四邊形證明題及綜合題

-.z.四邊形證明題及綜合題1、：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，∠BAE∠DAF．〔1〕求證：BEDF；〔2〕聯(lián)結(jié)AC交EF于點(diǎn)O，延長OC至點(diǎn)M，使OMOA，聯(lián)結(jié)EM、FM．求證：四邊形AEMF是菱形．2、如圖8，梯形中，，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且．〔1〕求證：四邊形是平行四邊形；〔2〕聯(lián)結(jié),假設(shè)平分，求證：四邊形是矩形．3、如圖，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=AB=DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE=CF，AF、BE交于點(diǎn)P。〔1〕求證：AF=BE；〔2〕請猜測∠BPF的度數(shù)，并證明你的結(jié)論。4、如圖，在矩形ABCD中，BM⊥AC，DN⊥AC，M、N是垂足.〔1〕求證：AN=CM；〔2〕如果AN=MN=2，求矩形ABCD的面積.5.如圖.在平行四邊形中，為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)為線段延長線上的一點(diǎn)，且.過點(diǎn)作∥，交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié).〔1〕求證：∥；〔2〕如果梯形是等腰梯形，判斷四邊形的形狀，并給出證明.6、如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，DE與CF相交于G，DE、CB的延長線相交于點(diǎn)H，點(diǎn)M是CG的中點(diǎn)．求證：〔1〕BM//GH；〔2〕BM⊥CF．7．：如圖，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于點(diǎn)C，BD平分∠ABC，交AE于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)CD.求證：四邊形ABCD是菱形．8．如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，與相交于，、的延長線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：〔1〕(2)9．：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，點(diǎn)E、F在邊BC上，BE=CF，EF=AD．求證：四邊形AEFD是矩形．10．如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊ABCD的中點(diǎn)，BD是對角線，過A點(diǎn)作AG//DB交CB的延長線于點(diǎn)G．〔1〕求證：DE∥BF；〔2〕假設(shè)∠G＝，求證：四邊形DEBF是菱形．11．：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，AC⊥AB，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，DE的延長線與邊BC相交于點(diǎn)F．求證：四邊形AFCD是菱形．12．〔此題共2小題，每題6分，總分值12分〕：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，點(diǎn)E、F在邊BC上，DE//AB，AF//CD，且四邊形AEFD是平行四邊形．〔1〕試判斷線段AD與BC的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；〔2〕現(xiàn)有三個(gè)論斷：①AD=AB；②∠B+∠C=90°；③∠B=2∠C．請從上述三個(gè)論斷中選擇一個(gè)論斷作為條件，證明四邊形AEFD是菱形．13．：如圖，矩形紙片ABCD的邊AD=3，CD=2，點(diǎn)P是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)C重合，把這矩形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P的位置上，折痕交邊AD與點(diǎn)M，折痕交邊BC于點(diǎn)N.〔1〕寫出圖中的全等三角形.設(shè)CP=，AM=，寫出與的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕試判斷∠BMP是否可能等于90°.如果可能，請求出此時(shí)CP的長；如果不可能，請說明理由.14、邊長為1的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔與點(diǎn)A、C不重合〕，過點(diǎn)P作PE⊥PB，PE交射線DC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為點(diǎn)F.〔1〕當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時(shí)〔如圖10〕，①求證：PB=PE；②在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？