2021年全國統一高考數學試卷（理科）（乙卷）

2021年全國統一高考數學試卷（理科）（乙卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.(5分)設2(z+z)+3(z-z)=4+6/,貝ijz=

A.1-2iB.1+2/C.1+iD.1-z

2.(5分)已知集合S={s|s=2〃+1,HEZ},7={e=4〃+l,nEZ},則SA7=()

3.（5分）已知命題p：3.rER,sin_r<l；命題q：VxER,ew^l,則下列命題中為真命題的

是（）

A.p/\qB.fp/\qC.p/\fqD.-'(pVq)

4.（5分）設函數F（x）=上三，則下列函數中為奇函數的是（

A./（x-1）-1B.fCx-\）+1C.f（x+1）-1D.f（x+1）+1

5.（5分）在正方體4BC￡）-48ICI￡）I中，P為Bi￡）i的中點，則直線PB與AOi所成的角

為（）

A.—B.—C.—D.—

2346

6.（5分）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行

培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方

案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

7.（5分）把函數y=/（x）圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的工倍，縱坐標不變，再把

所得曲線向右平移三個單位長度，得到函數y=sin（x-2L）的圖像，則/（x）=（）

A.sin(A-Z2L)B.sin(匹+-ZL)

12212

C.sin(2x-7冗D.sin(2x+---)

12

8.（5分）在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機取1個數，則兩數之和大于工的概率為（）

D.2

9.（5分）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海

島的高.如圖，點、E,H,G在水平線AC上，QE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測

量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和E”都稱為“表目距”，GC與EH

的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB=（）

表高X表距

A..+表高

表目距的差

表高X表距

B.-表高

表目距的差

表高X表距

C..+表距

表目距的差

表高X表距

D.-表距

表目距的差

10.（5分）設a#0,若X=q為函數—a（x-a）2（x-b）的極大值點，貝!]（)

A.a<hB.a>hC.ah<a2D.ab>a2

22

11.（5分）設8是橢圓C：工-+匚=1（。>人>0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿

2,2

ab

足|P8|W2b,則。的離心率的取值范圍是（）

A.[返，1）B.[A,1）C.（0,烏D.（0,A]

2222

12.（5分）設a=2/〃1.01,h=lnl.02,c=Vl.04-1-貝U（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a〈cD.c<a<b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.（5分）已知雙曲線C：工_-夕=1（m>0）的一條漸近線為心+g=0,則C的焦距

m

為.

14.（5分）已知向量之=（1,3）,]=（3,4）,若（Z-入E）貝I入=.

15.（5分）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,h,c,面積為B=60°,a2+c2

=3ac,則b=.

16.（5分）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個

三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一

組答案即可）.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：

共60分。

17.（12分）某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無

提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為7和樣本方差分別記為sJ

和S2?.

（1）求X，y>si2,522：

（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果

2JSl+d,則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為

V10

有顯著提高）.

18.（12分）如圖，四棱錐P-ABCQ的底面是矩形，底面ABC。，PD=OC=1,M為

BC中點，5.PBA.AM.

（1）求BC；

（2）求二面角A-PM-8的正弦值.

19.(12分)記S；為數列｛所｝的前”項和，治為數列｛%｝的前〃項積，已知2+_1_=2.

Snbn

(1)證明：數列｛b｝是等差數列；

(2)求｛的｝的通項公式.

20.(12分)己知函數/(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(%)的極值點.

(1)求。；

(2)設函數g(x)=x+f(x)證明：g(%)<］.

xf(x)

21.(12分)已知拋物線C：/=2py(p>0)的焦點為F,且F與圓M-./+()，+4)2=1

上點的距離的最小值為4.

(1)求p；

(2)若點尸在M上，PA,尸8為C的兩條切線，A,8是切點，求△以8面積的最大值.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計分。［選修4-4：坐標系與參數方程1(10分)

22.(10分)在直角坐標系xOy中，0C的圓心為C(2,1),半徑為1.

(1)寫出OC的一個參數方程；

(2)過點F(4,1)作OC的兩條切線.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極

坐標系，求這兩條切線的極坐標方程.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.己知函數/(x)=|x-a|+|x+3|.

(I)當。=1時，求不等式/(x)26的解集;

(2)若/(無)>-a,求〃的取值范圍.

