2022-2023學年湖北省重點高中高三（一模）仿真卷（A卷）數(shù)學試題試卷

2022-2023學年湖北省重點高中高三（一模）仿真卷（A卷）數(shù)學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與軸交于點，線段與交于點.若，則的方程為（）A． B． C． D．2．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－在區(qū)間(a，a＋5)上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)3．下圖是來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊，已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C．1 D．4．已知函數(shù)若函數(shù)在上零點最多，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知拋物線：，直線與分別相交于點，與的準線相交于點，若，則（）A．3 B． C． D．6．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且對任意，，都有，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．己知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且；若點在四棱錐的外接球面上運動，記點到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（）A． B．C． D．9．如圖，在正四棱柱中，，分別為的中點，異面直線與所成角的余弦值為，則()A．直線與直線異面，且 B．直線與直線共面，且C．直線與直線異面，且 D．直線與直線共面，且10．若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則（）A． B． C．2 D．11．已知，，若，則向量在向量方向的投影為（）A． B． C． D．12．兩圓和相外切，且，則的最大值為（）A． B．9 C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P是直線y=x+1上的動點，點Q是拋物線y=x2上的動點.設(shè)點M為線段PQ的中點，O為原點，則14．關(guān)于函數(shù)有下列四個命題：①函數(shù)在上是增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱；③不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線；④函數(shù)的導函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.（寫出所有正確命題的序號）15．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，則?U(A∪B)＝________.16．某種圓柱形的如罐的容積為個立方單位，當它的底面半徑和高的比值為______.時，可使得所用材料最省.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在三角形中，角，，的對邊分別為，，，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求.18．（12分）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.19．（12分）已知，點分別為橢圓的左、右頂點，直線交于另一點為等腰直角三角形，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點的直線與橢圓交于兩點，總使得為銳角，求直線斜率的取值范圍.20．（12分）選修4—5；不等式選講．已知函數(shù)．(1)若的解集非空，求實數(shù)的取值范圍；(2)若正數(shù)滿足，為（1）中m可取到的最大值，求證：．21．（12分）已知等差數(shù)列滿足，公差，等比數(shù)列滿足，，．求數(shù)列，的通項公式；若數(shù)列滿足，求的前項和．22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，為棱的中點，為棱上任意一點，且不與點、點重合．．（1）求證：平面平面；（2）是否存在點使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標準方程的求解.2、C【解析】

求函數(shù)導數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.【詳解】由題意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2，0)上是減函數(shù)，作出其圖象如圖所示．令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，則結(jié)合圖象可知，解得a∈[－3，0)，故選C.【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而研究函數(shù)的最值，屬于常考題型.3、D【解析】

根據(jù)以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得，即的值，由此求得和的值，進而求得所求表達式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為，所以，即，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點的個數(shù)問題，畫出函數(shù)的圖象，易知直線過定點，故與在時的圖象必有兩個交點，故只需與在時的圖象有兩個交點，再與切線問題相結(jié)合，即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點即可，即，當設(shè)切點，則，.故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)的問題，曲線的切線問題，注意運用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于較難的壓軸題.5、C【解析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線，斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點如圖，過A,M作準線的垂直，垂足分別為C，D，過M作AC的垂線，垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M為AN的中點，所以MD為三角形NAC的中位線，故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t，則MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故選：C【點睛】本題考查求拋物線的焦點弦的斜率，常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系，屬于中檔題.6、B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點，相應(yīng)坐標代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當直線經(jīng)過點時，取得最小值－5；經(jīng)過點時，取得最大值5，故.故選：B【點睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且在上為減函數(shù)，則不等式等價于，解得的取值范圍，即可得答案.【詳解】解:因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，因為對任意，，都有，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得：.即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.8、A【解析】

根據(jù)平面平面，四邊形為等腰梯形，則球心在過的中點的面的垂線上，又是等邊三角形，所以球心也在過的外心面的垂線上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示：取的中點，則是等腰梯形外接圓的圓心，取是的外心，作平面平面，則是四棱錐的外接球球心，且，設(shè)四棱錐的外接球半徑為，則，而，所以，故選：A.【點睛】本題考查組合體、球，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.9、B【解析】

