由波動方程推導(dǎo)高斯光束的公式

由波動方程推導(dǎo)高斯光束的公式

1ux,y,z的緩變振幅近似高斯光束可以作為統(tǒng)一平面波和球面波的解決方案，也是波動方程的解決方案。下面從波動方程出發(fā)推導(dǎo)高斯光束的表達式。均勻各向同性光學(xué)介質(zhì)中的波動方程為?2E+K2E=0(1)式(1)中:K為復(fù)數(shù)波矢,其實部表示光場在介質(zhì)中傳播時的相移,即與光在介質(zhì)中傳播的相速度c/η=1/(ηε)12c/η=1/(ηε)12相聯(lián)系,η為介質(zhì)的折射率;虛部表示由于介質(zhì)的損耗而引起的衰減。假定光場矢量的偏振方向確定,因此可以將式(1)化為標(biāo)量形式,如忽略損耗,復(fù)波矢變?yōu)閷崝?shù),用k表示。于是得到?2E+k2E=0(2)對于細光束,例如在腔內(nèi)或腔外的激光光場都集中在光軸附近。于是式(2)的試解可表示為E=u(x,y,z)e-ikz(3)由于激光具有好的方向性,所以u(x,y,z)是z的緩變函數(shù),它表明激光束與平面波和球面波的區(qū)別:非均勻強度分布、光束隨傳播距離而擴展、波前的曲率中心不固定等。光場E隨z的變化主要反映在因子e-ikz中。很顯然,如果u(x,y,z)與x和y無關(guān),(3)式即為平面波。當(dāng)u(x,y,z)=e-ikz/R時,場為球面波。在這里u(x,y,z)是一個未知振幅函數(shù),為求出u(x,y,z)的表達式,將試解(3)代入式(2),并進行緩變振幅近似,即?2u/?z2?k?u/?z,得?2u?x2+?2u?y2?2ik?u?z=0?2u?x2+?2u?y2-2ik?u?z=0(4)這個方程的形式和與時間相關(guān)的薛定諤(Schro¨o¨dinger)方程相似,容易看出u=exp{i[p(z)+kr22q(z)]}u=exp{i[p(z)+kr22q(z)]}(5)為方程(4)的一個試解。其中r2=x2+y2;參量p(z)與光束的傳播有關(guān),表示相位變化的附加修正項;q(z)是一個參變量,它描寫了光軸附近球面波的曲率,以及光束強度隨距離r的高斯變化。將式(5)代入式(4),求得k(x2+y2)q2(z)[dq(z)dz?1]+2ik[idp(z)dz?1q(z)]=0k(x2+y2)q2(z)[dq(z)dz-1]+2ik[idp(z)dz-1q(z)]=0(6)鑒于式(6)第二項不含x和y,而對任意一點(x,y),式(6)都應(yīng)該成立。比較r冪次相同的項,于是得到dq(z)dz=1dq(z)dz=1(7)idp(z)dz=1q(z)idp(z)dz=1q(z)(8)將式(7)積分得q(z)=q0+z(9)式(9)中:q0為積分常數(shù)。將式(9)代入式(8)得dp(z)dz=?iq=?iq0+zdp(z)dz=-iq=-iq0+z(10)將式(10)積分,并取積分常數(shù)為0(這里的積分常數(shù),只影響式(3)場的相位,因為時間原點是任意取的,故這個相位可取為0),可得p(z)=?iln(1+zq0)p(z)=-iln(1+zq0)(11)將式(9)和式(11)代入式(5),可得u=exp{?i[?iln(1+zq0)+k2(q0+z)r2]}u=exp{-i[-iln(1+zq0)+k2(q0+z)r2]}(12)取任意常數(shù)q0為純虛數(shù),并用一個新的常數(shù)w0重新表示為q0=iπw20λq0=iπw02λ;λ=2πkλ=2πk(13)由式(9),當(dāng)z=0時,q(0)=q0=iπw2002/λ,將發(fā)現(xiàn)對虛數(shù)q0的選擇可得出有物理意義的光波。這些波的能量密度約束在光軸附近。利用式(13)的代換,分別討論式(12)中兩個因子。第二個因子變?yōu)閑xp[?ik2(q0+z)r2]=exp????r2w20[1+(λzπw20)2]?ikr22z[1+(πw20λz)2]???(14)exp[-ik2(q0+z)r2]=exp[-r2w02[1+(λzπw02)2]-ikr22z[1+(πw02λz)2]](14)若定義如下的參量w2(z)=w20[1+(λzπw20)2]=w20[1+(zf)2]w2(z)=w02[1+(λzπw02)2]=w02[1+(zf)2](15)R(z)=z[1+(πw20λz)2]=z[1+(fz)2]R(z)=z[1+(πw02λz)2]=z[1+(fz)2](16)f=πw20λf=πw02λ(17)則式(14)變?yōu)閑xp[?ik2(q0+z)r2]=exp[?r2w2(z)??ikr22R(z)]exp[-ik2(q0+z)r2]=exp[-r2w2(z)--ikr22R(z)](18)對第一個因子計算如下因為故有式(20)中Ψ(z)=arctan(λzπw20)=arctan(zf)Ψ(z)=arctan(λzπw02)=arctan(zf)(21)最后得出E(x,y,z)=E0w0w(z)exp{?i[kz?Ψ(z)]?r2(1w2(z)+ik2R(z))}=E(x,y,z)=E0w0w(z)exp{-i[kz-Ψ(z)]-r2(1w2(z)+ik2R(z))}=其中1q(z)=1R(z)?iλπw2(z)1q(z)=1R(z)-iλπw2(z)(23)式(22)是得到的基本結(jié)果,稱為高斯光束,或激光基模光束。在求解波動方程時,僅限于包含橫向關(guān)系r2=x2+y2的解,故不包含高階模的情況。從上面討論可見,從波動方程推得的結(jié)果與采用諧腔衍射積分方程得到的腔內(nèi)行波場的表達式是一致的,這是由于衍射積分方程也是從波動方程得來的。2對高斯光束特性的單一性的探討,提高了學(xué)生對實驗中的應(yīng)用能力和理論基礎(chǔ)從波動方程出發(fā),推導(dǎo)了基模高斯光束的表達式,結(jié)果與諧振腔衍射積分理論的結(jié)果一致,同時也證明了高斯光束和均勻平面波、球面波一樣,也是波動方程的一個解。推導(dǎo)過程豐富了教學(xué)內(nèi)容,開闊了學(xué)生思路,加深了對高斯光束的理解,產(chǎn)生良好的教學(xué)效果。采用穩(wěn)定腔的激光器所發(fā)出的激光,是以高斯光束的形式在空間傳輸?shù)?。因?研究高斯光束特性及其傳輸規(guī)律就成為激光理論和實際應(yīng)用中的重要問題。經(jīng)典《激光原理》教材中高斯光束是在諧振腔衍射理論的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的,而諧振腔衍射理論是激光原理中最