漳州市重點中學2023屆高三入學摸底考試數(shù)學試題

漳州市重點中學2023屆高三入學摸底考試數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．2．已知點是拋物線：的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．若，則的虛部是A．3 B． C． D．4．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個向量，它的長度，若，，則（）A． B．C．6 D．5．在中，，則=（）A． B．C． D．6．記其中表示不大于x的最大整數(shù)，若方程在在有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍()A． B． C． D．7．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個月的平均收入為萬元8．一個正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側面積是（）A．16 B．12 C．8 D．69．設函數(shù)恰有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：對任意都有零點；則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．11．某學校為了調(diào)查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學有34人，則的值為（）A．100 B．1000 C．90 D．9012．已知函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，得到的圖像關于軸對稱，，當取得最小值時，函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是某幾何體的三視圖，俯視圖中圓的兩條半徑長為2且互相垂直，則該幾何體的體積為________.14．用數(shù)字、、、、、組成無重復數(shù)字的位自然數(shù)，其中相鄰兩個數(shù)字奇偶性不同的有_____個.15．數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前項和_____．16．如果函數(shù)（,且,）在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個弓形景觀湖．如圖，該弓形所在的圓是以為直徑的圓，且米，景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米．開發(fā)商計劃從點出發(fā)建一座景觀橋（假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行），橋面在湖面上的部分記作．設．（1）用表示線段并確定的范圍；（2）為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景，所以要將的長度設計到最長，求的最大值．18．（12分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時，求的值；利用數(shù)學歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.19．（12分）某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”、“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記分，“不合格”記分.現(xiàn)隨機抽取部分學生的成績，統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如下所示：等級不合格合格得分頻數(shù)624（Ⅰ）若測試的同學中，分數(shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為，完成列聯(lián)表，并判斷：是否有以上的把握認為性別與安全意識有關？是否合格性別不合格合格總計男生女生總計（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中，共選取人進行座談，現(xiàn)再從這人中任選人，記所選人的量化總分為，求的分布列及數(shù)學期望；（Ⅲ）某評估機構以指標（，其中表示的方差）來評估該校安全教育活動的成效，若，則認定教育活動是有效的；否則認定教育活動無效，應調(diào)整安全教育方案.在（Ⅱ）的條件下，判斷該校是否應調(diào)整安全教育方案？附表及公式：，其中.20．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最大值為，若，證明：.21．（12分）車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對之前加工的100個零件的加工時間進行統(tǒng)計，結果如下：加工1個零件用時（分鐘）20253035頻數(shù)（個）15304015以加工這100個零件用時的頻率代替概率.（1）求的分布列與數(shù)學期望；（2）劉師傅準備給幾個徒弟做一個加工該零件的講座，用時40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個零件作示范的總時間不超過100分鐘的概率.22．（10分）小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天，每名員工休假的概率都是，且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家無人休假，則調(diào)劑1人到該店維持營業(yè)，否則該店就停業(yè).（1）求發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率；（2）設營業(yè)店鋪數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)復數(shù)的除法法則計算，由共軛復數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點睛】本題主要考查了復數(shù)的除法計算，共軛復數(shù)的概念，屬于容易題.2、D【解析】

根據(jù)拋物線的性質，設出直線方程，代入拋物線方程，求得k的值，設出雙曲線方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，利用雙曲線的離心率公式求得e．【詳解】直線F2A的直線方程為：y＝kx，F(xiàn)1（0，），F(xiàn)2（0，），代入拋物線C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，∴A（p，），設雙曲線方程為：1，丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，2c＝p，∴離心率e1，故選：D．【點睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質，考查轉化思想，考查計算能力，屬于中檔題．3、B【解析】

因為，所以的虛部是.故選B．4、D【解析】

先根據(jù)向量坐標運算求出和，進而求出，代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.【點睛】此題考查向量的坐標運算，引入新定義，屬于簡單題目.5、B【解析】

在上分別取點,使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案．【詳解】如下圖，，在上分別取點,使得,則為平行四邊形，故,故答案為B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，考查了學生邏輯推理能力，屬于基礎題．6、D【解析】

做出函數(shù)的圖象，問題轉化為函數(shù)的圖象在有7個交點，而函數(shù)在上有3個交點，則在上有4個不同的交點，數(shù)形結合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根，則在上有4個不同的實數(shù)根，當直線經(jīng)過時，；當直線經(jīng)過時，，可知當時，直線與的圖象在上有4個交點，即方程，在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點和方程之間的關系轉化為兩個函數(shù)的交點是解題的關鍵，運用數(shù)形結合是解決函數(shù)零點問題的基本思想，屬于中檔題.7、D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤．綜上，故選．8、B【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結果.【詳解】由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側面均為邊長為2的正方形，所以該正三棱柱的側面積為故選：B【點睛】本題考查正三棱柱側面積的計算以及三視圖的認識，關鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎題.9、C【解析】

