2022 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新高考II卷+詳細(xì)解析）

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溫馨提示：此試題及答案非官方發(fā)布，僅供參考，最終請(qǐng)以官方發(fā)布為準(zhǔn)！

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

(新高考II卷：遼寧、海南、重慶)

注意事項(xiàng)：

i.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。

寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={—=則)

A.{-1<2}B.{1，2}C.{1，4}D.{-1-4}

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2—4iC.6+2iD.6—2i

3.中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).

如圖是某古建筑物的剖面圖,44',88'(。,。。'是桁，DD1,CC1IBB1,AA1是脊,

ODi，Dg,CBi，BAi是相等的步,相鄰桁的脊步之比分別為照=05署=的,警=

署=電，已知自，仁2#3成公差為0.1的等差數(shù)列，為0.1的等差數(shù)列，直線。4的斜率

4.已知向量a=(3,4),b=(1，0),c=a+tb,若Va,c>=<b,c>,則實(shí)數(shù)t-

()

A.-6B.-5C.5D.6

5.甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排

列方式有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

6.若sin(a+/?)+cos(a+/?)=2V2cossin/?,貝ij()

A.tan(a+0)=—1B.tan(a+/?)=1

C.tan(a-0)=-1D.tan(a-6)=1

7.已知正三棱臺(tái)的高為1,上下底面的邊長(zhǎng)分別為3原和4V3,其頂點(diǎn)都在同一球面

上，則該球的表面積為()

A.1007TB.1287rC.1447rD.192兀

8.若函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)f(y),/(l)=l,則

2匕f(k)=()

A.-3B.-2C.0D.1

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.己知函數(shù)/(X)=sin(2x+<p)(0<w<兀)的圖象關(guān)于點(diǎn)(爭(zhēng)。)對(duì)稱(chēng)，則()

A./(%)在(0<§)單調(diào)遞減

B./(x)在(一勺詈)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線“等是曲線y=f(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸

D.直線y=y-x是曲線y=/(x)的一條切線

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線C-.y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與C交于

4B兩點(diǎn)，點(diǎn)4在第一象限，點(diǎn)M(p，0),若\AF\=\AM\,則()

A.直線AB的斜率為2乃B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4|OF|1).4OAM+4OBM<180°

11.如圖，四邊形48CD為正方形，EDHABCD,FB//ED.AB=ED=2FB,記三

棱錐E-ABC,E-ACF.F-ABC的體積分別為匕，彩，匕，則()

E

A.匕=2V2B.V3=2匕C.匕=匕+七D.2V3=3匕

12.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-xy=1,則()

A.x+y<1B.x+y>—2C.x2+y2>1D.x2+y2<2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，(J2),若P(2<X42.5)=0.36,則P(X>

2.5)=

14.曲線y=ln|%|經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為—

15.設(shè)點(diǎn)4(—2,3),B(0，a),直線AB關(guān)于直線y=a的對(duì)稱(chēng)直線為I,已知I與圓

C:(%+3)2+(y+2尸=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍為

16.己知直線I與橢圓［+<=1在第一象限交于A,B兩點(diǎn)，1與x軸y軸分別相

63

交于M,N兩點(diǎn)，且|M4|==2次，則直線I的方程為

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.(10分)

已知｛冊(cè)｝為等差數(shù)列，｛%｝為公比為2的等比數(shù)列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.

(1)證明：的=瓦；

(2)求集合伙|瓦=a?,+a/14m4500｝中元素個(gè)數(shù).

18.(12分)

記AABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,以a,b,c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積

分別為Si，S2，53，且S1-S2+S3=y,sinB=|.

(1)求AABC的面積；

(2)若sin/lsinC=半求b.

19.(12分)

在某地區(qū)進(jìn)行某種疾病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位這種疾病患者的年齡，得到如下樣本數(shù)

據(jù)頻率分布直方圖.

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡；(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)估計(jì)該地區(qū)以為這種疾病患者年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口數(shù)

占該地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的16%,從該地區(qū)選出1人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此

人患這種疾病的概率(精確到0.0001).

20.(12分)

如圖，P。是三棱一P-ABC的高，P4=PB,ABUAC.E為PB的中點(diǎn).

