2023-2024學年貴州省黔東南州天柱二中高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2023-2024學年貴州省黔東南州天柱二中高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若關于x的不等式的解集為，則關于x的不等式的解集是（）A. B.，或C.，或 D.，或，或2．在棱長均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.63．金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅硬物質，它的結構是由8個等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長為2，則它外接球的體積為（）A. B.C. D.4．直線過雙曲線：的右焦點，在第一、第四象限交雙曲線兩條漸近線分別于P，Q兩點，若∠OPQ＝90°（O為坐標原點），則OPQ內切圓的半徑為（）A. B.C.1 D.5．若（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．設雙曲線：的左，右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A.4 B.2C. D.7．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.C.-1 D.8．美學四大構件是：史詩、音樂、造型（繪畫、建筑等）和數(shù)學．素描是學習繪畫的必要一步，它包括明暗素描和結構素描，而學習幾何體結構素描是學習素描最重要的一步．某同學在畫切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線被截面所截剩余的部分稱為切面圓柱體的母線）的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓，若切面圓柱體的最長母線與最短母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是有一個底角為60度的直角梯形，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則的單調遞增區(qū)間為（）.A. B.C. D.10．給出下列四個說法，其中正確的是A.命題“若，則”的否命題是“若，則”B.“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件C.命題“，”的否定是“，”D.命題“在中，若，則是銳角三角形”的逆否命題是假命題11．已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，為坐標原點，且，則（）A.4 B.2C. D.12．已知數(shù)列的通項公式為．若數(shù)列的前n項和為，則取得最大值時n的值為（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為___________.14．在空間直角坐標系中，已知點A，若點P滿足，則_______15．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______.16．設，復數(shù)，，若是純虛數(shù)，則的虛部為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線段的中點.（1）若點是線段的中點，求證：直線平面；（2）求證：平面平面.18．（12分）已知函數(shù)，（1）求的單調區(qū)間；（2）當時，求證：在上恒成立19．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，，點是PA的中點，點D是AC的中點，點N在PB上，且.（1）證明：平面CMN；（2）求平面MNC與平面ABC所成角的余弦值.20．（12分）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，（1）證明：平面；（2）求直線平面所成的角的正弦值21．（12分）如圖，四棱錐中，，，，平面，點F在線段上運動.（1）若平面，請確定點F的位置并說明理由；（2）若點F滿足，求平面與平面的夾角的余弦值.22．（10分）已知等差數(shù)列的前n項和為，若公差，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得參數(shù)，再代入所求不等式，利用分式大于零，則分子分母同號，列不等式計算即得結果.【詳解】不等式解集為，即的二根是1和2，利用根和系數(shù)的關系可知，故不等式即轉化成，即，等價于或者，解得或，或者.故解集為，或，或.故選：D.【點睛】分式不等式的解法：（1）先化簡成右邊為零的形式（或），等價于一元二次不等式（或）再求解即可；（2）先化簡成右邊為零的形式（或），再利用分子分母同號（或者異號），列不等式組求解即可.2、C【解析】設，，，利用結合數(shù)量積的運算即可得到答案.【詳解】設，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C3、A【解析】求得外接球的半徑，進而計算出外接球體積.【詳解】設，正八面體的棱長為，根據(jù)正八面體的性質可知：，所以是外接球的球心，且半徑，所以外接球的體積為.故選：A4、B【解析】根據(jù)漸近線的對稱性，結合銳角三角函數(shù)定義、正切的二倍角公式、直角三角形內切圓半徑公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線標準方程可知：，雙曲線的漸近線方程為：，因此，因為∠OPQ＝90°，所以三角形是直角三角形，，而，解得：，由雙曲線漸近線的對稱性可知：，于是有，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，設OPQ內切圓的半徑為，于是有：，即，故選：B【點睛】關鍵點睛：利用三角形內切圓的性質是解題的關鍵.5、A【解析】根據(jù)復數(shù)運算法則求出z＝a＋bi形式，根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，z對應的點在第一象限.故選：A6、B【解析】根據(jù)雙曲線的定義及，求出，，，，再利用余弦定理計算可得；【詳解】解：依題意可知、，又且，所以，，，，則，且，即，即，所以離心率.故選：B7、D【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調性即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故.故選：D.8、A【解析】設圓柱的底面半徑為，由題意知，，橢圓的長軸長，短軸長為，可以求出的值，即可得離心率.