2021年全國統一高考數學試卷(理科)(乙卷)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.(5分)設2(z+z)+3(z-z)=4+6z,則z=()

A.1-2zB.1+2/C.1+zD.1-/

【分析】利用待定系數法設出z="+山，a,b是實數，根據條件建立方程進行求解即可.

【解答】解：設2=〃+沅，a,6是實數，

則z=a-bi,

則由2(z+W)+3(z-z)=4+6i,

得2X2a+3X2〃=4+6i,

得4“+66=4+6i,

得[4a=4,得“=[,〃=[,

l6b=6

即Z=1+Z,

故選：C.

【點評】本題主要考查復數的基本運算，利用待定系數法建立方程是解決本題的關鍵，

是基礎題.

2.(5分)已知集合5={小=2〃+1,neZ},T={t\t=4n+\,neZ),則SC7=()

A.0B.SC.TD.Z

【分析】分別討論當〃是偶數、奇數時的集合元素情況，結合集合的基本運算進行判斷

即可.

【解答】解：當"是偶數時，設〃=2&,則s=2〃+l=4k+l,

當”是奇數時，設”=24+1,則s=2〃+l=4k+3,keZ,

則T$S,

貝ijsnT=T,

故選：C.

【點評】本題主要考查集合的基本運算，利用分類討論思想結合交集定義是解決本題的

關鍵，是基礎題.

3.（5分）已知命題p：a^eR,sirtr<1；命題q：VxGR,e國21,則下列命題中為真命題的

是（）

A.pAqB.fpl\qC.p/\~^qD.~'（pVq）

【分析】先分別判斷命題p和命題q的真假，然后由簡單的復合命題的真假判斷法則進

行判斷，即可得到答案.

【解答】解：對于命題p：3x6R,siax<1,

當x=0時，sinx=O<1,故命題p為真命題，［p為假命題；

對于命題q：VxeR,?國21,

因為|x|20,又函數>=，為單調遞增函數，故eM2e°=l,

故命題g為真命題，「q為假命題，

所以2八4為真命題，為假命題，為假命題，-3q）為假命題，

故選：A.

【點評】本題考查了命題真假的判斷，解題的關鍵是掌握全稱命題和存在性命題真假的

判斷方法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.

4.（5分）設函數/（x）=上①，則下列函數中為奇函數的是（）

1+x

A./（x-1）-1B./（A:-1）+1C.f（x+1）-1D.f（x+1）+1

【分析】先根據函數的解析式，得到/（x）的對稱中心，然后通過圖象變換，使

得變換后的函數圖象的對稱中心為（0,0）,從而得到答案.

【解答】解：因為f（x）=—x+l）+2g,

1+x1+xx+1

所以函數/（x）的對稱中心為（-1,-1）,

所以將函數/（X）向右平移一個單位，向上平移一個單位，

得到函數y=/（x-l）+1,該函數的對稱中心為（0,0）,

故函數y=f（X-1）+1為奇函數.

故選：B.

【點評】本題考查了函數奇偶性和函數的圖象變換，解題的關鍵是確定/（x）的對稱中

心，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.

5.（5分）在正方體ABC。-AIBICIQI中，P為BiQi的中點，則直線PB與AO1所成的角

為（）

【分析】由AOi〃BCi,得NPBCi是直線尸3與A￡>i所成的角（或所成角的補角），由此

利用余弦定理，求出直線P8與所成的角.

【解答】解：：AO〃8Ci,.../PBCi是直線PB與AD1所成的角（或所成角的補角），

設正方體ABCQ-481C1O1的棱長為2,

貝！1PBi=PCi=~^j22+22=V"^，^Ci=yj~^2~^2=2yf2,BP={22+2=V^，

PB2+BC2-PC26+8-2=?

cosNPBCi=--------1------1—

2XPBXB%2X70X272~

6

直線PB與ADs所成的角為三.

6

故選：D.

【點評】本題考查異面直線所成角和余弦定理，考查運算求解能力，是基礎題.

6.（5分）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行

培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方

案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【分析】5分先選2人一組，然后4組全排列即可.

【解答】解：5名志愿者選2個1組，有c?種方法，然后4組進行全排列，有A：種，

共有星A：=240種，

故選：C.

【點評】本題主要考查排列組合的應用，利用先分組后排列的方法是解決本題的關鍵,

是基礎題.

