地，設函數(shù)的定義域為I，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)．問題3：從偶函數(shù)的定義出發(fā)，如何證明函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對稱．師生活動：先由學生獨立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導學生嘗試探索，在充分交流的基礎上，教師給出嚴格的定義表述．充分性：設是函數(shù)圖象上任意一點，則．因為函數(shù)的圖象關于y軸對稱，所以點P關于y軸的對稱點也在函數(shù)圖象上，即．所以對任意的x，都有，所以函數(shù)是偶函數(shù)．必要性：設是函數(shù)圖象上任意一點，則．記點P關于y軸的對稱點為Q，則．因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以點Q在函數(shù)圖象上，所以函數(shù)的圖象關于y軸對稱．問題4：畫出并觀察函數(shù)和的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？師生活動：教師利用PPT展示函數(shù)圖象，學生觀察圖象后回答問題．不難發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)的圖象都關于原點成中心對稱圖形．那么，如何使用符號語言精準地描述“函數(shù)圖象關于原點中心對稱”這一特征？所以，教師繼續(xù)追問．追問：對于上述兩個函數(shù)，與，與，與，與有什么關系？師生活動：先由學生獨立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導學生發(fā)現(xiàn)，當自變量取一對相反數(shù)時，相應的函數(shù)值與也是一對相反數(shù)．追問：對于定義域內(nèi)任意的一個x，都有成立嗎？如何驗證我們的猜想呢？師生活動：以為例，定義域為R．對于定義域R內(nèi)任意的一個x，，與均有意義．因為，所以是成立的．同樣的，驗證函數(shù)，結(jié)論依然成立．設計意圖：通過觀察函數(shù)的圖象，思考問題，提高學生分析問題、總結(jié)問題的能力．從多個具體的實例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數(shù)學語言，讓學生體會數(shù)學語言的嚴謹性和簡潔性，教師給出嚴格的定義表述．定義：一般地，設函數(shù)的定義域為I，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)．當函數(shù)是偶函數(shù)或奇函數(shù)時，稱具有奇偶性．問題5：從奇函數(shù)的定義出發(fā)，如何證明函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點對稱．師生活動：先由學生獨立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導學生嘗試探索，在充分交流的基礎上，教師給出嚴格的定義表述．該問題類比問題2的證明過程．充分性：設是函數(shù)圖象上任意一點，則．因為函數(shù)的圖象關于原點對稱，所以點P關于原點的對稱點為也在函數(shù)圖象上，即．所以對任意的x，都有，所以函數(shù)是奇函數(shù)．必要性：設是函數(shù)圖象上任意一點，則．記點P關于原點的對稱點為Q，則．因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，所以點Q在函數(shù)圖象上，所以函數(shù)的圖象關于原點對稱．（三）概念的辨析問題6：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2），；（3），；（4），．師生活動：先由學生獨立思考，教師再組織全班交流．答案：（1）偶函數(shù)；（2）非奇非偶函數(shù)；（3）非奇非偶函數(shù)；（4）奇函數(shù)．設計意圖：從同一個函數(shù)出發(fā)，學生更為容易進行探究活動，得出結(jié)論．我們不難發(fā)現(xiàn)，（1）、（4）中每一個x、x同時屬于定義域，所以與都有意義．而（2）、（3）中則無法滿足每一個x、x同時屬于定義域，所以與無法滿足都有意義．師生共同得出結(jié)論：函數(shù)具有奇偶性的前提是函數(shù)的定義域關于原點對稱，如不對稱，則可直接判斷其為非奇非偶函數(shù)．追問：奇函數(shù)若在處有定義，師生活動：因為為奇函數(shù)，所以，，．（四）概念的深化例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．師生活動：本例由學生獨立思考、小組討論，可讓幾個學生進行板書，完成后再進行點評完善．解：（1）函數(shù)的定義域為R．因為，都有，且，所以，函數(shù)為偶函數(shù)．（2）函數(shù)的定義域為R．因為，都有，且，所以，函數(shù)為奇函數(shù)．（3）函數(shù)的定義域為．因為，都有，且，所以，函數(shù)為奇函數(shù)．（4）函數(shù)的定義域為．因為，都有，且，所以，函數(shù)為偶函數(shù)．（5）函數(shù)的定義域為R．因為，都有，且，所以，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．另解：函數(shù)為初中階段所學的二次函數(shù)，顯然，其對稱軸為．函數(shù)圖象如下：故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．（6）由函數(shù)解析式可得定義域為．因為，都有，且，所以，函數(shù)為奇函數(shù)．另解：函數(shù)圖象如下：從圖可知，函數(shù)圖象關于原點對稱，故是奇函數(shù)．追問：你能總結(jié)例題的解題過程，歸納一下利用定義判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟嗎？設計意圖：通過追問，師生共同總結(jié)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟，教師給出解答示范． 第一步，首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；第二步，確定與的關系；第三步，作出相應結(jié)論：若或，則是偶函數(shù)；若或，則是奇函數(shù)．通過具體的函數(shù)，深化學生對判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟的理解，尤其是“首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱”；三是通過例題讓學生能夠了解有些函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．例2（1）判斷函數(shù)的奇偶性．（2）如右圖，是函數(shù)圖象的一部分，你能根據(jù)的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？（3）一般地，如果知道為偶（奇）函數(shù)，那么我們可以怎樣簡化對它的研究？師生活動：本例由學生獨立思考，完成后教師再進行點評完善．（1）奇函數(shù)；（2）圖象如下設計意圖：通過思考，讓學生根據(jù)奇（偶）函數(shù)的圖象的對稱性畫函數(shù)的圖象，進一步理解函數(shù)的奇偶性。所以，我們在研究函數(shù)性質(zhì)時，只需要研究定義域的一半部分．知一半則可知全部，即縮小研究的范圍，從而達到“事半功倍”的效果，提高解題效率．（五）概念的鞏固應用1．下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是（）解析：B選項函數(shù)圖象關于y軸對稱，所以該函數(shù)是偶函數(shù)．其他選項的函數(shù)圖象都不具有奇偶性．答案：B設計意圖：讓學生直觀地通過函數(shù)圖象的對稱性判斷偶（奇）函數(shù)．2．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）偶函數(shù)；（2）奇函數(shù)；（3）偶函數(shù)；（4）偶函數(shù)．設計意圖：考查學生對判斷函數(shù)奇偶性的理解，提高學生的解題能力．3．函數(shù)，是奇函數(shù)，則a等于（）A．B．C．D．無法確定解：∵奇函數(shù)的定義域關于原點對稱，∴，∴．設計意圖：考查學生對奇函數(shù)定義域的理解．（