數(shù)字信號管理組織參備考資料試題3

**第三章 離散傅里葉變換1. 如圖P3-1所示，序列x(n)是周期為6的周期性序列，試求其傅里葉級數(shù)的系數(shù)。感謝閱讀圖 P3-1解：~5~5~2由6nkX(k)x(n)Wnkx(n)ej6n0n022224k10ej21412ej6k10ej62k8ej63k6ej665k計算求得~(0)60~9j3~3j3X,X(1)3,X(2)~(3)0,~3j3,~9j33XX(4)X(5)~~~~2.設(shè)x(n)R(n)，x(n)x((n))，試求X(k)，并作圖表示x(n)，X(k)。46解：~5~5~22kejk由X(k)x(n)Wnkx(n)ej6nk1ej3kej36n0n0計算求得~(0)4,~j3~XX(1),X(2)1~(3)0,~1,~3XX(4)X(5)j~~x(n)，|X(k)|如圖P3-2所示。**圖 P3-2設(shè)x(n)試求x~(

n1,0n4，h(n)R(n2)~~，0,其他n令x(n)x((n))，h(n)h((n))466) ~n與h(n)的周期卷積并作圖。解：在一個周期內(nèi)的計算值~ ~ ~ ~ ~y(n)x(n)h(n)x(m)h(nm)精品文檔放心下載mx~(n)~~Nh(nm)y(n)123450001111014100111112210011110311001184 1 1 1 0 0 1 6**5111100104.已知x(n)如圖P3-4(a)所示，為｛1，1，3，2｝，試畫出x((n))，x((n))R(n)，566x((n))R(n)，x((n))，x((n3))R(n)，x((n))R(n)等各序列。3365577解：各序列如圖P3-4（b）所示。圖 P3-3圖 P3-4（a）**圖 P3-4（b）5. 試求以下有限長序列的N點DFT（閉合形式表達式）：精品文檔放心下載(1)x(n)acos(n)R(n)精品文檔放心下載N(2)x(n)anR(n)N(3)x(n)(nn),0nN感謝閱讀0 0x(n)nR(n)N(5)x(n)n2R(n)N解：（1）因為x(n)acos(n)R(n)，所以感謝閱讀NN1n)ej2nkR(k)N12X(k)acos(N1a(ej0nej0n)ejNnkR(k)n00N2n0N1N12kN12k(k)jnjnR2aeN0eN0n0Nn0**1ej0N1ej0N1aR(k)22k2kNeN1eN001ej0N0N0Nej0N0N0N2(ej2ej2)2(ej2ej2)a1212121212122jk0k0jk0jk0k0jk02(ej2e2e2(ej2e2eNNN)NNN)ej0N1ej0N1N2sin2N2sin1a0202j12k1j12k1ekek2N0sinN2N0sinN2200（2）因為x(n)anR(n)，所以NN1anej21aNX(k)Nnkn01ae（3）因為x(n)(nn),0nN，所以00