(1)證明：OE〃平面PAC:

(2)若AABO=/.CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-4E-B正余弦值.

p

21.(12分)

設(shè)雙曲線l(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)為尸(2,0),漸近線方程為y=±V3x.

(1)求C的方程；

(2)經(jīng)過(guò)F的直線與C的漸近線分別交于A.B兩點(diǎn)，點(diǎn)。(勺，%),(?02少2)在C上，

且與>血>0，%>0.過(guò)P且斜率為-痘的直線與過(guò)Q且斜率為V3的直線交于點(diǎn)

M,從下面三個(gè)條件(1)(2)(3)中選擇兩個(gè)條件，證明另一個(gè)條件成立：

(1)M在上：(2)PQ//AB-.(3)AM\=\BM|.

22.(12分)

已知函數(shù)/(%)=xeax—ex.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論/(%)的單調(diào)性：

(2)當(dāng)％>0時(shí)，/(x)<-1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍：

(3)設(shè)neN*,證明：++…+：?^>ln(n+l),

2022年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(新高考2卷)

解析版

1.答題前,務(wù)必將自己的姓名考籍號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上。

2.答選擇題時(shí),必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦

擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。

3.答非選擇題時(shí),必須使用0.5毫米黑色簽字筆,將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上。

4,所有題目必須在答題卡上作答,在試題卷上答題無(wú)效。

5.考試結(jié)束后，只將答題卡交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合2={—=則4CB=()

A.{-1<2}B.{1<2}C.{1<4}D.{-1<4}

【答案】B

【解析①方法一：通過(guò)解不等式可得集合B={xI0WxW2},則4nB={1，2),故選B.

標(biāo)方法二:代入排除法.x=-1代入集合B-{x\\x-1|<1},可得|x-1|=|-1-1|=

2>l,x=-1,不滿足,排除A、D;x=4代入集合B={x||x-1|<1},可得|x-l|=|4-

1|=3>l,x=4,不滿足,排除C.故選B.

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2—4iC.6+2iD.6—2i

【答案】D

【解析】(2+2i)(l-2i)=2-4i+2i-4尸=2-2i+4=6-2i,故選D.

3.中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，不僅是擋風(fēng)遮雨的住處,更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).

如圖是某古建筑物的剖面圖,A4',BB',CC',DD'是桁，DD^CC1,是脊，

OD^DC^CB^BA,是相等的步,相鄰桁的脊步之比分別為鬻=05會(huì)=的,警=

心，署=電，已知的水2,七成公差為0.1的等差數(shù)列，為0.1的等差數(shù)列，直線。/1的斜率

DAI

為0.75,則&=()

ODt

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【解析】設(shè)。。1—DC1—CB]—BA^—1,則CC]—BBi—k2,AA1—&.由題意得出—

DD+CC+BB+AA

kI+0.2,七=fc+0.1且11110.725,解得k=0,9

20。1+DC1i+CB]+BA]3

故選D.

4.已知向量a=(3,4),b=Q，0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,則實(shí)數(shù)t=

()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【解析】由已知有c=(3+V4),cos(a-c)=cos(b-c),故=Iti,解得t=5.故選C.

，比|C『3:，KI'l

5.甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排

列方式有()

A.12種B.24種C.36種1).48種

【答案】B

【解析】先利用捆綁法排乙丙丁戊泗入,再用插空法選甲的位置，則有/制*=24種.故

選B.

6.若sin(a+0)+cos(a+6)=2幻cos(a+彳)sin?,則()

A.tan(a+0)=-1B.tan(a+/?)=1

C.tan(a—/?)=-1D.tan(a-/?)=1

【答案】D

【解析】解法一：設(shè)6=0則sina+cosa=0,取a=，排除4,C,信再取a=0

則sinp+cos。=2sin/?,取/?=^,排除B；選D.

解法二：由sin(a+/?)+cos(a+/?)=V2sin(a+/?+：)=V2sin[(a+3)+同=

V2sin(a+cosp+V2cos(a+sin￡

故V2sin(a+§cos0=V2cos(a+sin￡o

故sin(a+§cos￡—cos(a+sin￡=0,即sin(a+g—/?)=0,

故sin(a—￡+§=了sin(a—/?)+?cos(a—/?)=0,

故sin(a-S)=-cos(a-0),故tan(a-/?)=-1.故選D.

