2023-2024學(xué)年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2023-2024學(xué)年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若定義在R上的函數(shù)的圖象如圖所示,為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則不等式的解集為()A. B.C. D.2.已知雙曲線,點F為其左焦點,點B,若BF所在直線與雙曲線的其中一條漸近線垂直,則該雙曲線的離心率為()A. B.C. D.3.的二項展開式中,二項式系數(shù)最大的項是第()項.A.6 B.5C.4和6 D.5和74.已知中心在坐標(biāo)原點,焦點在軸上的雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為()A. B.C. D.5.已知直線,,,則m值為()A. B.C.3 D.106.圓與圓的位置關(guān)系為()A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離7.設(shè)點P是雙曲線,與圓在第一象限的交點,、分別是雙曲線的左、右焦點,且,則此雙曲線的離心率為()A. B.C. D.38.已知命題,,則()A., B.,C., D.,9.入冬以來,梁老師準(zhǔn)備了4個不同的烤火爐,全部分發(fā)給樓的三個辦公室(每層樓各有一個辦公室).1,2樓的老師反映辦公室有點冷,所以1,2樓的每個辦公室至少需要1個烤火隊,3樓老師表示不要也可以.則梁老師共有多少種分發(fā)烤火爐的方法()A.108 B.36C.50 D.8610.已知雙曲線的右焦點為,漸近線為,,過的直線與垂直,且交于點,交于點,若,則雙曲線的離心率為()A. B.C.2 D.11.已知a,b為正實數(shù),且,則的最小值為()A.1 B.2C.4 D.612.已知數(shù)列滿足:對任意的均有成立,且,,則該數(shù)列的前2022項和()A0 B.1C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為坐標(biāo)原點,等軸雙曲線的右焦點為,點在雙曲線上,由向雙曲線的漸近線作垂線,垂足分別為、,則四邊形的面積為______.14.函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù),則a的取值范圍是______15.已知等比數(shù)列中,則q=___16.,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和的公式的方法,可求得______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)排一張有6個歌唱節(jié)目和5個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單.(1)任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種?(2)歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種?18.(12分)設(shè)函數(shù)(1)若曲線在點處的切線方程為,求;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間19.(12分)如圖,在三棱柱中,點在底面內(nèi)的射影恰好是點,是的中點,且滿足(1)求證:平面;(2)已知,直線與底面所成角的大小為,求二面角的大小20.(12分)如下圖,已知點是離心率為的橢圓:上的一點,斜率為的直線交橢圓于、兩點,且、、三點互不重合(1)求橢圓的方程;(2)求證:直線,的斜率之和為定值21.(12分)已知函數(shù)的圖像在(為自然對數(shù)的底數(shù))處取得極值.(1)求實數(shù)的值;(2)若不等式在恒成立,求的取值范圍.22.(10分)已知直線過點,且被兩條平行直線,截得的線段長為.(1)求的最小值;(2)當(dāng)直線與軸平行時,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由函數(shù)單調(diào)性得出和的解,然后分類討論解不等式可得【詳解】由圖象可知:在為正,在為負(fù),,可化為:或,解得或故選:A2、C【解析】設(shè)出雙曲線半焦距c,利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合垂直關(guān)系列式計算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c,則,直線BF的斜率為,雙曲線的漸近線為:,因直線BF與雙曲線的一條漸近線垂直,則有,即,于是得,而,解得,所以雙曲線的離心率為.故選:C3、A【解析】由二項展開的中間項或中間兩項二項式系數(shù)最大可得解.【詳解】因為二項式展開式一共11項,其中中間項的二項式系數(shù)最大,易知當(dāng)r=5時,最大,即二項展開式中,二項式系數(shù)最大的為第6項.故選:A4、A【解析】根據(jù)離心率求出的值,再根據(jù)漸近線方程求解即可.【詳解】因雙曲線焦點在軸上,所以漸近線方程為:,又因為雙曲線離心率為,且,所以,解得,即漸近線方程為:.故選:A.5、C【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程,解得即可;【詳解】解:因為,且,所以,解得;故選:C6、B【解析】求出兩圓的圓心距與半徑之和、半徑之差比較大小即可得出正確答案.【詳解】由可得圓心為,半徑,由可得圓心為,半徑,所以圓心距為,所以兩圓相外切,故選:B.7、C【解析】根據(jù)幾何關(guān)系得到是直角三角形,然后由雙曲線的定義及勾股定理可求解.【詳解】點到原點的距離為,又因為在中,,所以是直角三角形,即.由雙曲線定義知,又因為,所以.在中,由勾股定理得,化簡得,所以.故選:C.8、C【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱量詞命題,該命題的否定為,.故選:C.9、C【解析】運用分類計數(shù)原理,結(jié)合組合數(shù)定義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)3樓不要烤火爐時,不同的分發(fā)烤火爐的方法為:;當(dāng)3樓需要1個烤火爐時,不同的分發(fā)烤火爐的方法為:;當(dāng)3樓需要2個烤火爐時,不同的分發(fā)烤火爐的方法為:,所以分發(fā)烤火爐的方法總數(shù)為:,故選:C【點睛】關(guān)鍵點睛:運用分類計數(shù)原理是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】由題設(shè)易知是的中垂線,進(jìn)而可得,結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系及離心率公式求雙曲線的離心率即可.