假設(shè)不變，試求出這個(gè)不變的值，假設(shè)變化，試說明理由；〔2〕當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長線上時(shí)，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立〔只需寫出結(jié)論，不需要證明〕；〔3〕在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，⊿PEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長，如果不能，試說明理由．15、如圖，直線與軸相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的坐標(biāo).(2)請判斷△的形狀并說明理由.(3)動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著的路線向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)〔不與點(diǎn)、重合〕，過點(diǎn)分別作軸于，軸于.設(shè)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，矩形與△重疊局部的面積為.求與之間的函數(shù)關(guān)系式.16．：如圖，梯形中，∥，，，．是直線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)．聯(lián)結(jié)．〔1〕假設(shè)點(diǎn)是線段上一點(diǎn)〔與點(diǎn)、不重合〕，〔如圖1所示〕①求證：．②設(shè)，△的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．〔2〕直線上是否存在一點(diǎn)，使△是△面積的3倍，假設(shè)存在，直接寫出的長，假設(shè)不存在，請說明理由．17．：O為正方形ABCD對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E在邊CB的延長線上，聯(lián)結(jié)EO，OF⊥OE交BA延長線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF〔如圖4〕。求證：EO=FO；假設(shè)正方形的邊長為2，OE=2OA，求BE的長；當(dāng)OE=2OA時(shí)，將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△F1OE1，使得∠BOE1=時(shí)，試猜測并證明△AOE1是什么三角形。18．〔此題總分值10分，第〔1〕小題3分，第〔2〕小題4分，第〔3〕小題3分〕如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、AD的延長線上，且EA⊥CF，垂足為H，AE與CD相交于點(diǎn)G．〔1〕求證：AG=CF；〔2〕當(dāng)點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)時(shí)〔如圖1〕，求證：FC=FE；〔3〕如果正方形ABCD的邊長為2，當(dāng)EF=EC時(shí)〔如圖2〕，求DG的長．答案1．證明：〔1〕∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠B∠D=90°…………〔2分〕∵∠BAE∠DAF∴△ABE≌△ADF……………〔1分〕∴BEDF……………………〔2分〕〔2〕∵正方形ABCD，∴∠BAC∠DAC………〔1分〕∵∠BAE∠DAF∴∠EAO∠FAO……〔1分〕∵△ABE≌△ADF∴AEAF…………〔1分〕∴EO=FO，AO⊥EF…………〔2分〕∵OMOA∴四邊形AEMF是平行四邊形……………〔1分〕∵AO⊥EF∴四邊形AEMF是菱形……〔1分〕2．〔1〕證明：聯(lián)結(jié)EG，∵梯形中，，且、分別是、的中點(diǎn)，∴EG//BC，且，…………〔2分〕又∵∴EG=BF．……………………〔1分〕∴四邊形是平行四邊形．…〔2分〕〔2〕證明：設(shè)AF與EG交于點(diǎn)O，∵EG//AD，∴∠DAG=∠AGE∵平分，∴∠DAG=∠GAO∴∠GAO=∠AGE∴AO=GO．………………〔2分〕∵四邊形是平行四邊形，∴AF=EG，四邊形是矩形…………〔2分〕3．證明：〔1〕∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC∴∠BAE=∠ADF………………〔1分〕∵AD=DC∴AE=DF…………〔1分〕∵BA=AD∴△BAE≌△ADF，…………………〔1分〕∴BE=AF．…………〔1分〕〔2〕猜測∠BPF=120°．……………………〔1分〕∵由〔1〕知△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．…〔1分〕∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．……〔1分〕而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴=120°．∴∠BPF=∠BAE=120°．………………〔1分〕4、證：〔1〕∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC.∴∠DAC=∠BCA.又∵DN⊥AC，BM⊥AC，∴∠DNA=∠BMC.∴⊿DAN≌⊿BCM,---------------------------------------------------〔3分〕∴AN=CM.