7.已知正三棱臺(tái)的高為1,上下底面的邊長(zhǎng)分別為3V3和4V3,其頂點(diǎn)都在同一球面

上，則該球的表面積為()

A.1007TB.1287rC.1447rD.1927r

【答案】A

【解析】由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑是3,

下底面所在平面截球所得圓的半徑是4,

則軸截面中由幾何知識(shí)可得VR2-32+7R2-42=1,解得R2=25,

因此球的表面積是S=4兀/?2=4兀.25=100兀

8.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y)J(l)=1,貝U

2匕f(k)=()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

故f(x+2)=f(x+1)-r(x)J(x+3)=f(x+2)-f[x+1),

消去f(x+2)和f(x+1)得到f(x+3)=—/(%),故fix｝周期為6;

令x=l,y=0得/(l)+r(l)=/(I)-/(0)=f(0)=2,/(3)=f(2)-/(l)=-1-1=

-2

/⑷=/⑶—/(2)=-2-(-1)=-1/(6)=f(5)-/(4)=1-(-1)=2

故￡蹌1f(k)=3(/(1)+/⑵+???+/(6)]+/(19)+汽20)+/(21)+/(22)=/(I)+

/⑵+/⑶+/⑷=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3

二、多選題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9.函數(shù)/0)=5也(2%+8)(0<3<兀)的圖象以(半，0)中心對(duì)稱(chēng),則()

A.y=/(x)在(。冷)單調(diào)遞減；

B.y=/(%)在(一套,詈)有2個(gè)極值點(diǎn)；

C.直線是一O條對(duì)稱(chēng)軸；

D.直線y=當(dāng)一x是一條切線.

【答案】AD

【解析】由題意得：Ay)=sin(y+<p)=0,所以與+0=/ot即:,=一半+而水6

Z,又0<0<兀,所以k=1時(shí),3=學(xué)故/(%)=sin(2%+等).

選項(xiàng)A:xe(0,.)時(shí)2%+詈6得，芳,由y=sinu圖象知y=/(x)是單調(diào)遞減的；

選項(xiàng):B:xe時(shí)2x+號(hào)€6號(hào)),由y=Sinu圖象知y=/(x)只有普個(gè)極值點(diǎn),

由2x+與=等可解得極值點(diǎn)；

選項(xiàng)C:x=7時(shí)2久+4=3兀/=/(x)=0,直線x=?不是對(duì)稱(chēng)軸；

選項(xiàng)D:策y'=2cos(2x+y)=0得cos(2x+*)=-；，

解得2x+y=y+2kn或2x+§=甘+2krc,k&Z

從而得：x=k兀或x=W+k7r,k€Z

所以函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(。弓)處的切線斜率為k=y'\x=0=2cosy=-1,

切線方程為:y-日=一(X-0)即ly=苧一%.

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)拋物線C-.y2=2Px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與C交于4B兩點(diǎn),

點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M(p，0),若\AF\=|AM|,則直線AB的斜率為2傷()

A.直線AB的斜率為2灰>B.\0B\=\0F\

C.\AB\>4\0F\D./.0AM+/.OBM<180°

【解析】ACD

【解析】選項(xiàng)4:設(shè)FM中點(diǎn)為N,則/=X。=邛=|p,所以yl=2pxA=2p?|p=

r&

2

|p(Zi>0),所以yA=yp,故kAB=ji-p=2V6.

22-p--

選項(xiàng)B島+嬴=，京+言=，幽=^=小+?冷音所以羽=2械=

冬所以麗=或+詔=9+手=齊宅.

選項(xiàng)C:\AB\=^p+^+p=^p>2p=4\OF\.

q3iz

選項(xiàng)D:由選項(xiàng)A,B知力(：P*P)，BQ,-yP),所以O(shè)AOB=(|p,yp)?(p_yP)=

y-p2=-\p2<0,所以"OB為鈍角;數(shù)加?砒=(一.當(dāng)p)?(一4一，p)=5一

444/J31N

p2=-i|p2<0,所以44MB為號(hào)數(shù)所以^OAM+乙OBM<180°.故選ACD.