【詳解】由題意,是的中垂線,故,由對稱性得,則,故,∴.故選:C.11、D【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】因為a,b為正實數(shù),且,所以.當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.故選:D12、A【解析】根據(jù)可知,數(shù)列具有周期性,即可解出【詳解】因為,所以,即,所以數(shù)列中的項具有周期性,,由,,依次對賦值可得,,一個周期內(nèi)項的和為零,而,所以數(shù)列的前2022項和故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、##【解析】求出雙曲線的方程,可求得雙曲線的兩條漸近線方程,分析可知四邊形為矩形,然后利用點到直線的距離公式以及矩形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線為等軸雙曲線,則,,可得,所以,雙曲線的方程為,雙曲線的漸近線方程為,則雙曲線的兩條漸近線互相垂直,則,,,所以,四邊形為矩形,設(shè)點,則,不妨設(shè)點為直線上的點,則,,所以,.故答案為:.14、【解析】對求導(dǎo),由題設(shè)有恒成立,再利用導(dǎo)數(shù)求的最小值,即可求a的范圍.【詳解】由題設(shè),,又在R上的單調(diào)遞增函數(shù),∴恒成立,令,則,∴當(dāng)時,則遞減;當(dāng)時,則遞增.∴,故.故答案為:.15、3【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得,再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得答案.【詳解】等比數(shù)列中,故,,所以,故答案為:316、2020【解析】先證得,利用倒序相加法求得表達(dá)式值.【詳解】解:由題意可知,令S=則S=兩式相加得,故填:【點睛】本題考查借助倒序相加求函數(shù)值的和,屬于中檔題,解題關(guān)鍵是找到的規(guī)律三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)用插空法,現(xiàn)排唱歌,利用產(chǎn)生的空排跳舞;(2)先排唱歌再排舞蹈.【小問1詳解】解:先排歌唱節(jié)目有種,歌唱節(jié)目之間以及兩端共有7個空位,從中選5個放入舞蹈節(jié)目,共有種方法,所以任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有種方法.【小問2詳解】解:先排舞蹈節(jié)目有種方法,在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有6個空位,恰好供6個歌唱節(jié)目放入.所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有種方法.18、(1)(2)答案見解析【解析】(1)求出,建立方程關(guān)系,即可求出結(jié)論;(2)對分類討論,求出的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】由于切點在切線上,所以,函數(shù)通過點又,根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義,;【小問2詳解】由可知當(dāng)時,則;當(dāng)時,則;當(dāng)時,的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)時,單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.19、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)分別證明出和,利用線面垂直的判定定理即可證明;(2)以C為原點,為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求二面角的平面角.【小問1詳解】因為點在底面內(nèi)的射影恰好是點,所以面.因為面,所以.因為是的中點,且滿足.所以,所以.因為,所以,即,所以.因為,面,面,所以平面.【小問2詳解】∵面,∴直線與底面所成角為,即.因為,所以由(1)知,,因,所以,.如圖示,以C為原點,為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,所以,設(shè),由得,,即.則.設(shè)平面BDC1的一個法向量為,則,不妨令,則.因為面,所以面的一個法向量為記二面角的平面角為,由圖知,為銳角.所以,即.所以二面角的大小為.20、(1);(2)證明見解析.【解析】(1)根據(jù)離心率為可得,把代入方程可得,又,解方程組即可求得方程;(2)設(shè)直線的方程為,整理方程組,求得,及參數(shù)的范圍,由斜率公式表示出,結(jié)合直線方程和韋達(dá)定理整理即可得到定值.試題解析:(1)由題意,可得,代入得,又,解得,,所以橢圓的方程為.(2)證明:設(shè)直線的方程為,又,,三點不重合,∴,設(shè),,由得,所以,解得,,①,②設(shè)直線,的斜率分別為,,則(),分別將①②式代入(),得,所以,即直線,的斜率之和為定值考點:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓的位置關(guān)系.【方法點睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,考查了方程的思想和考試與運算能力,屬于中檔題.求橢圓方程通常用待定系數(shù)法,注意隱含條件;研究圓錐曲線中的定值問題,通常根據(jù)交點與方程組解得對應(yīng)性,設(shè)而不解,表示出待求定值的表達(dá)式,利用韋達(dá)定理代入整理,消去參數(shù)即可得到定值.21、(1)(2)【解析】(1)由求得的值.(2)由分離常數(shù),通過構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【小問1詳解】因為,所以,因為函數(shù)的圖像在點處取得極值,所以,,經(jīng)檢驗,符合題意

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