---------------------------------------------------------------〔1分〕〔2〕聯(lián)結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，∵AN=NM=2,∴AC=BD=6,又∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=DO=3，在⊿ODN中，OD=3，ON=1，∠OND=,∴DN=,--------------------------------------〔2分〕∴矩形ABCD的面積=.-----------------------〔1分〕5.解：〔1〕方法1：延長交于〔如圖1〕.……………1分在平行四邊形中，∥，.∵∥，∥，∴四邊形是平行四邊形.∴.……………1分又∵，，∴.……………1分∵∥，∴.在和中，∵，，，∴≌〔A.A.S〕.∴.…1分∵四邊形是平行四邊形，∴.∴∥.………………1分方法2：將線段的中點(diǎn)記為，聯(lián)結(jié)〔如圖2〕.………………1分∵四邊形是平行四邊形，∴.∴∥.…………1分∴.∵∥，∴.∵，，∴.在和中，∵，，，∴≌〔A.S.A〕.…1分∴.又∵∥，∴四邊形是平行四邊形.…1分∴∥.…1分其他方法，請參照上述標(biāo)準(zhǔn)酌情評(píng)分.〔2〕如果梯形是等腰梯形，則四邊形是矩形.……………1分∵∥，∥，∴四邊形是平行四邊形.∴.……………1分又∵梯形是等腰梯形，∴.∴.〔備注：使用方法2的同學(xué)也可能由≌找到解題方法；使用方法1的同學(xué)也可能由四邊形是平行四邊形找到解題方法〕.∵四邊形是平行四邊形，∴，.∴.……………1分∴平行四邊形是矩形.……………1分6．證明：〔1〕∵在正方形ABCD中，AD//BC，∴∠A=∠HBE，∠ADE=∠H，…〔1分〕∵AE=BE，∴△ADE≌△BHE．………〔1分〕∴BH=AD=BC．…………〔1分〕∵CM=GM，∴BM//GH．………………〔1分〕〔2〕∵在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90o，又∵DF=AD，AE=AB，∴AE=DF．∴△AED≌△DFC．………〔1分〕∴∠ADE=∠DCF．………〔1分〕∵∠ADE+∠GDC=90o，∴∠DCF+∠GDC=90o．∴∠DGC=90o．…〔1分〕∵BM//GH，∴∠BMG=∠DGC=90o，即BM⊥CF．…〔1分〕7、證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD.又∵AE∥BF，∴∠BCA=∠CAD.--------------------------1分∴∠BAC=∠BCA.∴AB=BC.--------------------1分同理可證AB=AD.∴AD=BC.----------------------1分又AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.-----1分又AB=BC，∴□ABCD是菱形.-----1分8.證明：〔1〕∵正方形∴…………1′∵是的中點(diǎn)∴…………1′∵∴…………1′∴∴…………1′∵是的中點(diǎn)∴…………1′(2)證…………1′∴∵∴………1′∵∴∴…………1′9．證法一：∵在梯形ABCD中，AD//BC，又∵EF=AD∴四邊形AEFD是平行四邊形．………〔1分〕∴AD//DF，∴∠AEF=∠DFC．………〔1分〕∵AB=CD，∴∠B=∠C．………………〔1分〕又∵BE=CF，∴△ABE≌△DCF．……〔1分〕∴∠AEB=∠DFC，……………………〔1分〕∴∠AEB=∠AEF．………〔1分〕∵∠AEB+∠AEF=180o，∴∠AEF=90o．……………〔1分〕∴四邊形AEFD是矩形．………………〔1分〕證法二：聯(lián)結(jié)AF、DE．…………〔1分〕∵在梯形ABCD中，AD//BC，又∵EF=AD，∴四邊形AEFD是平行四邊形．………〔1分〕∵AB=CD，∴∠B=∠C．………………〔1分〕∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，…………〔1分〕∴△ABF≌△DCE．……………………〔1分〕∴AF=DE，………………〔2分〕∴四邊形AEFD是矩形．………………〔1分〕10、證明：〔1〕∵□ABCD，∴AB∥CD，AB＝CD-----------------------------------1分∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，∴DF＝DC，BE＝AB∴DF∥BE，DF＝BE---------------------------------------------------------------------1分∴四邊形DEBF為平行四邊形∴DE∥BF-----------------------------------------------------------------------------------1分(2)證明：∵AG∥BD，∴∠G＝∠DBC＝90°，∴DBC為直角三角形---1分又∵F為邊CD的中點(diǎn)．∴BF＝DC＝DF------------------------------------------1分又∵四邊形DEBF為平行四邊形，∴四邊形DEBF是菱形----------------------1分11．證明：∵在梯形ABCD中，AD//BC，∴∠DAE=∠FAE，∠ADE=∠CFE．……〔1分〕又∵AE=EC，∴△ADE≌△CFE．…………〔1分〕∴AD=FC，…………………〔1分〕∴四邊形AFCD是平行四邊形．……………〔1分〕∵BC=2AD，∴FC=AD=BC．……………〔1分〕∵AC⊥AB，∴AF=BC．…………………〔1分〕∴AF=FC，……………………〔1分〕∴四邊形AFCD是菱形．……………………〔1分〕12．