11.如圖，四邊形4BCD為正方形，EDZ7平面4BCD,FB//ED.AB=ED=2FB,記三

棱錐E-ABC,E-ACF.F-ABC的體積分別為匕/2,匕，則（）

A.匕=2彩D.2匕=3匕

【答案】CD

【解析】設(shè)AB=ED=2FB=2,則匕=5x2x2=gX彩=5X2X1=|.連結(jié)BD交

AC于M,連結(jié)EM、FM,則FM=V3.-EM=歷,EF=3,故SAEMF=?次?&=苧,匕=

gs^EMFxAC=2,匕=匕+V2,2%=3匕,故選CD.

12.對(duì)任意x,y,x2+y2-xy=1,貝lj()

A.%+y<1B.x+y>—2C.x2+y2>1D.x2+y2<2

【答案】BC

2/廠、2(x--=cosd

［解析］由M+)/2_專(zhuān),=］得(％_g+管y)=1令2=

\27\2，=Sind

=—sinO4-cos?/、

3「,故工+丫=遍5也。+85。=2$訪(8+0￡[—2,2],故/錯(cuò),8對(duì)

/y=——3sin0

V32V3V31424

X294-y92=(―sin0+cos0)92+(――sin0)92=—sin20—-cos204--=-sin(20—(p)+-

ooooooo

2V3

6目,2],(其中tan<p=石)，

故C對(duì),。錯(cuò).

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,O2),意(PR<X42.5)=0.36,則P(X>

2.5)=__________

【答案】0.14

【解析】由題意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X42.5)=0.14.

14.寫(xiě)出曲線、=ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程:

【答案】y=f.y=

【解析】肖X>0時(shí)，點(diǎn)(Xnlnxjfx1>0)上的切線為y-lnxx=^(x-xx).若該切線經(jīng)

過(guò)原點(diǎn),則也打一1=0,解得x=e，此時(shí)切線方程為y=*

當(dāng)x<0時(shí)點(diǎn)(x2,ln(-x2))(x2<0)上的切線為y-ln(-x2)=^-(x-&).若該切線

經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則In(一上)-1=0,解得x=-e,此時(shí)切線方程為y=-；

15.已知點(diǎn)4(—2,3),B(0，a),若直線4B關(guān)于y=a的對(duì)稱(chēng)直線與圓(x+3)2+(y+2)2=

1，存在公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【答案】［溝

【解析】因?yàn)樾腂=等，所以AB關(guān)于直線y=a的對(duì)稱(chēng)直線為(3-a)x-2y+2a=0,

所以應(yīng)?？?41,整理可得12a2-22a+640,解得:《a4|.

,4+(3-Q)/3N

16.已知橢圓］+q=1,直線］與橢圓在第一象限交于A,B,與x軸,y軸分別交于M,N,且

OO

\MA\=\NB\,\MN\=2V3,則直線I的方程為

【答案】%+V2y-2V2=0

【解析】取AB的中點(diǎn)為E,因?yàn)閈MA\=\NB\,所棧\ME\=\NE\,設(shè)4區(qū)，%),8(&42)，呵

得”^*濘^=-i即koE.k學(xué)=設(shè)直線AB:y=kx+m,k<0,m>0,為x=

0,y=m,為y=0,x=-p所以E（一宗今）所以kx金=-k2--1,/c=-y,m2+

k

2m2-12,m-2,所以直線AB-.y--yx+2,即x+V2y-2夜-0.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）

已知｛時(shí)｝為等差數(shù)列,｛%｝是公比為2的等比數(shù)歹（且-與=-%-a4

（1）證明:。=瓦;

⑵求集合｛kI%=a7n+%，14zn4500｝中元素的個(gè)數(shù).

【答案】（T）見(jiàn)解析；（2）9.