【詳解】設圓柱的底面半徑為，依題意知，最長母線與最短母線所在截面如圖所示從而因此在橢圓中長軸長，短軸長，，故選：A【點睛】本題主要考查了橢圓的定義和橢圓離心力的求解，屬于基礎題.9、D【解析】利用導數(shù)分析函數(shù)單調性【詳解】的定義域為，，令，解得故的單調遞增區(qū)間為故選：D10、D【解析】A選項：否命題應該對條件結論同時否定，說法不正確；B選項：雙曲線的離心率大于，解得，所以說法不正確；C選項：否定應該是：，，所以說法不正確；D選項：“在中，若，則是銳角三角形”是假命題，所以其逆否命題也為假命題，所以說法正確.【詳解】命題“若，則”的否命題是“若，則”，所以A選項不正確；雙曲線的離心率大于，即，解得，則“”是“雙曲線的離心率大于”的充分不必要條件，所以B選項不正確；命題“，”的否定是“，”，所以C選項不正確；命題“在中，若，則是銳角三角形”，在中，若，可能，此時三角形不是銳角三角形，所以這是一個假命題，所以其逆否命題也是假命題，所以該選項說法正確.故選：D【點睛】此題考查四個命題關系，充分條件與必要條件，含有一個量詞的命題的否定，關鍵在于弄清邏輯關系，正確求解.11、B【解析】依題意可得，設，根據(jù)可得，，根據(jù)為拋物線上一點，可得.【詳解】依題意可得，設，由得，所以，，所以，，因為為拋物線上一點，所以，解得.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量加法的坐標運算，考查了求拋物線方程，屬于基礎題.12、C【解析】根據(jù)單調性分析出數(shù)列的正數(shù)項有哪些即可求解.【詳解】由條件有，當時，，即；當時，，即.即，所以取得最大值時n的值為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程【詳解】解：∵，∴，又，∴曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.14、【解析】設，表示出，，根據(jù)即可得到方程組，解得、、，即可求出的坐標，即可得到的坐標，最后根據(jù)向量模的坐標表示計算可得；【詳解】解：設，所以，，因為，所以，所以，解得，即，所以，所以；故答案為：15、【解析】先求函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)在處的切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，重點考查計算能力，屬于基礎題型.16、【解析】由復數(shù)除法的運算法則求出，又是純虛數(shù)，可求出，從而根據(jù)共軛復數(shù)及虛部的定義即可求解.【詳解】解：因為復數(shù)，，所以，又是純虛數(shù)，所以，所以，所以所以的虛部為，故答案：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）由題意可得，從而可證.(2)由題意可得平面，從而可得，由根據(jù)條件可得，從而可得平面，從而可得證.【小問1詳解】由分別為線段的中點.由中位線定理知，又平面，且平面，所以直線平面【小問2詳解】兩兩垂直，即,且所以平面，又平面，所以由，且分別為線段的中點，所以，因此根據(jù)線面垂直判定定理得平面，且平面所以平面平面.18、（1）單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）求得，根據(jù)其正負，即可判斷函數(shù)單調性從而求得函數(shù)單調區(qū)間；（2）根據(jù)題意，轉化目標不等式為，分別構造函數(shù)，，利用導數(shù)研究其單調性，即可證明.【小問1詳解】因為，故可得，又為單調增函數(shù)，令，解得，故當時，；當時，，故的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為.【小問2詳解】當時，，要證，即證，又，則只需證，即證，令，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故當時，取得最大值；令，，又為單調增函數(shù)，且時，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故當時，取得最小值.則，且當時，同時取得最小值和最大值，故，即，也即時恒成立.【點睛】本題考察利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，以及利用導數(shù)研究恒成立問題；處理本題的關鍵是合理轉化目標式，屬中檔題.19、（1）證明見解析（2）【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，得到相關點和相關向量的坐標,（1）求出平面的法向量，利用證明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：三棱錐中，，，∴分別以，，，，軸建立如圖所示空間直角坐標系∵，，點M是PA的中點，點D是AC的中點，點N在PB上且∴，，，，，設平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小問2詳解】，，∴平面∴為平面的法向量則與的夾角的補角是平面與平面所成二面角的平面角.∴平面與平面所成角的余弦值為.20、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由已知條件可得，，則，，再利用線面垂直的判定定理可證得結論；（2）如圖，過點作，交直線于點，連接，可證得平面，從而是與平面所成的角，然后在求解即可【詳解】（1）證明：由，，，，得，所以，由由，，，，得，由，得，由，得，所以，故，又，因此平面（2）解如圖，過點作，交直線于點，連接由平面，平面，得平面平面，由，得平面，所以是與平面所成的角由，，得，，所以，故因此，直線與平面所成的角的正弦值是【點睛】關鍵點點睛：此題考查線面垂直的判定和線面角的求法，解題的關鍵是通過過點作，交直線于點，連接，然后結合條件可證得是與平面所成的角，從而在三角形中求解即可，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題21、（1）F為BD的中點，證明見解析；（2）.【解析】（1）由為的中點，取的中點，連接易證四邊形為平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）根據(jù)題意可得平面ABC與平面AFC的夾角為二面角，取的中點H為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，設二面角為，由求解.【小問1詳解】為的中點.如圖：取的中點，連接∵，分別為，的中點，∴且∵且∴平行且等于∴四邊形為平行四邊形，則∵平面ABC，平面ABC∴平面ABC【小問2詳解】由題意知，平面ABC與平面AFC的夾角為二面角，取的中點H為坐標原點，建立如圖所示的