7.（5分）把函數y=/（x）圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的2倍，縱坐標不變，再把

2

所得曲線向右平移三個單位長度，得到函數y=sin(x--)的圖像，則/-(x)=()

34

A.sin(A-Z2L)B.sin(A+2L)

212212

C.sin(2x--Z2L.)D.sin(2x+-^-)

1212

【分析】由題意利用函數〉=4$出（3X+<P）的圖像變換規(guī)律，得出結論.

【解答】解：?.?把函數y=/（x）圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的工倍，縱坐標不變,

2

再把所得曲線向右平移三個單位長度，得到函數y=411（x-2L）的圖像，

34

...把函數y=sin（x-2L）的圖像，向左平移三個單位長度，

43

得到y=sin（x+---^―）=sin（x+2-）的圖像；

3412

再把圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，

可得/(x)=sin(Xr+2L)的圖像.

212

故選：B.

【點評】本題主要考查函數），=Asin（3x+<p）的圖像變換規(guī)律，屬基礎題.

8.（5分）在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機取1個數，則兩數之和大于工的概率為（）

4

A.工B.aC.AD.2

932329

<0<x<l

【分析】由題意可得可行域：1<了<2,可得三角形的面積，結合幾何概型即可得出

x+y>—

結論.

，0<x<l

【解答】解：由題意可得可行域：'1<y<2,可得三角形的面積=Lx3xW=_L,

x…24432

4

1-_1=空

3232

故選：B.

【點評】本題考查了線性規(guī)劃知識、三角形的面積、幾何概型、對立事件的概率計算公

式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

9.(5分)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海

島的高.如圖，點E,H,G在水平線4C上，OE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測

量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和E”都稱為“表目距”，GC與EH

的差稱為''表目距的差”，則海島的高A8=()

表高X表距

A.+表高

表目距的差

表高X表距

B.-表高

表目距的差

表高X表距

C..+表品目

表目距的差

表高X表距

D.-表距

表目距的差

【分析】根據相似三角形的性質、比例的性質、直角三角形的邊角關系即可得出.

【解答】解：些=旦旦，毀=絲，故￡旦=竺，即一里一=一CG

ABAHBACAAHCAAE+EHAE+EG4C

解得：AH=AE+EH,

CG-EH

故：4R=DE?AH=DE(AE+EH)=DE?EG+c日

EHEHCG-EH

故選：A.

【點評】本題考查了相似三角形的性質、比例的性質、直角三角形的邊角關系，考查了

推理能力與計算能力，屬于基礎題.

10.(5分)設若x="為函數f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點，則()

A.a<bB.a>hC.ab<a2'D.ab>cP

【分析】分a>0及”<0,結合三次函數的性質及題意，通過圖象發(fā)現a,%的大小關系,

進而得出答案.

【解答】解：令/(x)=0,解得x=a或x=6,即x=a及x=Z?是/(x)的兩個零點，

當〃>0時，由三次函數的性質可知，要使x=a是/(x)的極大值點，則函數/(無)的

則0<a<b；

當a<0時，由三次函數的性質可知，要使x=a是/(x)的極大值點，則函數/(x)的

大致圖象如下圖所示，

則b<a<0；

綜上，ab>a2.

故選：D.

【點評】本題考查三次函數的圖象及性質，考查導數知識的運用，考查數形結合思想,

屬于中檔題.

11.（5分）設B是橢圓C：斗$=—>0）的上頂點，若C上的任意一點尸都滿

ab

足則。的離心率的取值范圍是（）

A.[返，1）B.[X1）C.（0,返]D.（0,A]

2222

（22

x+7_1

【分析】由題意可得（a2b2"至多一個解，根據判別式即可得到。與b的關

x2+（y-b）2=4b2

系式，再求出離心率的取值范圍.

【解答】解：點B的坐標為（0,b）,

因為C上的任意一點尸都滿足儼8|W26,

所以點P的軌跡可以看成以B為圓心，2b為半徑的圓與橢圓至多只有一個交點,

22

x二］

即，a2b2~至多一個解,

x2+(y-b)2=4b2

22

消去x,可得b-a卜2-2勿+/-3廬=0,

b2'

,22

.?.△=4廿-4?.P-旦.?/-3戶)W0,

整理可得-々J廿+/W0,即（/.2/）2w。,

解得〃2=2層，.?.e=返,

故e的范圍為（0,

故選：C.