j2kNX(k)N1j2nkN1j2nkej2nkx(n)eN(nn)eNN00n0n0（4）因為x(n)nR(n)，所以NN1N1X(k)nWnkR(k),WkX(k)nW(n1)kR(k)NNNNNn0n0N1N1X(k)(1Wk)(nWnknW(n1)k)R(k)NNNNn0n0[Wk2W2k3W3k（N1）W(N1)k(W2k2W2kNNNNNN(N2)W(N1)kN1)]R(k)NN((N1)N1Wnk)R(k)NNn1Wk1(N1)NR(k)NR(k)1WkNNN所以N()X(k)1WkRkNN（5）由x(n)n2R(n)，則N**N1X(k)n2WnkR(k)N N0根據(jù)第（4）小題的結(jié)論x(n)nR(n)1N則X(k)nWnkNR(k)N1n0N1WkNNX(k)(1N1N1Wk)n2Wnkn2W(n1)kNNNn0n0Wk4W2k9W3k（N1）2W(N1)k[W2k4W3kNNNNNN（N2）2W(N1)k(N1)2]感謝閱讀N(N1)2N1(2n1)Wnk感謝閱讀N1N(N2)2N1nWnkN1N(N2)2X(k)12NN(N2)N所以X(k)N(N2)WkN2,0kN1N(1Wk)2N如圖P3-6(a)畫出了幾個周期序列x~(n)，這些序列可以表示成傅里葉級數(shù)精品文檔放心下載~1N1~x(n)NX(k)ej(2/N)nk0問：（1）哪些序列能夠通過選擇時間原點使所有的X~(k)成為實數(shù)？謝謝閱讀~ ~（2）哪些序列能夠通過選擇時間原點使所有的X(k)）（除X(0)外）成為虛數(shù)？感謝閱讀（3）哪些序列能做到X~(k)＝0，k=±2，±4，±6，…精品文檔放心下載**圖P3-6（a）解：~(k)為實數(shù)，即要求~~（1）要使XX*(k)X(k)~~根據(jù)DFT的性質(zhì)，x(n)x(n)應(yīng)滿足實部偶對稱，虛部奇對稱（以n=0為軸）。又由圖知，為實序列，虛部為零，故x(n)應(yīng)滿足偶對稱x~(n)x~(n)x~(n)是以n=0為對稱軸的偶對稱，可看出第二個序列滿足這個條件。如圖P3-6(b)所示。精品文檔放心下載圖 P3-6（b）**~~~（2）要使X(k)為虛數(shù)，即要求X*(k)X(k)~~根據(jù)DFT的性質(zhì)，x(n)應(yīng)滿足實部奇對稱，虛部偶對稱（以n=0為軸）。又已知x(n)為實序列，故~~x(n)x(n)即在一個周期內(nèi)，x~(n)在一圓周上是以n=0為對稱軸的奇對稱，所以這三個序列都不滿足謝謝閱讀這個條件。（3）由于是8點周期序列，對于第一個序列有~3ej2nk1ejk11kX1(k)81ejn01ej4k4kk2,4,6時，X~(k)0。感謝閱讀1對于第二個序列有3~2ejnk1ej4kX1(k)4n01ejk4k2,4,6時，X~(k)0。感謝閱讀1對于第三個序列有~~~(n4)x(n)x(n)x311根據(jù)序列移位性質(zhì)可知~~~ejk)11kX(k)X(k)ejkX(k)(13111ejk4k2,4,6時，X~(k)0。精品文檔放心下載3綜上所得，第一，第三個序列滿足X~(k)0,k2,4,感謝閱讀7. 在圖P3-7(a)中畫了兩個有限長序列，試畫出它們的六點圓周卷積。精品文檔放心下載**圖 P3-7（a）5x(m)x((nm))(n)解：y(n)Rm01266結(jié)果如圖P3-7(b)所示。圖 P3-7（b）8.圖P3-8(a)表示一個5點序列x(n)。謝謝閱讀（1）試畫出x(n)*x(n)；（2）試畫出x(n)⑤x(n)；（4）試畫出x(n)⑩x(n)；圖 P3-8（a）**解：個小題的結(jié)果分別如圖P3-8(b)，P3-8(c),，P3-8(d)所示。精品文檔放心下載圖 P3-8（b）圖 P3-8（c）圖 P3-8（d）9. 設(shè)有兩個序列x(n),0n5x(n) 0,其他ny(n),0n14y(n) 0,其他n各作15點的DFT，然后將兩個DFT相乘，再求乘積的IDFT，設(shè)所得結(jié)果為f(n)，感謝閱讀**問f(n)的哪些點（用序號n表示）對應(yīng)于x(n)*y(n)應(yīng)該得到的點。精品文檔放心下載解：序列x(n)的點數(shù)為N1=6，y(n)的點數(shù)為N2=15，故x(n)*y(n)的點數(shù)應(yīng)為精品文檔放心下載NNN 1202f(n)為x(n)與y(n)的15點的圓周卷積，即L=15。所以，混疊點數(shù)為N-L=20-15=5。謝謝閱讀即線性卷積以15為周期延拓形成圓周卷積序列f(n)時，一個周期內(nèi)在n=0到感謝閱讀n=4(=N-L-1)這5點出發(fā)生混疊，即f(n)中只有n=5到n=14的點對應(yīng)于x(n)*y(n)應(yīng)該得到的點。精品文檔放心下載10.已知兩個有限長序列為n1,0n3x(n)0,4n61,0n4y(n)1,5n6試作圖表示x(n)，y(n)以及f(n)x(n)⑦y(n)。謝謝閱讀解：結(jié)果如圖P3-10所示。**圖 P3-10已知x(n)是N點有限長序列，X(k)DFT[x(n)]。現(xiàn)將長度變成rN點的有限長序列y(n)精品文檔放心下載x(n),0nN1y(n)0,NnrN1試求rN點DFT［y(n)］與X［k］的關(guān)系。精品文檔放心下載解：由可得