連接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性質(zhì)可知，直線與直線共面.，同理易得，由異面直線所成的角的定義可知，異面直線與所成角為，然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：連接，，，，由正方體的特征得，所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得，所以異面直線與所成角為.設(shè)，則，則，，，由余弦定理，得.故選：B【點睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì)，還考查了推理論證和運算求解的能力，屬于中檔題.10、B【解析】

計算拋物線的交點為，代入計算得到答案.【詳解】可化為，焦點坐標為，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線的焦點，屬于簡單題.11、B【解析】

由，，，再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影為.故選：B.【點睛】本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題12、A【解析】

由兩圓相外切，得出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】因為兩圓和相外切所以，即當時，取最大值故選：A【點睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

過點Q作直線平行于y=x+1，則M在兩條平行線的中間直線上，當直線相切時距離最小，計算得到答案.【詳解】如圖所示：過點Q作直線平行于y=x+1，則M在兩條平行線的中間直線上，y=x2，則y'=2x=1，x=1點M為線段PQ的中點，故M在直線y=x+38時距離最小，故故答案為：32【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，轉(zhuǎn)化為切線問題是解題的關(guān)鍵.14、①②③【解析】

由單調(diào)性、對稱性概念、導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與極值的關(guān)系進行判斷．【詳解】函數(shù)的定義域是，由于，在上遞增，∴函數(shù)在上是遞增，①正確；，∴函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，②正確；，時取等號，∴③正確；，設(shè)，則，顯然是即的極小值點，④錯誤．故答案為：①②③.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與極值，解題時按照相關(guān)概念判斷即可，屬于中檔題．15、{5}【解析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，則?U(A∪B)＝{5}．16、【解析】

設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，根據(jù)容積為個立方單位可得，再列出該圓柱的表面積，利用導數(shù)求出最值，從而進一步得到圓柱的底面半徑和高的比值．【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個立方單位∴，即.∴該圓柱形的表面積為.令，則.令，得；令，得.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴當時，取得最小值，即材料最省，此時.故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是寫出表面積的表示式，再利用導數(shù)求函數(shù)的最值，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）8【解析】

（Ⅰ）由余弦定理可得，即可求出A,（Ⅱ）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的正弦公式和正弦定理即可求出.【詳解】（Ⅰ）由余弦定理，所以，所以，即，因為，所以；（Ⅱ）因為，所以，因為，，由正弦定理得，所以.【點睛】本題考查利用正弦定理與余弦定理解三角形，屬于簡單題.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)菱形性質(zhì)可知，結(jié)合可得，進而可證明，即，即可由線面垂直的判定定理證明平面；（2）結(jié)合（1）可證明兩兩互相垂直.即以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：設(shè)，連接，如下圖所示：∵側(cè)面為菱形，∴，且為及的中點，又，則為直角三角形，，又，，即，而為平面內(nèi)的兩條相交直線，平面.(2)平面，平面，，即，從而兩兩互相垂直.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立如圖的空間直角坐標系，為等邊三角形，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，∴可取，設(shè)平面的法向量為，則.同理可取，由圖示可知二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定方法，利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值，注意建系時先證明三條兩兩垂直的直線，屬于中檔題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由題意可知：由，求得點坐標，即可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線，代入橢圓方程，由韋達定理，由，由為銳角，則，由向量數(shù)量積的坐標公式，即可求得直線斜率的取值范圍．【詳解】解：（Ⅰ）根據(jù)題意是等腰直角三角形，，設(shè)由得則代入橢圓方程得橢圓的方程為（Ⅱ）根據(jù)題意，直線的斜率存在，可設(shè)方程為設(shè)由得由直線與橢圓有兩個不同的交點則即得又為銳角則即②由①②得或故直線斜率可取值范圍是【點睛】本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標運算，韋達定理，考查計算能力，屬于中檔題．20、(1);(2)見解析.【解析】試題分析：（1）討論三種情況去絕對值符號，可得所以，由此得，解得；（2）利用分析法，由（1）知，，所以，因為，要證，只需證，即證，只需證即可得結(jié)果.試題解析：（1）去絕對值符號，可得所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．（2）由（1）知，，所以．因為，所以要證，只需證，即證，即證.因為，所以只需證，因為，∴成立，所以解法二：x2+y2=2，x、y∈R+，x+y≥2xy設(shè)：證明：x+y-2xy==令，∴原式==