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛a"公差為d

由a2—電=。3—生，知的+d—2bl=%+2d-4瓦,故d=2瓦

由。2—與=①一知Qi+d—2bl—8瓦—（%+3d）,

故的+d-2bl=4d-（a1+3d）;故的+d-2bl=d-alt整理得=bly得證.

fc1

（2）由⑴知d=2bl=2alt由瓦=a7n+的知:瓦*2-=%+（m-1）?d+的

即瓦?2&T=瓦+（m-1）?2bl+bI,即2fc-1=2m,

因?yàn)?4?n4500,故242"T<1000,解得24Z410

故集合伙IM+a/14瓶4500｝中元素的個(gè)數(shù)為9個(gè).

18.（12分）

記4ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為4、B、C其對(duì)邊分別為a,hc,分別以a,仇c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正

三角形的面積依次為Si&S，已知S,-S2+S3=今sinB=

（1）求24BC的面積；

（2）若sinAsinC=乎，求h

【答案】⑴*⑵*

【解析】（1）???邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積為Si-$2+S3=-爐+c2）=鼻

444

即accosB=1,

.,1/日2V213V2

由14nsmBe=一得：cosDB=——，???ac=----=——，

j3r3'COSB4'

4X.c1-D1、,3在、，1V2

故^AARC=一acsinB=-x—x—=—

人22438

2—

⑵由正弦定理得扁=高?高=就標(biāo)=等/

故b=|sinB-i

19.（12分）

在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡,得到如下的株本數(shù)據(jù)頻

率分布直方圖.

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)

(2)估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間［20,70)的概率.

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)的年齡位于區(qū)間［40-50)的人口占該

地區(qū)總?cè)丝诘?6%,從該地區(qū)任選一人,若此人年齡位于區(qū)間［40-50),求此人患該種疾病

的概率數(shù)樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各地區(qū)的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率精確到

0.0001)

【答案】(1)47.9歲;⑵0.89;(3)0.0014.

【解析】⑴平均年齡x=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x

0.023+55x0.020+65x0.017+75X0.006+85x0.002)X10=47.9(羅

(2)設(shè)4=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70”則

(3)設(shè)8=｛任選一人年齡位于慢間［40-50)),C=｛任選一人患這種疾病｝,

則由條件概率公式,得P(CI8)=需=￥毀%23x10=。量啜三3=00014375?0.0014

PyB)16%0.16

20.(12分)

如圖,P。是三棱錐P-ABC的高,P4=PB.SBOAC,E是PB的中點(diǎn)，

(1)求證:OE//平面PAC-

⑵若乙4B。=ACBO=30。,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

【答案】⑴見(jiàn)解析；(2)稱(chēng)

【解析】⑴法一：連接。力、OB.

因?yàn)镻。是三棱錐P-ABC的高,所以P?！钙矫鍭BC,所以PODOA,POCJOB,

所以^POA=4POB=90°,又PA=PB,PO=PO,所以APOA會(huì)APOB,所以O(shè)A=OB,

作AB中點(diǎn)D,連接OD、DE,則有ODUAB,又AB/JAC,所以。?！?。，

又因?yàn)椤?。C平面PAC.ACu平面P4C,所以O(shè)D//平面PAC,

又D、E分別為AB,PB的中點(diǎn)所以,0在ABPA中，DE//PA

又因?yàn)镈EC平面PAC,PAu平面P4C,所以DE//平面PAC,

又。D、DEc平面OOE,。。nDE=D,所以平面ODE〃平面PAC,

又OEu平面ODE,所以O(shè)E//平面PAC;

法二：（1）連接。4、OB

因?yàn)镻。是三棱錐P-ABC的高,所以P。。平面4BC,所以POnOA,POOOB,

所以Z.POA=乙POB=90°,又PA=PB,PO=PO,所以APOA=APOB,

所以。力=OB,又ABDAC,在RtAABF中，。為BF中點(diǎn)，

延長(zhǎng)B。，交AC于F,連接PF,

所以在"BF中，。、E分別為BF、PB的中點(diǎn)，所以EO〃PF,

因?yàn)镋。平面PAC,PFu平面PAC,所以EO//平面PAC\

⑵法一：過(guò)點(diǎn)。作DF//OP,以DB為x軸,。。為y軸,DF為z軸.建立如圖

A

因?yàn)镻。=3,PA=5,由⑴。4=OB=4,

又Z.ABO=乙CBO=30°,所以。。=2,DB=2V3,所以P（0<2>3）,B（2V3<0<0）,

4（一2百，0,0）,E設(shè)AE=a,則C（-2V3-a>0）,

平面4EB的法向量設(shè)為宙=（x，y，z）,直線4B的方向向量可設(shè)為2=（1，0,0）,

直線DPu平面AEB,直線DP的方向向量為b=

口⑶得二;到2MM

所以濟(jì)=（0>3--2）;