X(k)Y(k)N1n0

N1x(n)ej2nk,0kN1DFT[x(n)]N0DFT[y(n)]rN1y(n)WnkN1x(n)Wnk感謝閱讀rNrNn0n0x(n)ej2kXkNnr,klr,l0,1,,N1r所以在一個周期內(nèi)，Y(k)的抽樣點數(shù)是X(k)的r倍（Y(k)的周期為Nr），相當(dāng)于在精品文檔放心下載(k)的每兩個值之間插入r-1個其他的數(shù)值（不一定為零），而當(dāng)k為r的整數(shù)l倍時，Y(k)精品文檔放心下載k與X相等。r已知x(n)是N點的有限長序列，X(k)DFT[x(n)]，現(xiàn)將x(n)的每兩點之間補進r-1個零值點，得到一個rN點的有限長序列y(n)感謝閱讀x(n/r),nir,nir,i0,1,,N1y(n)0,其他n試求rN點DFT［y(n)］與X［k］的關(guān)系。謝謝閱讀解：由N1x(n)Wnk,0kN1X(k)DFT[x(n)]Nn0可得**Y(k)DFT[y(n)]rN1y(n)WnkN1xirrWirkN1x(i)Wik,0krN1精品文檔放心下載rN rN Nn0 i0 i0而 Y(k)X((k))R (k)N rN所以Y(k)是將X(k)(周期為N)延拓r次形成的，即Y感謝閱讀頻譜分析的模擬信號以8kHz被抽樣，計算了之間的頻率間隔，并證明你的回答。感謝閱讀證明：由fs,F0s202得fssF00

(k)周期為rN。512各抽樣的DFT，試確定頻譜抽樣其中是以角頻率為變量的頻譜的周期，是頻譜抽樣之間的頻譜間隔。感謝閱讀s0又fNssF00則Ffs0N對于本題有f8kHz,N512sF0800051215.625Hz設(shè)由一譜分析用的信號處理器，抽樣點數(shù)必須為2的整數(shù)冪，假定沒有采用任何特殊數(shù)據(jù)處理措施，要求頻率分辨力≤10Hz，如果采用的抽樣時間間隔為0.1ms，試確定：（1）最小記錄長度；（2）所允許處理的信號的最高頻率；（3）在一定記錄中感謝閱讀的最好點數(shù)。解：（1）因為T1，而F10Hz，所以0F00**1s010而最小記錄長度為0.1s。（2）因為f1110310kHz，而0T0.12fs h所以f1f5kHzh2s即允許處理的信號的最高頻率為5kHz。（3）NT0.11000，又因N必須為2的整數(shù)冪，所以一個記錄中的最少點0103T0.1數(shù)為N2101024。15.序列x(n)的共軛對稱和共軛反對稱分量分別為精品文檔放心下載x(n)1[x(n)x*(n)]，x(n)1[x(n)x*(n)]e2o2長度為N的有限長序列x(n)（0≤n≤N-1）的圓周共軛對稱和圓周共軛反對稱分量分別定謝謝閱讀義如下： x (n)epx (n)op（1）證明

