2023-2024學(xué)年湖南雅禮中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2023-2024學(xué)年湖南雅禮中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A. B.C. D.2．已知點在拋物線的準(zhǔn)線上，則該拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A. B.C. D.3．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A， B.，C.， D.，4．若點在橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.5．設(shè)、是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)上有兩個零點C.函數(shù)有極大值16D.函數(shù)有最小值7．為了了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.508．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線C：的左焦點為F，過F且與x軸垂直的直線與C交于A，B兩點，若是正三角形，則C的離心率為（）A. B.C. D.9．如圖，在正方體中，，，，若為的中點，在上，且，則等于（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列滿足，，.設(shè)，若對于，都有恒成立，則最大值為A.3 B.4C.7 D.911．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.12．點A是曲線上任意一點，則點A到直線的最小距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)直線的方向向量分別為，若，則實數(shù)m等于___________.14．已知點F是拋物線的焦點，點，點P為拋物線上的任意一點，則的最小值為_________.15．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則當(dāng)時___________.16．已知、雙曲線的左、右焦點，A、B為雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，且滿足，，則雙曲線的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數(shù)列前n項和為，且（1）求通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和18．（12分）給出以下三個條件：①；②，，成等比數(shù)列；③．請從這三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并完成作答．若選擇多個條件分別作答，以第一個作答計分已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，，______（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項和19．（12分）某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)20．（12分）已知命題p：集合為空集，命題q：不等式恒成立（1）若p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實數(shù)a的取值范圍21．（12分）已知數(shù)列的前項和，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其中，且成等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求點B到平面PCD的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用焦點坐標(biāo)公式求解.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的焦點在軸上，且，所以，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為.故選：C2、C【解析】首先表示出拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)點在拋物線的準(zhǔn)線上，即可求出參數(shù)，即可求出拋物線的焦點.【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線為因為在拋物線的準(zhǔn)線上故其焦點為故選：【點睛】本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】因為命題p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.4、C【解析】根據(jù)給定條件求出即可計算橢圓的離心率.【詳解】因點在橢圓，則，解得，而橢圓長半軸長，所以橢圓離心率.故選：C5、B【解析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，對選項進行逐一判斷即可.【詳解】選項A.一條直線垂直于一平面內(nèi)的，兩條相交直線，則改直線與平面垂直則由，不能得出，故選項A不正確.選項B.,則正確，故選項B正確.選項C若，則與可能相交，可能異面，也可能平行，故選項C不正確.選項D.若，則與可能相交，可能平行，故選項D不正確.故選：B6、C【解析】對求導(dǎo)，研究的單調(diào)性以及極值，再結(jié)合選項即可得到答案.【詳解】，由，得或，由，得，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以極大值為，極小值為，所以有3個零點，且無最小值.故選：C7、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣定義可求得結(jié)果【詳解】分段的間隔為故選：A8、A【解析】設(shè)雙曲線半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關(guān)系，結(jié)合計算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A9、B【解析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運算推導(dǎo)即可.【詳解】.故選：B.10、A【解析】整理數(shù)列的通項公式有：，結(jié)合可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，，原問題即：恒成立，當(dāng)時，，即>3，綜上可得：的最大值為3.本題選擇A選項點睛：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個數(shù)列的各項，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜想出數(shù)列的一個通項公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項11、B【解析】求出函數(shù)的定義域，解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，由，可得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.12、A【解析】動點在曲線，則找出曲線上某點的斜率與直線的斜率相等的點為距離最小的點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域為：對求導(dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時，，則此時該點到直線的距離為最小根據(jù)點到直線的距離公式可得：解得：故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)向量垂直與數(shù)量積的等價關(guān)系，，計算即可.【詳解】因為，則其方向向量，，解得.故答案為：2.14、3【解析】根據(jù)拋物線的定義可求最小值.【詳解】如圖，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時等號成立，故的最小值為3，故答案為：3.15、【解析】當(dāng)時，利用及求得函數(shù)的解析式.【詳解】當(dāng)時，，由于函數(shù)是奇函數(shù)，故.【點睛】本小題主要考查已知函數(shù)的奇偶性以及軸一側(cè)的解析式，求另一側(cè)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】可得四邊形為矩形，運用三角函數(shù)的定義可得，，由雙曲線的定義和矩形的性質(zhì)，可得，由離心率公式求解即可.【詳解】、為雙曲線的左、右焦點，可得四邊形為矩形，在中，，∴，在中，，可得，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：得出四邊形為矩形，利用雙曲線的定義解決焦點三角形問題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件求，利用等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式.（2）求得，利用裂項相消法即可求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，所以，故數(shù)列的通項公式；【小問2詳解】由（1）得：，所以，所以.18、（1）（2）【解析】（1）若選①，則根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，結(jié)合，求得公差，可得答案;若選②，則根據(jù)，，成等比數(shù)列，列出方程，結(jié)合，求得公差，可得答案;若選③，則根據(jù)，列出方程，結(jié)合，求得公差，可得答案;（2）由（1）可得的表達式，利用錯位相減法，求得答案.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d選擇①，由題意得，又，則，所以；選擇②，由，，成等比數(shù)列，得，即，解得，或（舍去），所以；選擇③，由，得，解得，所以【小問2詳解】由題意知，∴①②①－②得∴，即.19、（1）；（2）眾數(shù)是，中位數(shù)為【解析】（1）利用頻率之和為一可求得的值；（2）眾數(shù)為最高小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)；中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等可求得中位數(shù)試題解析：（1）由直方圖的性質(zhì)可得，∴（2）月平均用電量的眾數(shù)是，∵，月平均用電量的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，由，可得，∴月平均用電量的中位數(shù)為224考點：頻率分布直方圖；中位數(shù)；眾數(shù)20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)判別式小于0可得；（2）根據(jù)復(fù)合命題的真假可知，p和q有且只有一個真命題，然后根據(jù)相應(yīng)范圍通過集合運算可得.【小問1詳解】因為集合為空集，所以無實數(shù)根，即，解得，所以p為真命題時，實數(shù)a取值范圍為.【小問2詳解】由解得：，即命題q為真時，實數(shù)a的取值范圍為，易知p為假時，a的取值范圍為，q為假時，a的取值范圍為.因為為真命題，為假命題，則p和q有且只有一個真命題，當(dāng)p為假q為真時，實數(shù)a的取值范圍為；當(dāng)p為真q為假時，實數(shù)a的取值范圍為.綜上，實數(shù)a的取值范圍為21、（1），;（2）.【解析】（1）利用求出數(shù)列的通項，再求出等比數(shù)列的公比即得解；（2）求出，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解：，.當(dāng)時，，適合..設(shè)等比數(shù)列公比為，，，即，或（舍去），.【小問2詳解】解：，，，上述兩式相減，得，所以所以.22、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用點到面的距離公式即