平面4EC的法向量設(shè)為底=（x，y，z）,前=（0，a，0）,荏=（3百，1，|）（竺,上=0所以

I27{AE-n^=0

ay=0

{3低+y+|z=0,所以y=°，設(shè)％=倔則z=-6,

所以雨=（四8-6）;

可?通._120_12_4V3

所以cos（沱>，氾）=

|n7|-|n2l-V13x>/39-13V3-13

所數(shù)％=0,設(shè)y=3,則z=-2,

二面角C-AE-B的平面角為。，則sin。=Vl-cos20=白所以二面角C—4E-B的正

弦值為孩

法二：(2)過(guò)點(diǎn)A作AFOP,以4B為x軸,2C為y軸,AF為z軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系.因?yàn)镻O=3,P4=5,由⑴OA=OB=4,

受乙ABO=/.CBO=30°,所以,AB=4A/3,所以P(2A/3-2>3),8(48，0,0),

4(0,0-0),E(3V3-1-|),設(shè)AC=a,則C(0,a>0),

平面AEB的法向量設(shè)為宙=(x，y，z),荏=(48，0,0),荏=(38，1，|)]北子二；所以

[3岳+y+|z=0,所以久=°，設(shè)z=—2,則y=3,,

所以/-(0>3--2);

平面AEC的法向量設(shè)為苗=Oy，z),而=(0，a，0),族=(3百,1,，[竺2=°所以

、乙/{AE-n2=0

(ay=0

[3岳+y+1z=0，所以y=°，設(shè)％=倔則z=-6,

所以?2=(V3-0--6);

所以8S(若，底>=需需=￡扇=急=噂

二面角C-AE-B的平面角為。，則sin。=Vl-cos26=

所以二面角C-AE-B的正弦值為合。

21.(12分)

知雙曲線C:g-g=l(a>0,6>0)利右焦點(diǎn)為F(2,0),漸近線方程為y=±HV3x.

(1)求C的方程；

(2)過(guò)E的直線與C的兩條漸近線分別交于A.B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(x1'y1),QCx2>y2)在C上，

片%>不>0，%>0,過(guò)P且斜率為先M,請(qǐng)從下面⑴⑶中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一

個(gè)條件成立：

(1)M在AB上;(2)PQ//AB;(3)\MA\=\MB\.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

丫2

【答案】(1歸一y2=i；⑵見(jiàn)解析

【解解】⑴由題意可得￡=V3,Va2+h2(3-k2)x2-2kbx-h2-3=0

2

則X1+X2=盜,X/2=一段，一次=7(^1+%2)-4%IX2=

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(如，坊),則｝一月=一堂及“一兩式相減,得力—丫2=26XM-

[y--y2=V3(XM-X2)

V3(%i+x2),而%—%=(kxi+b)~(kx2+b)=k(xt-x2),故2y/3xM=k(xt-x2)+

_k>Jb2+3-k2+kb

73(%!+無(wú)2),解得XM=3^21

兩式相加,得2yM-+y2)=V3(xx-x2),

而yi+為=(%+b)+(kx2+b)=kg+x2)+2b,故2yM=k6+x2)+

3y/b2+3-k2+3b_3

V3(xi-x2)+2b解得xM=*=kXM-

因此，點(diǎn)M的軌跡為直線y=汶其中k為直線PQ的斜率.

若選擇⑴⑵：

設(shè)直線AB的方程為y=k(x-2),并設(shè)A的坐標(biāo)為(XA'VA),B的坐標(biāo)為(陽(yáng)3則

勿=k（巧1-2）2k2y[3k

,解得XA=

.%=娼XAk-y/3'