〔1〕解：線段AD與BC的長度之間的數(shù)量為：．…〔1分〕證明：∵AD//BC，DE//AB，∴四邊形ABED是平行四邊形．∴AD=BE．………〔2分〕同理可證，四邊形AFCD是平行四邊形．即得AD=FC．……〔1分〕又∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴AD=EF．……………〔1分〕∴AD=BE=EF=FC．∴．……………………〔1分〕〔2〕解：選擇論斷②作為條件．…………………〔1分〕證明：∵DE//AB，∴∠B=∠DEC．…………………〔1分〕∵∠B+∠C=90°，∴∠DEC+∠C=90°．即得∠EDC=90°．………………〔2分〕又∵EF=FC，∴DF=EF．……〔1分〕∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴四邊形AEFD是菱形．…………〔1分〕13．〔1〕⊿MBN≌⊿MPN………………1∵⊿MBN≌⊿MPN∴MB=MP,∴∵矩形ABCD∴AD=CD(矩形的對邊相等)∴∠A=∠D=90°(矩形四個(gè)角都是直角)………………1∵AD=3,CD=2,CP=*,AM=y∴DP=2-*,MD=3-y………………1Rt⊿ABM中，同理………………1………………1∴………………1〔3〕………………1當(dāng)時(shí)，可證………………1∴AM=CP，AB=DM∴………………1∴………………1∴當(dāng)CM=1時(shí)，14．〔1〕①證：過P作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N∵正方形ABCD，∴PM=AM，MN=AB，從而MB=PN………………〔2分〕∴△PMB≌△PNE，從而PB=PE…………〔2分〕②解：PF的長度不會(huì)發(fā)生變化，設(shè)O為AC中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PO，∵正方形ABCD，∴BO⊥AC，…………〔1分〕從而∠PBO=∠EPF，……〔1分〕∴△POB≌△PEF，從而PF=BO…………〔2分〕〔2〕圖略，上述〔1〕中的結(jié)論仍然成立；…………〔1分〕〔1分〕〔3〕當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時(shí)，∠PEC是鈍角，從而要使⊿PEC為等腰三角形，只能EP=EC，…………〔1分〕這時(shí)，PF=FC，∴，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，與不符?！?分〕當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長線上時(shí)，∠PCE是鈍角，從而要使⊿PEC為等腰三角形，只能CP=CE，…………〔1分〕設(shè)AP=*，則，，又，∴，解得*=1.…………〔1分〕綜上，AP=1時(shí)，⊿PEC為等腰三角形15.解：〔1〕解得：………1′∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，〕………1′〔2〕當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔4，0〕………1′∵……………1′∴∴是等邊三角形………1′〔3〕當(dāng)0＜≤4時(shí)，………1′………1′當(dāng)4＜＜8時(shí)，………1′………1′16．〔1〕①證明：在上截取，聯(lián)結(jié).∴.又∵∠A＝90°，∠A＋∠AGE＋∠AEG＝180°.∴∠AGE＝45°.∴∠BGE＝135°.∵∥.∴∠C＋∠D＝180°.又∵∠C＝45°.∴∠D＝135°.∴∠BGE＝∠D.……………1分∵，.∴.…………………1分∵.∴∠BEF＝90°.又∵∠A＋∠ABE＋∠AEB＝180°，∠AEB＋∠BEF＋∠DEF＝180°，∠A＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.……………1分∴△BGE≌△EDF.……………1分∴.〔1〕②關(guān)于的函數(shù)解析式為：.………………1分此函數(shù)的定義域?yàn)椋?………………1分〔2〕存在.…………1分Ⅰ當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，〔負(fù)值舍去〕.………………1分Ⅱ當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上時(shí)，〔負(fù)值舍去〕.………………1分Ⅲ當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上時(shí)，.………………1分∴的長為、或.17、〔1〕證明：∵ABCD是正方形，對角線交于點(diǎn)O，∴AO=BO，AC⊥BD，-----------------------------------------------------------1分∴∠OAB=∠OBA,∴∠OAF=∠OBE，--------------------------------------1分∵AC⊥BD，OF⊥OE，∴∠AOF==∠BOE，------------1分∴△AOF≌△BOE，∴EO=FO.----------------------------------------------------------------------------1分〔2〕解：∵ABCD是正方形，邊長為2，∴AO=,∴OE=2OA=∵OF⊥OE，EO=FO，∴EF=4，--------------------------------------------------1分∵△AOF≌