【點評】本題考查了橢圓的方程和性質，考查了運算求解能力和轉化與化歸思想，屬于

中檔題.

12.（5分）設a=2/〃L01,b^lnA.02,c=yl.04-1，則（）

A.a<h<cB.h<c<aC.h<a<cD.c<a<h

【分析】構造函數f(x)—2ln(1+x)-(5/1+4x-1)，0<%<1,h=ln(l+2x)

-(Vi+4^-1),利用導數和函數的單調性即可判斷.

【解答】解:'.,。=2加1.01=/〃1.0201,b=lnl.O2,

'.a>b,

令/(x)=21〃(1+x)-(Vl+4x-1)'0<x<l,

令41+4x=f，則lVf<加

：.g(f)=2ln(l2檢)-i+i=2l〃(尸+3)-z+1-2ln4,

4

2

.?./(r)=4t-1=4t-t-3--(t-1)(t-3)-^0

6999

t+3t+3t+3

：.g(r)在(1,-s/5)上單調遞增，

：.gCt)>g(1)=2/〃4-1+2打4=0,

：.f(x)>0,

?\a>cf

同理令人(x)=ln(l+2x)-(Vl+4x~1)，

再令41+4—x=^則

.Lt2-l

4

Acp(r)=/n(A-+k)-z+1=ln(?+l)-r+1-ln2,

2

r.(p'⑺=_2工--1=二七］)￡<0,

t2+lt2+l

.".(P(r)在(1,遍)上單調遞減，

.,.<p(r)<(p(1)=/〃2-1+1-/〃2=0,

:.h(x)<0,

:.c>b,

:?a>c>b.

故選:B.

【點評】本題考查了不等式的大小比較，導數和函數的單調性和最值的關系，考查了轉

化思想，屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.（5分）已知雙曲線C：工_-/=1（機＞0）的一條漸近線為近v+my=0,則C的焦距

m

為4.

【分析】根據題意，由雙曲線的性質可得第=4,解可得，"的值，即可得雙曲線的標

V3

準方程，據此計算C的值，即可得答案.

?2

【解答】解：根據題意，雙曲線C：工--/=]（膽＞0）的一條漸近線為后+緲=0,

m

則有_^=?,解可得%=3,

V3

2___

則雙曲線的方程為江--『=1,則。=/布=2,

3

其焦距2c=4；

故答案為：4.

【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，涉及雙曲線的漸近線方程的分析，屬于基礎題.

14.（5分）已知向量@=（1,3）,b=（3,4）,若（a-'b）?Lb，則入

5

【分析】利用向量的坐標運算求得7一入E=（1-3入，3-4人），再由（a-Ab）±b^可

得（3,-入b），b=0,即可求解入的值.

【解答】解：因為向量@=（1，3）,b=（3,4）,

則a~入匕=（1-3入，3-4人），

又（a-入b）-Lb?

所以（W-入E）?E=3（1-3A）+4（3-4入）=15-25入=0,

解得人=3.

5

故答案為：1.

5

【點評】本題主要考查數量積的坐標運算，向量垂直的充要條件，考查方程思想與運算

求解能力，屬于基礎題.

15.（5分）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為B=60°,a2+c2

—3ac,貝ijb—_2\[?..

【分析】由題意和三角形的面積公式以及余弦定理得關于人的方程，解方程可得.

【解答】解：:△ABC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為遙，8=60°,

a+c=3ac9

22

/.-acsinB=\[2=^^-acXyJ"2=^ac=4=>a+c=12,

2,2121Q?2

又COsB=-——=>A=1乙-b=8=2正,（負值舍）

2ac28

故答案為：2^/2-

【點評】本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應用，屬基礎題.

16.（5分）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個

三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為②⑤或③④（寫出符合要求

圖①圖②圖③

圖④圖⑤

【分析】通過觀察已知條件正視圖，確定該正視圖的長和高，結合長、高、以及側視圖

視圖中的實線、虛線來確定俯視圖圖形.

【解答】解：觀察正視圖，推出正視圖的長為2和高1,②③圖形的高也為1,即可能為

該三棱錐的側視圖,

④⑤圖形的長為2,即可能為該三棱錐的俯視圖,

當②為側視圖時，結合側視圖中的直線，可以確定該三棱錐的俯視圖為⑤,

當③為側視圖時，結合側視圖虛線，虛線所在的位置有立體圖形的輪廓線，可以確定該

三棱錐的俯視圖為④.