1212

[x((n)) x*((n))]R(n)精品文檔放心下載N N N[x((n)) x*((n))]R(n)謝謝閱讀N N Nx (n)[x(n)x(nN)]R (n)感謝閱讀ep e e Nx (n)[x(n)x(nN)]R (n)謝謝閱讀op o o N（2）把x(n)看作長度為N的序列，一般說，不能從x(n)恢復(fù)x(n)，也不能從x(n)epeop恢復(fù)x(n)。試證明若把x(n)看作長度為N的序列，且n≥N/2時x(n)0，則從ox(n)可恢復(fù)x(n)，從x(n)可恢復(fù)x(n)。epeopo證明（1）①方法一由于x(n)只在0nN1的范圍內(nèi)有值，則有精品文檔放心下載**x(n)1[x((n))x*((n))]R(n)1x(n)1x*(Nn)ep2NNN22n=0時x*(Nn)x*(0)（a）0nN1時(n)12[x(n)x*(n)]12x(n)e謝謝閱讀x(nN)1[x(nN)x*(Nn)]1x*(Nn)e22所以1[()xe()]RN()xep(n)2xennNn（b）n=0時x(nN)R(n)0，x*(Nn)R(n)0NN則有x(n)1[x(n)x*(n)]R(n)1[x(n)x*(n)x(nN)x*(Nn)]R(n)ep2N2N[x(n)x(nN)]R(n)eeN綜上所述x(n)[x(n)x(nN)]R(n)epeeN同理可證x(n)[x(n)x(nN)]R(n)opooN②方法二（a）x(n)[x(n)x(nN)]R謝謝閱讀ep e e Nx(n)1[x(n)x*(n)]e2xe(n)RN(n)1[x(n)x(0)*(nN)R(n)12[x(nN)eN感謝閱讀

(n)(n)]x*(Nn)]R(n)N因為 x(nN)R(n)0N所以1[*()*(0)()]xe(nN)RN(n)2xNnxnN⑴+⑵得[x(n)x(nN)]R(n)1[x(n)x*(Nn)x*(0)(n)x*(0)(nN)]eeN2**（b）由于x((n)) 1[x((n)) x*((n))]感謝閱讀e N 2 N Nx((n))R(n)x(n)N Nx*((n))R(n)x*(Nn)x*(0)(n)x*(0)(nN)精品文檔放心下載N N(4)+(5)得x(n)ep(3)與(6)比較可知同理可證

1[x((n))x*((n))]R(n)2NNN1[x(n)x*(Nn)x*(Nn)x*(0)(n)x*(0)(nN)]2x(n)[x(n)x(nN)]R(n)epeeNx(n)[x(n)x(nN)]R(n)opooN（2）利用（1）的結(jié)果x(n)[x(n)x(nN)]R(n)精品文檔放心下載ep e e N(nN)12[x(nN)x*(nN)]e精品文檔放心下載① 按照題意,當(dāng)0nN/2時，x(n)0。此時感謝閱讀NnNN/2，N/2nNN精品文檔放心下載所以當(dāng)0nN/2時，x(nN)0，x*(nN)0，故精品文檔放心下載(nN)0e所以當(dāng)0nN/2時，x(n)x(n)。epe②當(dāng)N/2n1時，按共軛對稱有x*(n)1[x(n)x*(n)]x(n)e2e且由（1）的結(jié)論知x *(n)[x *(n)x *(nN)]R (n)感謝閱讀ep e e NN/2n1時**x*(nN)R(n)0e