恰有兩個極值點，則恰有兩個不同的解，求出可確定是它的一個解，另一個解由方程確定，令通過導數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個不是1的解時t應滿足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域為，.因為恰有兩個極值點，所以恰有兩個不同的解，顯然是它的一個解，另一個解由方程確定，且這個解不等于1.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，且.所以，當且時，恰有兩個極值點，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應用，屬于中檔題.10、A【解析】

先分別判斷每一個命題的真假，再利用復合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當時，直線和直線，即直線為和直線互相垂直，所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件，當直線和直線互相垂直時，，解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.：“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件，故是假命題．當時，沒有零點，所以命題是假命題．所以是真命題，是假命題，是假命題，是假命題．故選：．【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關系，考查二次函數(shù)的圖象，考查學生對這些知識的理解掌握水平.11、A【解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在的同學的頻率，再結合支出在（單位：元）的同學有34人，即得解【詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學的頻率為．故選：A【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用，考查了學生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.12、A【解析】

先求出平移后的函數(shù)解析式，結合圖像的對稱性和得到A和.【詳解】因為關于軸對稱，所以，所以，的最小值是.，則，所以.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質.平移圖像時需注意x的系數(shù)和平移量之間的關系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20【解析】

由三視圖知該幾何體是一個圓柱與一個半球的四分之三的組合，利用球體體積公式、圓柱體積公式計算即可.【詳解】由三視圖知，該幾何體是由一個半徑為2的半球的四分之三和一個底面半徑2、高為4的圓柱組合而成，其體積為.故答案為：20.【點睛】本題考查三視圖以及幾何體體積，考查學生空間想象能力以及數(shù)學運算能力，是一道容易題.14、【解析】

對首位數(shù)的奇偶進行分類討論，利用分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得出結果.【詳解】①若首位為奇數(shù)，則第一、三、五個數(shù)位上的數(shù)都是奇數(shù)，其余三個數(shù)位上的數(shù)為偶數(shù)，此時，符號條件的位自然數(shù)個數(shù)為個；②若首位數(shù)為偶數(shù)，則首位數(shù)不能為，可排在第三或第五個數(shù)位上，第二、四、六個數(shù)位上的數(shù)為奇數(shù)，此時，符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.綜上所述，符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)的排列問題，要注意首位數(shù)字的分類討論，考查分步乘法計數(shù)和分類加法計數(shù)原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.15、【解析】

解：兩式作差，得，經(jīng)過檢驗得出數(shù)列的通項公式，進而求得的通項公式，裂項相消求和即可．【詳解】解：兩式作差，得化簡得，檢驗：當n=1時，，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；，，令故填：．【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，裂項相消求數(shù)列的前n項和，解題過程中需要注意n的范圍以及對特殊項的討論，側重考查運算能力．16、18【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質,分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)區(qū)間的關系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:①當時,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,即,則.②當時,,函數(shù)開口向上,對稱軸為,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,因為,則,整理得,又因為,則.所以即,所以當且僅當時等號成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）米.【解析】

(1)過點作于點再在中利用正弦定理求解,再根據(jù)求解,進而求得.再根據(jù)確定的范圍即可.(2)根據(jù)(1)有,再設,求導分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.【詳解】解：過點作于點則,在中,,,由正弦定理得：,,,,,因為,化簡得,令,,且,因為,故令即,記,當時,單調(diào)遞增；當時,單調(diào)遞減,又,當時,取最大值,此時,的最大值為米．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)在實際中的應用,需要根據(jù)題意建立角度與長度間的關系,進而求導分析函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)三角函數(shù)值求解對應的最值即可.屬于難題.18、；證明見解析.【解析】

當時，集合共有個子集，即可求出結果；分類討論，利用數(shù)學歸納法證明.【詳解】當時，集合共有個子集，所以；①當時，，由可知，，此時令，，，，滿足對任意，都有，且；②假設當時，存在有序集合組滿足題意，且，則當時，集合的子集個數(shù)為個，因為是4的整數(shù)倍，所以令，，，，且恒成立，即滿足對任意，都有，且，綜上，原命題得證.【點睛】本題考查集合的自己個數(shù)的研究，結合數(shù)學歸納法的應用，屬于難題.19、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）不需要調(diào)整安全教育方案.【解析】

（I）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好列聯(lián)表，計算出的值，由此判斷出在犯錯誤概率不超過的前提下，不能認為性別與安全測試是否合格有關.（II）利用超幾何分布的計算公式，計算出的分布列并求得數(shù)學期望.（III）由（II）中數(shù)據(jù)，計算出，進而求得的值，從而得出該校的安全教育活動是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.【詳解】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，得分在的頻率為，故抽取的學生答卷總數(shù)為，.性別與合格情況的列聯(lián)表為：是否合格性別不合格合格小計男生女生小計即在犯錯誤概率不超過的前提下，不能認為性別與安全測試是否合格有關.（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值為,.的分布列為：20151050所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知：.故我們認為該校的安全教育活動是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗，考查超幾何分布的分布列、數(shù)學期望和方差的計算，所以中檔題.20、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進而分類討論求解不等式即可；（2）先利用絕對值不等式的性質得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】（1）①當時，恒成立，；②當時，，即，；③當時，顯然不成立，