故答案為：②⑤或③④.

【點評】該題考查了三棱錐的三視圖，需要學生掌握三視圖中各個圖形邊長的等量關系,

以及對于三視圖中特殊線條能夠還原到原立體圖形中，需要較強空間想象，屬于中等題.

三、解答題：共7（）分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（-）必考題:

共60分。

17.(12分)某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無

提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下:

舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為彳和樣本方差分別記為si

和般2.

(1)求X，y，S]2,J22;

(2)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果G-G》

2\S沁,則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為

Vio

有顯著提高).

【分析】(1)利用平均數和方差的計算公式進行計算即可；

__I22

(2)比較y-x與2\±L52的大小，即可判斷得到答案.

V10

【解答】解：(1)由題中的數據可得，

x10

(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,

y=-l-X(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

10

s/=」__x[(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8

10

-10)2

+(10-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2J=0.036；

1V22=^-X[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1

10

-10.3)2

+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]

=0.04；

（2）y-x=10.3-10=0.3.

^0.036+0.04=27573076^0.174-

__2,2

所以史2,

V10

故新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.

【點評】本題考查了樣本特征數的計算，解題的關鍵是掌握平均數與方差的計算公式,

考查了運算能力，屬于基礎題.

18.（12分）如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC^l,M為

8c中點，且尸8_LAM.

(1)求BC；

（2）求二面角A-PM-8的正弦值.

【分析】（1）連結BD,利用線面垂直的性質定理證明AMLPD,從而可以證明AM,平

面PBC,得到AM_L8￡>,證明RCD4BsRt2\A8M,即可得到3c的長度；

（2）建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數

法求出平面的法向量，由向量的夾角公式以及同角三角函數關系求解即可.

【解答】解：（1）連結8。，因為PC底面A8C。，且AMu平面ABCC,

則又AM_LPB,PBCPD=P,PB,P￡）u平面

所以平面PBD,又8￡>u平面PBD,則AM1.BD,

所以NABO+NOAM=90°,又/DAM+NMAB=90°,

則有所以RtZ\￡）ABsRtZiABM,

則地型，所以工BC2=I，解得BC=如；

ABBM2

（2）因為ZM,DC,OP兩兩垂直，故以點。位坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示,

則A（V^,0，。），B（^^2,1，。），M1,0）?P（。,0,1），

所以AP=（-V2，0，1），

AM=（1<0），BM=（0，0），BP=（-V2,-1,D，

設平面AM尸的法向量為1=（x,y,z），

（1―—?（-&x+z=0

則有化,竺=。,B|jJ圾,

n-AM=0-x-^=0

令*=我，則y=l,z=2,故［=（6，1,2），

設平面8Mp的法向量為孟=（p,q,「）,

l-rV2n

則有??巴=0,gp—P=°,

嬴而=°^/2p-q+r=0

令q=l,則r=l,故去（0,1,1），

所以|cos<U'>|-但可=￡后二嚕,

IniImlV7XV214

設二面角A-PM-B的平面角為a,

貝“sina=Y『cos2a4-cos2<1,^?產唔，

所以二面角A-PM-B的正弦值為叵.

14

'B

X

【點評】本題考查了空間中線段長度求解以及二面角的求解，在求解有關空間角問題的

時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題進行研究，

屬于中檔題.

19.(12分)記S,為數列｛而｝的前〃項和，尻為數列｛%｝的前〃項積，已知2+」。=2.

Snbn

(1)證明：數列｛為｝是等差數列；

(2)求｛3,｝的通項公式.

b

【分析】(1)由題意當〃=1時，"=日,代入已知等式可得益的值，當〃22時，將_a_

^n-l

—S11,代入2+_1_=2,可得為-加一|=_1,進一步得到數列｛鳳｝是等差數列；

$nL2

(2)由m=Si=bi=上，可得尻=打+2,代入已知等式可得S"=空2,當〃)2時，an

22n+1

=Sn-Sn-\=進一步得到數列｛〃”｝的通項公式.

n(n+l)

【解答】解：(1)證明：當〃=1時，b\=S\,

由2+」-=i,解得從=3,

blbl2

當〃22時，上2_=S,代入2+_1_=2,

bnT$n%

消去s,”可得23+工=2,所以從-兒.1=」，

bnbn2

所以｛為｝是以旦為首項，工為公差的等差數列.

22

(2)由題意，得ai=Si=Z>i=3,

2

由(1),可得瓦=3+(?-1)x

222

由2+工=2,可得的=止2,

Snbnn+1

當〃22時，-S《-in+l=_--1---,顯然ai不滿足該式，

n+1nn(n+l)

日,n=1

所以斯=4.

n(Jl)'n>2

【點評】本題考查了等差數列的概念，性質和通項公式，考查了方程思想，是基礎題.

20.(12分)己知函數f(x)=ln已知x=0是函數y=4(x)的極值點.

(1)求4；

(2)設函數g(X)=三+￡3_.證明：g(無)<1.

xf(x)

【分析】(1)確定函數f(X)的定義域，令g(x)=燈3,由極值的定義得到9G)

=0,求出〃的值，然后進行證明，即可得到〃的值；

(2)將問題轉化為證明x+ln(l-x)<1，進一步轉化為證明x+ln(1-x)>xln(1-x),

xln(l-x)

令h(x)=x+(l-x)In(l-x),利用導數研究h(x)的單調性，證明h(x)>h(0),

即可證明.

【解答】(1)解：由題意，/(x)的定義域為(-8,〃)，

令g(x)=xf(元)，則g(x)=xln(a-x),xG(-°°,。)，

則g，(x)=ln(〃-x)+x.二L=]n(a-x)+一乂,

a-xa-x

因為x=0是函數(x)的極值點，則有g，(x)=0,即上〃=0,所以〃=1,

=-X

當。=1時，g'(x)ln(l-x)+1~=ln(l-x)^-+r目.￡(。)=。，

l-xl-x

=X2

因為g"(x)—^V=-■<0.

l-x(l-x)2(l-x)2

則g(X)在(-8,1)上單調遞減，

所以當xW(-8,a)時，g'(x)>0,

當代(0,1)時，g'(x)<0,

所以。=1時，x=0時函數(x)的一個極大值.

綜上所述，a=\\

(2)證明：由(1)可知，#(x)=xln(l-x),

要證4埃L<1，即需證明x+ln(l-Q<1，

xf(x)xln(l-x)

因為當xW(-8,0)時，xln(1-x)VO,

當xW(0,1)時，x加(1-x)<0,

所以需證明(1-x)>xln(1-x),BPx+(1-x)In(1-x)>0,

令力(x)=x+(1-x)/n(1-x),

貝lj”(x)=(1-x)■二

1-x

所以“(0)=0,當(-8,o)時，"(x)<0,

當疣(0,1)時,H(X)>0,

所以x=0為/?(x)的極小值點,

所以h(x)>h(0)=0,即x+ln(1-x)>xln(1-x),

故x+ln(l-x)

<1，

xln(l-x)

所以x+f(p<;L.

xf(x)

【點評】本題考查了導數的綜合應用，主要考查了利用導數研究函數的極值問題，利用

導數證明不等式問題，此類問題經常構造函數，轉化為證明函數的取值范圍問題，考查

了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于難題.

21.(12分)已知拋物線C：x2=2py(/>>0)的焦點為F,且尸與圓M：/+()，+4)2=1

上點的距離的最小值為4.

(1)求p；

(2)若點尸在M上，PA,尸3為C的兩條切線，A,B是切點，求△BAB面積的最大值.

【分析】(1)由點尸到圓〃上的點最小值為4建立關于p的方程，解出即可；

(2)對y」x2求導，由導數的幾何意義可得出直線刑及PB的方程，進而得到點尸的

坐標，再將AB的方程與拋物線方程聯立，可得P(2k,-b),|AB|以及點P到直線AB

的距離，進而表示出△朋B的面積，再求出其最小值即可.

【解答】解：(1)點F(0,]■周圓M上的點的距離的最小值為廊|-1號+4-1=4,解

得p=2；

(2)由(1)知，拋物線的方程為/=4y,即則y，,x，

22

設切點A(Xi,yi),B(如")，則易得.A：丫得X-午，lpB：y啜'X-今，

X1+X2x/2

從而得到p（.），

~2~4

設/AB：y^kx+b,聯立拋物線方程,消去y并整理可得/-4h-46=0,

,△=16必+166>0,即必+。>0,且XI+X2=4A,X\X2--4b,

：.PC2k,-b),

|A